人教版平行四边形单元测试综合卷检测试题

一、选择题

1.对于题目：“如图1,平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形

的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边

长的最小整数甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长工,再取最小

整数〃.

甲：如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取〃=13.

乙：如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取"=14.

丙：如图4,思路是当X为矩形的长与宽之和的注倍时就可移转过去；结果取"=13.

2

下列正确的是（）

x

图4

A.甲的思路错，他的〃值对

B.乙的思路和他的〃值都对

C.甲和丙的〃值都对

D.甲、乙的思路都错，而丙的思路对

2.如图，在正方形A8CD中，CE=MN,NMCE=35°,那么NANM等于（）

3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），PELBC于点

E,PFJ_CD于点F,连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP_LEF；③仅有当NDAP=

行

45。或67.5。时，4APD是等腰三角形；④NPFE=NBAP：⑤、一PD=EC.其中有正确有

2

）个.

A.2B.3C.4D.5

4.如图，正方形ABCD中，AB=12,点E在边CD上，且CD=3DE,将aADE沿AE对折至

△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF,下列结论：①△ABG^Z\AFG；

②BG=GC；③AG〃CF；④SMGC=28.8.其中正确结论的个数是（）

5.如图，在矩形ABCD中，8。=2不,45=4,0为边AB的中点，P为矩形ABC。外

一动点，且NAPC=90，则线段OP的最大值为（）

A.5+囱B.3+石C.475-2D.273+1

6.下列命题中，真命题的个数有（）

①对角线相等的四边形是矩形；

②三条边相等的四边形是菱形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

A.3个B.2个C.1个D.0个

7.如图，平行四边形A8C。中，对角线AC、BD相交于点。，AD^—AC,M、N、P分别

2

是。A、OB、CD的中点，下列结论:

①CN_LBD；

②MN=NP；

③四边形MNCP是菱形；

④N。平分NPNM.

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，在一张矩形纸片ABC。中，AB=4，BC=8,点E，尸分别在A。，BC

上，将纸片ABC。沿直线E/折叠，点C落在AO上的一点H处，点。落在点G处，有

以下四个结论：

①四边形CFWE是菱形；②EC平分NDCH；③线段BF的取值范围为3WB尸W4；④

当点”与点A重合时，EF=275.

以上结论中，你认为正确的有（）个.

9.如图，点E在同一条直线上，正方形ABC。、正方形的边长分别为

2、3,“为线段。/的中点，则6H的长为（）

A后BV26

22

r36nV29

22

10.如图，正方形A8CD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE=3,"是AF的中

点，那么CH的长是（）

A.2B.-C.史1D.J5

22

二、填空题

11.在平行四边形ABCD中，NA=30。,AO=26,80=2,则平行四边形ABCD的面积

等于.

12.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2.E为边C。的中点，点P在线段AB

上运动，厂是CP的中点，则ACEF的周长的最小值是.

13.如图，在矩形ABCD中，NBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,点G

是EF的中点，连接CG,BG,BD,DG,下列结论：①BC=DF；②ZDGR=135°；

14.如图，动点E、E分别在正方形ABCO的边4）、3c上，AE=CF,过点C作

CGA.EF,垂足为G，连接BG，若AB=4,则线段BG长的最小值为.

15.如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=5,AC=12,P为边BC上一动点（P不与B、C

重合），PE_LAB于E,PF_LAC于F,M为EF中点，则AM的取值范围是

16.如图，在RtaABC中，ZBAC=90°,AB=8,AC=6,以8c为一边作正方形80EC设

正方形的对称中心为。，连接A。，则4。=.

17.如图，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E为BC上一点，AE交BD于F,若AB=AE,

NEAD=2/BAE，则下列结论：①AF=AP;②AE=FD；③BE=AF.正确的是（填

序号）.

18.在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段

AB的中点.点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE=AB=10.以DE为边在第

三象限内作正方形DGFE,则线段MG长度的最大值为

y.

19.如图，在RtZ\A8C中，ZACB=90°,AC=8,8c=6,点。为平面内动点，且满足AD

=4,连接BD,取BD的中点£,连接CE,则CE的最大值为.

20.如图所示，已知AB=6,点C,。在线段A8上，47=08=1,P是线段CD上的动

点，分别以AP,PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边连接EF,设EF的中

点为G,当点P从点C运动到点。时，则点G移动路径的长是.

