《微积分》第一篇讲义极限

《微积分》第一篇讲义极限汇报人：AA2024-01-25目录CONTENTS极限概念及性质极限运算法则极限存在性判别法无穷级数中的极限问题连续函数与间断点中的极限问题实际应用案例分析01极限概念及性质极限的直观理解当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个确定的常数。极限的严格定义对于任意小的正数$epsilon$，总存在一个正数$delta$，使得当$0<|x-a|<delta$时，有$|f(x)-L|<epsilon$，则称$L$是函数$f(x)$在$xtoa$时的极限。极限的记号表示$lim_{{xtoa}}f(x)=L$。极限定义与描述

左右极限及其性质左极限定义$lim_{{xtoa^-}}f(x)=L^-$，表示$x$从左侧趋近于$a$时，$f(x)$趋近于$L^-$。右极限定义$lim_{{xtoa^+}}f(x)=L^+$，表示$x$从右侧趋近于$a$时，$f(x)$趋近于$L^+$。左右极限的性质若函数在某点的左、右极限存在且相等，则该函数在该点的极限存在。123如果函数$f(x)$在自变量的某个变化过程中，其绝对值无限趋近于零，则称$f(x)$为无穷小量。无穷小量的定义如果函数$f(x)$在自变量的某个变化过程中，其绝对值无限增大，则称$f(x)$为无穷大量。无穷大量的定义无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量03极限的四则运算法则若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，且等于各自极限的和、差、积、商。01极限存在性定理如果函数在某点的左、右极限存在且相等，则该函数在该点的极限存在。02极限唯一性定理如果函数在某点的极限存在，则该极限是唯一的。极限存在性与唯一性02极限运算法则极限四则运算法则加法运算法则若两函数在某点的极限存在，则它们的和在该点的极限也存在，且等于这两函数极限的和。减法运算法则若两函数在某点的极限存在，则它们的差在该点的极限也存在，且等于被减函数极限与减数函数极限的差。乘法运算法则若两函数在某点的极限存在，则它们的积在该点的极限也存在，且等于这两函数极限的积。除法运算法则若两函数在某点的极限存在且分母函数的极限不为零，则它们的商在该点的极限也存在，且等于被除函数极限除以除数函数极限的商。复合函数求极限法则若内层函数在某点的极限存在且外层函数在对应点的极限也存在，则复合函数在该点的极限存在，且等于外层函数在对应点取内层函数极限值时的极限。连续函数的复合函数求极限若内层函数在某点连续且外层函数在对应点连续，则复合函数在该点连续，其极限值等于函数值。复合函数极限运算法则当底数函数的极限存在且大于零时，幂函数的极限等于底数函数极限的幂次。当指数函数的底数趋于1且指数趋于无穷大时，其极限需要根据具体表达式进行判断。幂指函数极限运算法则指数函数的极限幂函数的极限利用等价无穷小代换在求解某些特殊函数的极限时，可以利用等价无穷小进行代换简化计算。洛必达法则当两个函数的比值的极限存在或为无穷大时，可以通过求导的方式简化计算过程。泰勒公式对于某些难以直接求解的函数极限，可以利用泰勒公式进行近似计算。特殊函数极限求解方法03020103极限存在性判别法夹逼定理内容如果数列{xn},{yn}满足条件yn≤xn≤zn(n=1,2,...)，且limyn=limzn=a，则limxn=a。应用举例1证明lim(n→∞)(1+1/n)^n=e。应用举例2求lim(n→∞)(1^2+2^2+...+n^2)/(n^3)。夹逼定理及其应用举例单调递增（或递减）且有上界（或下界）的数列必定收敛。单调有界原理内容应用举例1应用举例2证明数列{xn}=(1+1/n)^n是单调递增且有上界的，从而收敛。求lim(n→∞)(1+2+...+n)/(n^2)。030201单调有界原理及其应用举例证明数列{xn}=1/n是收敛的。应用举例1判断数列{xn}=sin(n)是否收敛。应用举例2柯西收敛准则及其应用举例04无穷级数中的极限问题无穷级数定义01无穷级数是由无穷多个数相加而成的，形如$sum_{n=1}^{infty}a_n$，其中$a_n$为级数的通项。收敛与发散02若无穷级数的部分和数列有极限，则称该无穷级数收敛，否则称该无穷级数发散。绝对收敛与条件收敛03若$sum_{n=1}^{infty}|a_n|$收敛，则称原级数绝对收敛；若原级数收敛但$sum_{n=1}^{infty}|a_n|$发散，则称原级数条件收敛。无穷级数基本概念和性质回顾比较判别法通过比较无穷级数与已知收敛或发散的级数，来判断其收敛性或发散性。