数学北师大版九年级上册二次函数的图像与性质

数学北师大版九年级上册二次函数的图像与性质汇报人：XXX2024-01-26XXXREPORTING目录二次函数基本概念与性质二次函数图像变换规律二次函数与一元二次方程关系二次函数在实际问题中应用典型例题分析与解题思路展示课堂小结与拓展延伸PART01二次函数基本概念与性质REPORTINGXXX形如$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函数称为二次函数。$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$是常数，且$aneq0$。二次函数定义及一般形式二次函数的一般形式二次函数定义二次函数的图像是一条抛物线，其形状由系数$a$决定。当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。抛物线形状二次函数的图像关于直线$x=-frac{b}{2a}$对称，该直线称为对称轴。对称轴二次函数的图像有一个最高点或最低点，称为顶点。顶点的横坐标为$-frac{b}{2a}$，纵坐标为$c-frac{b^2}{4a}$。顶点二次函数图像特征由系数$a$决定，当$a>0$时，开口向上；当$a<0$时，开口向下。开口方向在对称轴左侧，函数单调递增；在对称轴右侧，函数单调递减（或相反，取决于开口方向）。单调性图像关于对称轴$x=-frac{b}{2a}$对称。对称性顶点是图像的最高点或最低点，其坐标为$left(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。顶点性质令$y=0$可求得与$x$轴交点，令$x=0$可求得与$y$轴交点。与坐标轴交点0201030405二次函数性质总结PART02二次函数图像变换规律REPORTINGXXX当函数图像沿x轴平移k个单位时，函数表达式由f(x)变为f(x-k)，图像向右平移k个单位；若k<0，则图像向左平移|k|个单位。当函数图像沿y轴平移h个单位时，函数表达式由f(x)变为f(x)+h，图像向上平移h个单位；若h<0，则图像向下平移|h|个单位。平移变换规律当函数图像关于x轴对称时，函数表达式由f(x)变为-f(x)，即图像在x轴上下翻转。当函数图像关于y轴对称时，函数表达式由f(x)变为f(-x)，即图像在y轴左右翻转。当函数图像关于原点对称时，函数表达式由f(x)变为-f(-x)，即图像在原点处中心对称。对称变换规律当函数图像在x轴方向伸缩a倍时，函数表达式由f(x)变为f(ax)，若a>1则图像在x轴方向压缩为原来的1/a，若0<a<1则图像在x轴方向拉伸为原来的a倍。当函数图像在y轴方向伸缩b倍时，函数表达式由f(x)变为bf(x)，若b>1则图像在y轴方向拉伸为原来的b倍，若0<b<1则图像在y轴方向压缩为原来的1/b。伸缩变换规律PART03二次函数与一元二次方程关系REPORTINGXXX

一元二次方程求解方法回顾公式法对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，可以使用求根公式$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$来求解。配方法通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，然后开方求解。因式分解法将一元二次方程通过因式分解转化为两个一次方程的乘积，然后分别解这两个一次方程得到原方程的解。二次函数$y=ax^2+bx+c$与一元二次方程$ax^2+bx+c=0$在形式上具有紧密联系。二次函数的图像是一条抛物线，而抛物线与x轴的交点即为对应的一元二次方程的根。通过分析二次函数的图像特征，可以判断对应的一元二次方程的根的情况（实数根、虚数根、重根等）。二次函数与一元二次方程联系观察二次函数图像与x轴的交点情况，若有一个交点，则对应的一元二次方程有一个实数根；若有两个交点，则对应的一元二次方程有两个实数根；若没有交点，则对应的一元二次方程没有实数根。利用二次函数的对称性，可以确定一元二次方程的根的和与积，进一步求解一元二次方程。通过分析二次函数图像的开口方向、顶点坐标等特征，可以判断一元二次方程的根的范围和性质。利用二次函数图像解一元二次方程PART04二次函数在实际问题中应用REPORTINGXXX建模步骤确定自变量和因变量，通常自变量为时间、数量等，因变量为利润。根据题意列出二次函数关系式，通常利润与自变量之间呈二次函数关系。利润最大化问题建模与求解利用二次函数的性质，找到函数的最大值点，即利润最大化点。利润最大化问题建模与求解将二次函数配方成顶点式，直接读出顶点坐标，得到最大值。配方法利用二次函数的顶点公式，求出顶点坐标，得到最大值。公式法利润最大化问题建模与求解建模步骤确定自变量和因变量，通常自变量为某一边长或角度等，因变量为面积。根据题意列出二次函数关系式，通常面积与自变量之间呈二次函数关系。面积最大化问题建模与求解利用二次函数的性质，找到函数的最大值点，即面积最大化点。面积最大化问题建模与求解配方法将二次函数配方成顶点式，直接读出顶点坐标，得到最大值。公式法利用二次函数的顶点公式，求出顶点坐标，得到最大值。面积最大化问题建模与求解举例2在经济学中，生产成本与产量的关系也可以用二次函数来表示。通过求解二次函数的最值问题，可以确定最小生产成本和对应的产量。举例1在物理学中，抛物线运动的路程与时间的关系可以用二次函数来描述。通过求解二次函数的最值问题，可以确定物体的最大高度和落地时间等。举例3在建筑工程中，桥梁的拱形结构可以用二次函数来描述。通过求解二次函数的最值问题，可以确定桥梁的最大承载力和最佳设计方案。其他实际问题中二次函数应用举例PART05典型例题分析与解题思路展示REPORTINGXXX典型例题选讲及解题思路梳理123解题思路1.根据题意设二次函数解析式为$y=a(x-1)(x-2)$。2.将点$C(3,4)$的坐标代入解析式，得到方程$4=a(3-1)(3-2)$。典型例题选讲及解题思路梳理3.解方程求得$a=2$。4.将$a$值代入解析式，得到$y=2(x-1)(x-2)$。5.展开并化简，得到最终解析式$y=2x^2-6x+4$。典型例题选讲及解题思路梳理例题2：已知二次函数$y=x^2-2x-3$，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程。典型例题选讲及解题思路梳理解题思路1.将二次函数解析式化为顶点式，即$y=(x-1)^2-4$。2.根据顶点式的形式，直接读出顶点坐标为$(1,-4)$。3.对称轴方程为直线$x=1$。01020304典型例题选讲及解题思路梳理练习题目1已知二次函数$y=x^2-4x+3$，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程，并画出大致图像。练习题目2已知二次函数$y=-x^2+2x+8$，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程，并判断该函数图像与坐标轴的交点情况。练习题目3已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$和$C(1,-8)$，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像开口方向、顶点坐标和对称轴方程。学生自主练习题目推荐及要求要求2.对于练习题目中出现的问题和困难，学生应积极思考和解决，并主动寻求老师和同学的帮助和指导。1.学生需独立完成以上练习题目，并在完成后进行自我检查。3.学生应认真总结练习过程中的经验和教训，不断提高自己的解题能力和思维水平。学生自主练习题目推荐及要求PART06课堂小结与拓展延伸REPORTINGXXX010204本节课知识点总结回顾二次函数的定义和一般形式二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点、对称轴等二次函数的性质，如最大值、最小值、增减性等二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数在解决实际问