21.已知，四边形ABC。是正方形，点E是正方形ABC。所在平面内一动点（不与点。重

合），AB^AE,过点B作。E的垂线交DE所在直线于F,连接CF.

提出问题：当点£运动时，线段CF与线段。E之间的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点f与点B也重

合.用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：_；

（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：

情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；

情况2:当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时.

在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如

果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请

说明理由；

拓展问题：

（3）连接AF,用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：

22.如图，矩形。8CD中，0B=5,。。=3,以。为原点建立平面直角坐标系，点8,点。

分别在x轴，y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P,且满足矩道

OBCD，I可：

（1）当点P在矩形的对角线。C上，求点P的坐标；

（2）当点P到。，8两点的距离之和P0+P8取最小值时，求点P的坐标.

23.在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以AD为边

在AD的上方作菱形ADEF,且NDAF=60°,连接CF.

（1）（观察猜想）如图（1）,当点D在线段CB上时，

®ZBCF="；

②BC,CD,CF之间数量关系为.

（2）（数学思考）：如图（2）,当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否

仍然成立？请说明理由.

（3）（拓展应用）：如图（3）,当点D在线段BC的延长线上时，若A3=6,

CD=；BC,请直接写出的长及菱形ADEF的面积.

图(2)图(3)

图(1)

24.在ABC。中，以A。为边在ABC。内作等边连接BE.

(1)如图1,若点E在对角线89上，过点A作A"_LB£＞于点”，且NZMB=75。,

AB=&，求A”的长度；

(2)如图2,若点F是BE的中点,且CVLBE,过点E作MNCF,分别交A3,

CD于前M,N,在OC上取DG=CN,连接CE,EG.求证：

①ACENmKDEG；

②AENG是等边三角形.

25.如图，点E为M8C。的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE,连接EC并延

长，使CG=CE,连接FG.H为FG的中点，连接。H,AF.

(1)若N8AE=70°,ZDCE=20°,求/DEC的度数：

(2)求证：四边形AFHD为平行四边形；

(3)连接EH,交8c于点。，若OC=OH,求证：EF1EG.

26.如图，ABC是等腰直角三角形，NAC8=90°,分别以A&AC为直角边向外作等

腰直角和等腰直角VACE,G为8。的中点，连接CG,8E,CD,BE与CD交于点

F.

D

（1）证明：四边形ACG。是平行四边形；

（2）线段跖和线段CD有什么数量关系，请说明理由；

（3）已知BC=6,求EF的长度（结果用含根号的式子表示）.

27.如图，在正方形ABC。中，点M是8C边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用

连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）在如图（1）的AB边上求作一点N,连接CN,使CV=AM；

（2）在如图（2）的AO边上求作一点Q,连接CQ，使CQPA”.

28.如图，菱形纸片ABCD的边长为2,NBAC=60。,翻折使点民。两点重合

在对角线BD上一点P,E/,G〃分别是折痕.设AE=x（O<x<2）.

A

（1）证明：AG^BE-.

（2）当0<x<2时;六边形4EFCHG周长的值是否会发生改变，请说明理由;

（3）当0<x<2时，六边形4EFCHG的面积可能等于亚吗?如果能，求此时x的

4

值；如果不能，请说明理由.

29.已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点，点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF,EF

平分/AEC.

⑴如图1,求证：CF±EF;

（2）如图2,延长CE、DA交于点K,过点F作FG〃AB交CE于点G若，点H为FG上一点，

连接CH,若NCHG=NBCE,求证：CH=FK;

（3）如图3,过点H作HNXCH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.

30.（问题情境）

在△ABC中，AB=AC,点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD_LAB,PELAC,垂足

分别为D、E,过点C作CF_LAB,垂足为F.当P在BC边上时（如图1）,求证：

PD+PE=CF.

图①图②图③

证明思路是：如图2,连接AP,由AABP与AACP面积之和等于AABC的面积可以证得：

PD+PE=CF.（不要证明）

（变式探究）

当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并

说明理由.