比值判别法通过计算无穷级数的相邻两项之比，并根据比值的大小来判断其收敛性或发散性。根值判别法通过计算无穷级数的通项的$n$次方根，并根据根值的大小来判断其收敛性或发散性。无穷级数收敛与发散判别方法等差数列求和公式对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其前$n$项和$S_n=frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$，当$ntoinfty$时，得到等差数列的无穷级数求和公式。等比数列求和公式对于等比数列$a_n=a_1timesq^{(n-1)}$，当$|q|<1$时，其前$n$项和$S_n=frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，当$ntoinfty$时，得到等比数列的无穷级数求和公式。幂级数求和公式对于形如$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$的幂级数，其求和公式可以通过逐项积分或逐项微分等方法得到。例如，对于几何级数$sum_{n=0}^{infty}x^n$，当$|x|<1$时，其求和公式为$frac{1}{1-x}$。无穷级数求和公式推导过程05连续函数与间断点中的极限问题设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，如果$lim_{Deltaxto0}Deltay=0$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。连续函数的定义连续函数具有局部有界性、局部保号性、四则运算性质、复合函数性质等。连续函数的性质连续函数的图像是一条不间断的曲线。连续函数的图像连续函数定义及性质回顾间断点的定义如果函数$f(x)$在点$x_0$处不连续，则称$x_0$为函数$f(x)$的间断点。间断点的类型间断点可分为第一类间断点和第二类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点；第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点。间断点的处理方法对于不同类型的间断点，有不同的处理方法。例如，对于可去间断点，可以通过重新定义该点的函数值来消除间断；对于跳跃间断点，可以通过左右极限来判断其类型并处理；对于无穷间断点和振荡间断点，则需要根据具体情况进行分析和处理。间断点类型判断和处理方法有界性定理闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。最大值和最小值定理闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。介值定理闭区间上的连续函数在该区间上一定具有介值性，即如果函数在区间两端点的函数值分别为$A$和$B$，则对于任意介于$A$和$B$之间的数$C$，在区间内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$。连续函数在闭区间上性质总结06实际应用案例分析复利概念及公式复利是指本金和利息一起产生的利息，其计算公式为A=P(1+r/n)^(nt)，其中A表示未来值，P表示本金，r表示年利率，n表示每年计息次数，t表示时间。极限在复利计算中的应用当计息次数n趋于无穷大时，即连续复利情况下，公式变为A=Pe^(rt)，其中e为自然对数的底数。此时，极限概念用于描述计息次数趋于无穷大时的复利计算情况。复利计算的实例分析通过具体案例，展示如何利用极限概念进行复利计算，以及不同计息方式对最终收益的影响。010203经济学中复利计算问题探讨工程学中瞬时速度计算问题探讨结合具体案例，展示如何利用极限概念进行瞬时速度的计算，并分析物体在不同时刻的运动状态。瞬时速度计算的实例分析瞬时速度是指物体在某一时刻或某一位置的速度，其大小和方向描述了物体在该时刻的运动状态。在工程学中，瞬时速度对于研究物体的运动规律具有重要意义。瞬时速度概念及意义通过求取时间间隔趋于零时的平均速度极限值，可以得到物体的瞬时速度。极限概念在此用于描述时间间隔趋于零时的速度变化情况。极限在瞬时速度计算中的应用要点三牛顿迭代法原理及步骤牛顿迭代法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。其原理是利用泰勒级数的线性项来近似函数，从而得到方程的近似解。具体步骤包括选择初始点、计算函数值和导数值、更新迭代点等