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

（结论运用）

如图4,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF

上的任一点，过点P作PG_LBE、PH±BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH

的值；

(迁移拓展)

4

在直角坐标系中.直线/i:y=--x+4与直线〃：y=2x+4相交于点A,直线6%与x轴分别

3

交于点B、点C.点P是直线12上一个动点，若点P到直线/1的距离为1.求点P的坐标.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【分析】

根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长，即可判断甲和乙，丙中图示情况不是最

长.

【详解】

甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为

"=后7透=66七14；

乙的思路与计算都正确，n=762+122=675^14；

丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，n=(12+6)X"=9a七13.

2

故选B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键.

2.C

解析：c

【分析】

过B作BF〃/WN交AD于F,则NAFB=NAMM,根据正方形的性质得出NA=NEBC=

90°,AB^BC,AD//BC,推出四边形8FMW是平行四边形，得出8F=MN=CE,证

RtAABF丝RJ8CE,推出/AFB=/ECB即可.

【详解】

解：

过8作BF//MN交AD于F,

则/AFB=NANM,

:四边形ABC。是正方形，

AZA=ZEBC=90°,AB=BC,AD//BC,

：.FN//BM,BF//MN,

：.四边形BFNM是平行四边形，

/.BF=MN,

'：CE=MN,

:.CE=BF,

在Rt^ABF和Rt^BCE中

BF=CE

AB=BC

：.RtA48F^RtABCE(HL),

：.NABF=NMCE=35°,

/ANM=/AFB=55°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了直角三角形全等的判定即性质，还涉及正方形的性质以及平行四边形的判定与

性质，构造全等三角形是解题关键.

3.D

解析：D

【分析】

过P作PG_LAB于点G,根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明4AGP也ZiFPE

后即可证明①AP=EF；④NPFE=/BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性

质，在RSDPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=J5EC,得出⑤正确，即可得出

结论.

【详解】

过P作PG_LAB于点G,如图所示:

•.•点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，

；.GP=EP,

在AGPB中，NGBP=45°,

NGPB=45°,

；.GB=GP,

同理：PE=BE,

VAB=BC=GF,

.\AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

；.AG=PF,

在AAGP和AFPE中，

AG=PF

<NAGP=NFPE=90。,

PG=PE

.,.△AGP^AFPE(SAS),

；.AP=EF,①正确，NPFE=NGAP,

AZPFE=ZBAP,④正确：

延长AP到EF上于一点H,

；./PAG=/PFH,

VZAPG=ZFPH,

AZPHF=ZPGA=90",

，APJ_EF,②正确，

:点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ZADP=45°,

...当NPAD=45。或67.5°时，AAPD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，故③正确.

VGF/7BC,

AZDPF=ZDBC,

又：/DPF=/DBC=45°,

AZPDF=ZDPF=45",

；.PF=EC,

...在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

，DP=0EC,

即N£PD=EC,⑤正确.

2

••・其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个.

故选D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，

勾股定理的运用.本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题.

4.B

解析：B

【分析】

由正方形的性质和折叠的性质得出AB=AF,NAFG=90。，由HL证明Rt/XABG之Rt/XAFG,得

出①正确；

设BG=FG=x,则CG=12-x.由勾股定理得出方程，解方程求出BG,得出GC,即可得出②

正确；

由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出NAGB=/GCF,得出AG〃CF,即可得出③正

确；

通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果.

【详解】

①正确.理由如下：

:四边形A8CD是正方形，...AB=8C=CD=AD=12,N8=NGCE=ND=90°,由折叠的性质

得：AF=AD,ZAFE=ZD=90°,ZAFG=90°,AB=AF.在RMA8G和RtA4FG

AG=AG

中，〈,：.Rt/\ABG^RtZ\AFG(HL)；

[AB^AF

②正确.理由如下：

由题意得：EF=DE=-CD=4,设BG=FG=x,则CG=12-x.

3

在直角△ECG中，根据勾股定理，得(12-x)2+82=(x+4)2,解

得：x=6,BG=6,Z.GC=12-6=6,：.BG=GC；

③正确.理由如下：

"：CG=BG,BG=GF,：.CG=GF,.'△FGC是等腰三角形,NGFC=NGCF.

又

VRtA^BG^RtAZlFG,/.ZAGB^ZAGF,NAG8+NAGF=2/4GB=180°-NFGC=NGFC+NGC

F=2ZGFC=2ZGCF,：.ZAGB=ZGCF,：.AG//CF；

④错误.理由如下：

I1

'：SGCE=-GC»CE=-X6X8=24.

&22

372

：GF=6,EF=4,ZXGFC和等高，：.S^GFC:S&FCE=3：2,：.S&GFC=^X24=—#28.8.

故④不正确，，正确的有①②③.

故选B.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行

线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度.

5.B

解析：B

【分析】

连接AC,取AC的中点E,根据矩形的性质求出AC,0E,再根据直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半可得PE=，AC,然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得。、

2

E、P三点共线时0P最大.

【详解】

解：如图，连接AC,取AC的中点E,

:矩形ABCD中，BC=2石，A8=4,0为AB的中点，

：.AC=y]AB2+BC2=6,OE=-BC=y[5,

2

VAP±CP,

:.PE=-AC=-x6=3,

22

由三角形的三边关系得，0、E、P三点共线时0P最大，

此时。噎大=3+石.

故选:B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理、中位线定理.能正确构造辅助

线，并根据三角形三边关系确定0P最大值是解题关键.

6.C

解析：c

【分析】

正确的命题是真命题，根据矩形的判定定理，菱形的判定定理及平行四边形的判定定理依

次判断.

【详解】

①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该项错误；

②四条边相等的四边形是菱形，故该项错误；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该项正确；

故选：C.

【点睛】

此题考查真命题的定义，正确掌握矩形、菱形、平行四边形的判定定理是解题的关键.

7.C

解析：C

【分析】

证出。C=8C,由等腰三角形的性质得CN_L8D,①正确；证出MN是△AOB的中位线，得

MN//AB,MN=^AB,由直角三角形的性质得NP=JCD,则MN=NP,②正确；周长

四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形：③错误；由平行线的性质和

等腰三角形的性质证出/MNO=/PND,则N。平分/PNM,④正确；即可得出结论.

【详解】

解：•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB=CD,AB〃CD,BC=AD,OA=OC=—AC,

2

1

VAD=—AC,

2

.\OC=BC,

是OB的中点，

.\CN±BD,①正确；

：M、N分别是OA、OB的中点，

AMN是△AOB的中位线，

1

AMNAB,MN=—AB,

2

VCN±BD,

.".ZCND=90°,

：P是CD的中点，

.•.NP=，CD=PD=PC,

2

，MN=NP,②正确；

VMN/7AB,AB〃CD,

；.MN〃CD,

又：NP=PC,MN=NP,

，MN=PC,

...四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；

：MN〃CD,

/PDN=/MND,

；NP=PD,

/PDN=/PND,

；./MND=/PND,

，ND平分NPNM,④正确；

正确的个数有3个，

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，

等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边

上的中线性质是解题的关键.

8.C

解析：c

【分析】

①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH,然后根据邻边相等

的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；

②根据菱形的对角线平分一组对角线可得ZBCH=NECH,然后求出只有NDCE=30°时EC平

分/DCH,判断出②错误；

③点H与点A重合时，设BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的

最小值，点G与点D重合时，CF=CD,求出最大值BF=4,然后写出BF的取值范围，判断

出③正确；

④过点F作FMJ_AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判断出④正确.

【详解】

解：

①；FH与CG,EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，

；.FH〃CG,EH/7CF,

...四边形CFHE是平行四边形，

由翻折的性质得,CF=FH,

四边形CFHE是菱形，（故①正确）；

（2）.\ZBCH=ZECH,

只有/DCE=30°时EC平分/DCH,（故②错误）；

③点H与点A重合时，此时BF最小,设BF=x,则AF=FC=8-x,

在RtZkABF中,AB2+BF2=AF2,

即42+x2=（8-x）2,

解得x=3,

点G与点D重合时，此时BF最大,CF=CD=4,

，BF=4,

线段BF的取值范围为3WBFW4,（故③正确）：

过点F作FM±AD于M,

则ME=(8-3)-3=2,

由勾股定理得，

EF=y]MF2+ME2=V42+22=2y/5，(故④正确)；

综上所述，结论正确的有①③④共3个，

故选C.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱

形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合.

9.B

解析：B

【分析】

连接BD、BF,由正方形的性质可得：ZCBD=ZFBG=45°,ZDBF=90°,再应用勾股定理

求BD、BF和DF,最后应用“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”可求得BH.

【详解】

如图，连接BD、BF,

四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形,

；.AB=AD=2,BE=EF=3,ZA=ZE=90°,ZABD=ZCBD=ZEBF=ZFBG=45°,

；.NDBF=90°,BD=2近，BF=3五，

，在Rt—DF中，D^yjBD2+BF2=-^26,

VH为线段DF的中点,

□H-IDF-^6

22

故选B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形边的关系、勾股定理、直角三角形性质等，解

题关键添加辅助线构造直角三角形.

10.D

解析：D

【分析】

根据正方形的性质得到AB=BC=1,CE=EF=3,ZE=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,

求出NACF=90。，得到CH=^AF,根据勾股定理求出AF的长度即可得到答案.

2

【详解】

:正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE=3,

.,.AB=BC=1,CE=EF=3,ZE=90°,

延长AD交EF于M,连接AC、CF,

则AM=BC+CE=l+3=4,FM=EF-AB=3-1=2,ZAMF=90°,

：四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，

...NACD=NGCF=45°,

.\ZACF=90°,

为AF的中点，

.\CH=—AF,

2

在RtAAMF中，由勾股定理得：AF=AM2+MF2=742+22=2石，

.,.CH=V5.

故选：D.

【点睛】

此题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，正

确引出辅助线得到NACF=90。是解题的关键.

二、填空题

11.4百或2百

【分析】

分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边

形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：过。作于E,

在RtZ\ADE中，ZA=30°,AD=2拒,

:.DE=^-AD=y/3,AE=—AD=3,

22

在RtZXBDE中，BD=2,

：.BE=ylBD2-DE2=422Tgy=b

如图1,

：.AB=4,

•••平行四边形ABC。的面积=ABDE=4x6=4超,

如图2,

图2

AB=2,

二平行四边形ABCD的面积=ABDE=2x>/3=2y/3.

如图3,过8作BE_LA。于E,

在RtAASE中，设AE=x,则。E=26-X，

A

NA=30°,BE=J，

在RtZXBDE中，BD=2,

：.22=(yX)2+(2x/3-X)2,

X~V3>X=2V3(不合题意舍去),

：.BE=\,

二平行四边形ABCD的面积=ADBE=1x2下>=2乖>，

如图4,

A

图4D

当AD，8。时，平行四边形ABCD的面积=8。=46，

故答案为：4百或2百.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性

质，根据题意作出图形是解题的关键.

12.2&+2

【分析】

由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=，PD,得到CACEF=CE+CF+EF=CE+,(CP+PD)

22

=—(CD+PC+PD)=-CACDP,当4CDP的周长最小时，Z\CEF的周长最小；即PC+PD的值

22

最小时，4CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D',连接CD'交AB于P,进而分

析即可得到结论.

【详解】

解：：E为CD中点，F为CP中点，

1

，EF=—PD,

2

CACEF-CE+CF+EF=CEH—(CP+PD)=—(CD+PC+PD)=—CACDP

222

.,.当4CDP的周长最小时，4CEF的周长最小；

即PC+PD的值最小时,ACEF的周长最小；

如图，作D关于AB的对称点T,连接CT,则PD=PT,

VAD=AT=BC=2,CD=4,ZCDT=90°,

CT=y]CD2+DT2=442+42=472，

VACDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC,

•；PT+PC》CT,

PT+PO4V2，

...PT+PC的最小值为40，

/.△PDC的最小值为4+472，

CACEF=-CACDP=2V2+2•

故答案为：2立+2.

【点睛】

本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴

对称解决最值问题.

13.①③④

【分析】

由矩形的性质可得AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,由角平分

线的性质和余角的性质可得NF=/FAD=45。，可得AD=DF=BC,可判断①；通过证明

△DCG^ABEG,可得NBGE=/DGC,BG=DG,即可判断②③；过点G作GHJ_CD于H,设

AD=4X=DF,AB=3X,由勾股定理可求BD=5X,由等腰直角三角形的性质可得

HG=CH=FH=^X,DG=GB=X1X,由三角形面积公式可求解，可判断④.

22

【详解】

解：：四边形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,

VAE平分NBAD,

；./BAE=NDAE=45°,

AZF=ZFAD,

，AD=DF,

，BC=DF,故①正确；

VZEAB=ZBEA=45O,

；.AB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,ZECF=90°,

•••△CEF是等腰直角三角形，

•点G为EF的中点,

.,.CG=EG,ZFCG=45°,CG±AG,

.••ZBEG=ZDCG=135°,

在ADCG和aBEG中，

BE=CD

</BEG=NDCG,

CG=EG

AADCG^ABEG(SAS).

AZBGE=ZDGC,BG=DG,

ZBGE<ZAEB,

.,.ZDGC=ZBGE<45\

：/CGF=90°,

.••ZDGF<135°,故②错误；

VZBGE=ZDGC,

ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

ZCGA=ZDGB=90",

ABG±DG,故③正确；

过点G作GHXCD于H,

3

,/AB=-AD,

4

.•.设AD=4x=DF,AB=3x,

CF=CE=x,BD=JAB?+AO?=5X,

•••△CFG,aGBD是等腰直角三角形，

HG=CH=FH=—x,DG=GB=§立x,

22

.1,125,

・・SADGF=—xDFxHG=x2,SABDG=—DGxGB=—x2,

224

25

sBOG——FDG>故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练

掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

14.V10-V2

【分析】

连结AC,取0C中点M,连结MB,MG,则MB,MG为定长，利用两点之间线段最短解

决问题即可.

【详解】

连接AC,交EF于0,

NEAO=NFCO,NAEO=NCFO,

；AE=CF,

.".△AEO^ACFO(ASA),

AOA=OC,

AO是正方形的中心，

VAB=BC=4,

.•.AC=40,0C=2行，

取OC中点M,连结MB,MG,过点M作MH_LBC于H,

VMC=^-OC=72>

.,.MH=CH=1,

/.BH=4-1=3,

由勾股定理可得MB=打+尸=710,

在RtAGOC中，M是OC的中点，则MG=JOC=Q,

VBG>BM-MG=VlO-V2，

当B,M,G三点共线时，BG最小=河-行，

故答案为：A/TO-V2-

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E,F运动到AD,BC的中点时，

MG最小是解决本题的关键.

30

15.—<AM<6

13

【分析】

由勾股定理得BC=13从而得到点A到BC的距离，M为EF中点，所以AM=；EF,继而求得

AM的范围.

【详解】

因为/BAC=90°,AB=5,AC=12,

所以由勾股定理得BC=13,

ABxAC5x1260

则点A到BC的距离为

BC13-13

所以AM的最小值为效4-2=—,

1313

因为M为EF中点，所以AM=-^EF,

2

当E越接近A,F越接近C时，EF越大,

所以EFVAC,则AM<6,

30

所以一WAMV6,

故答案为一WAMV6.

13

16.772：

【分析】

连接A。、BO、CO,过。作FO_LA。，交AB的延长线于F,判定△AOCg/\FOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,进而得到AF=8+6=14,NFAO=45°,根据AO=AFxcos45°进行计

算即可.

【详解】

解：连接AO、B。、CO,过。作FO_LA。，交AB的延长线于F,

V0是正方形DBCE的对称中心，

.".BO=CO,ZBOC=90°,

VFO1AO,

AZAOF=90°,

AZBOC=ZAOF,

BPZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

.,.ZAOC=ZFBO,

：/BAC=90°,

.•.在四边形ABOC中,ZACO+ZABO=180°,

•."ZFBO+ZABO=180°,

AZACO=ZFBO,

在△AOC和△FOB中，

ZAOC=/FOB

<AO=FO,

ZACO=ZFBO

.".△AOC^AFOB(ASA),

.\AO=FO,FB=FC=6,

；.AF=8+6=14,ZFAO=ZOFA=45",

AO=AFxcos450=14x[=1历.

故答案为70.

【点睛】

本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.本题的关键是通过作辅助线来构建

全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算.

17.②③

【分析】

根据菱形的性质可知AC_LBD,所以在RtZiAFP中，AF一定大于AP,从而判断①；设

NBAE=x,然后根据等腰三角形两底角相等表示出NABE,再根据菱形的邻角互补求出

NABE,根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和/BE的度数，从而

判断②③.

【详解】

解：在菱形ABCD中，AC1BD,

...在RtZXAFP中，AF一定大于AP,故①错误；

•・•四边形ABCD是菱形，

，AD〃BC,

，ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

设/BAE=x°,

则NEAD=2x°,ZABE=180o-xo-2x°,

VAB=AE,NBAE=X",

ZABE=ZAEB=180o-xo-2x",

由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得:x=36,

即NBAE=36°,

ZBAE=180o-36°-2x36o=70°,

・・•四边形ABCD是菱形，

AZBAD=ZCBD=—ZABE=36°,

2

/.ZBFE=ZABD+ZBAE=360+36°=72°,

・,.ZBEF=180o-36°-72o=72°,

ABE=BF=AF.故③正确

VZAFD=ZBFE=72°,ZEAD=2x°=72°

，NAFD=/EAD

；.AD=FD

又：AD=AB=AE

，AE=FD,故②正确

正确的有②③

故答案为：②③

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于NBAE的方程是解题

的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角.

18.10+575

【分析】

取DE的中点N,连结。N、NG、OM.根据勾股定理可得NG=5石.在点M与G之间总

有MGWMO+ON+NG（如图1）,M、0,N、G四点共线，此时等号成立（如图2）.可得

线段MG的最大值.

【详解】

1

.\0M=-AB=5.

2

同理0N=5.

;正方形DGFE,N为DE中点,DE=10,

•••NG=\IDN2+DG2=7102+52=5>/5•

在点M与G之间总有MG<MO+ON+NG（如图1）,

如图2,由于NDNG的大小为定值，只要NDON='NDNG,且M、N关于点0中心对称时,

2

M、0、N、G四点共线，此时等号成立,

线段MG取最大值10+56.

故答案为：10+5逐.

【点睛】

此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、。、N、G四点

共线，则线段MG长度的最大是解题关键.

19.【分析】

作AB的中点E,连接EM、CE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形

的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围.

【详解】

解：作AB的中点M,连接EM、CM.

在RtAABC中，AB=y/AC2+BC2=782+62=10，

；/W是直角△ABC斜边AB上的中点，

1

：.CM=-AB=5.

2

是8D的中点，M是A8的中点，

1

ME——AD—2.

2

二5-2WCEW5+2,即3WCEW7.

...最大值为7,

故答案为：7.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基

本性质定理是解题的关键.

20.2

【分析】

分别延长AE,BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则

G的运动轨迹为aHCD的中位线MN,再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长

度即可.

【详解】

解：如图，分别延长AE,BF交于点H,

VZA=ZFPB=60°,

AAHIIPF,

VZB=ZEPA=60°,

ABHIIPE

四边形EPFH为平行四边形，

AEF与HP互相平分,

•点G为EF的中点,

二点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，

AG的运动轨迹为4HCD的中位线MN,

VCD=6-1-1=4,

.•.MN=-C£)=2,

2

•••点G移动路径的长是2,

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得

出G的运动轨迹为AHCD的中位线MN.

三、解答题

21.(1)DE=yf2CF；(2)在情况1与情况2下都相同，详见解析；(3)AF+CF=

ODF或\AF—CF\=ODF

【分析】

(1)易证ABCD是等腰直角三角形，得出DB=0CB,即可得出结果；

(2)情况1：过点C作CGJ_CF,交DF于G,设BC交DF于P,由ASA证得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,则zxGCF是等腰直角三角形，FG=0CF,连接BE,

设/CDG=a,则/CBF=a,ZDEA=ZADE=90--a,求出/DAE=2a,则NEAB=90°-2a,

ZBEA=ZABE=—（180°-ZEAB）=45°+a,ZCBE=45°-a,推出/FBE=45°,得出ABEF是等腰

2

直角三角形，则EF=BF,推出EF=DG,DE=FG,得出DE=J^CF；

情况2：过点C作CGLCF交DF延长线于G,连接BE,设CD交BF于P,由ASA证得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,则AGCF是等腰直角三角形，得FG=J^CF,设

/CDG=a,则/CBF=a,证明ABEF是等腰直角三角形，得出EF=BF,推出DE=FG,得出

DE=V2CF；

（3）①当F在BC的右侧时，作HDLDF交FA延长线于H,由（2）得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS证得AABFgz^AEF,得出NEFA=/BFA=/BFE=45°,则Z\HDF是等腰

2

直角三角形,得HF=0DF,DH=DF,VZHDF=ZADC=90°,由SAS证得AHDA