专题03任意角及其度量（2大考点3种题型）

专题03任意角及其度量（2大考点3种题型）思维导图核心考点聚焦考点一、任意角考点二、角的度量题型一．任意角的三角函数的定义题型二．三角函数值的符号题型三：角的度量考点一、任意角1.正角、负角、零角：正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的.零角：当一条射线没有旋转时，称为零角.零角的始边与终边重合.【小结】这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过的角.2.象限角和轴线角：（1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限.如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角.（2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角.3.终边相同的角：我们把所有所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为.【小结】①终边在轴正半轴上的角的集合为；②终边在轴负半轴上的角的集合为；③终边在轴上的角的集合为；④终边在轴上的角的集合为；⑤终边在坐标轴上的角的集合为；⑥第二象限角的集合为.【注意】后缀表示射线，表示直线.考点二、角的度量一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即，的符号由它的始边旋转至终边的方向决定【逆正顺负】.【注意】角度弧度（5）象限角的表示：第一象限的角的集合：第二象限的角的集合：第三象限的角的集合：第四象限的角的集合：【注意】题型一．任意角的三角函数的定义【例1】．（2023春•浦东新区校级月考）下列命题中，正确的是A．第二象限角大于第一象限角 B．若，是角终边上一点，则 C．若，则、的终边相同 D．的解集为【分析】取特例可判断，根据三角函数的定义判断，利用周期解出三角方程的解集判断．【解答】解：因为象限角不能比较大小，如是第二象限角，是第一象限角，故错误；因为，是角终边上一点，所以，所以，故错误；当时，满足，但、的终边不相同，故错误；当时，在一个周期上的解为，故在定义域上的解为，故正确．故选：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【例2】．（2023春•浦东新区校级期中）“，”是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【分析】根据充分条件、必要条件的概念及特殊角的正弦函数值求解即可．【解答】解：“”能推出“”，充分性成立，反过来，“”不能推出“”，因为可能，故必要性不成立，所以“，”是“”的是充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的概念及特殊角的正弦函数值，属于基础题．【例3】．（2023春•青浦区校级月考）若角的终边上有一点，则实数的值为．【分析】利用终边上的点表示出，然后解方程即可．【解答】解：角的终边上有一点，则，，解得．故答案为：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．【例4】．（2023•上海模拟）已知为角终边上一点，则．【分析】由已知点的坐标求出到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义求得，的值，然后求解即可．【解答】解：（1）点为角终边上一点，，则，，．故答案为：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．【例5】．（2023春•宝山区校级月考）已知终边过点，若，则．【分析】根据三角函数的定义即可求解．【解答】解：依题意，因为终边过点，，所以，解得：或（舍去），所以，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，三角函数函数的定义，属于基础题．【例6】．（2023春•徐汇区校级期中）角是第四象限角，其终边与单位圆的交点为，把角顺时针旋转得角，则角终边与单位圆的交点的坐标为．【分析】利用三角函数的坐标定义，利用诱导公式进行计算即可．【解答】解：是第四象限角，其终边与单位圆的交点为，，，把角顺时针旋转得角，则，则，，即角终边与单位圆的交点的坐标为，．故答案为：，．【点评】本题主要考查三角函数的定义，利用坐标公式以及诱导公式进行计算是解决本题的关键，是中档题．题型二．三角函数值的符号【例1】．（2023春•浦东新区期中）已知点在第四象限，则角的终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由题意得，结合三角函数的定义即可求解．【解答】解：由题意得，所以为第三象限．故选：．【点评】本题主要考查了三角形函数值符号的判断，属于基础题．【例2】．（2023春•宝山区校级月考）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是A． B． C． D．【分析】对于，结合特殊值法，即可求解；对于，先求出在第二象限或第四象限，再结合选项，即可求解．【解答】解：对于，当时，满足是第三象限角，但，故错误；对于，，，则，，故在第二象限或第四象限，所以符合题意．故选：．【点评】本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题．【例3】．（2023春•青浦区校级期中）点是第______象限角终边上的点A．一 B．二 C．三 D．四【分析】利用诱导公式可得为第三象限的角，从而可得点的坐标的符号，进而可得答案．【解答】解：为第三象限的角，，，故是第三象限角终边上的点，故选：．【点评】本题考查诱导公式、象限角及三角函数符号的确定，属于基础题．【例4】．（2023春•长宁区校级期中）若，，则是第象限角．A．一 B．二 C．三 D．四【分析】根据已知条件，结合三角函数值的符号，即可求解．【解答】解：，，则是第四象限．故选：．【点评】本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题．【例5】．（2023春•青浦区校级期中）为第三象限角，且，则在第象限．【分析】利用角所在象限，列出不等式，然后转化求解即可．【解答】解：因为第三象限角，即，得，则所在象限为第二象限或第四象限，又因，故所在象限为第二象限．综上所述，在第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查三角函数角所在象限的判断，三角函数值的符号的判断，是基础题．题型三：角的度量【例1】．（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为弧度.【答案】1【分析】根据弧长公式结合已知条件求解即可【详解】半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为弧度，故答案为：1【例2】．（2023下·上海长宁·高一统考期末）将弧度化为角度：弧度=°．【答案】【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】.故答案为：【例3】．（2023下·上海嘉定·高一校考期末）把化为弧度.【答案】【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案.【详解】由题意得，故答案为：【例4】．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）150度＝（填弧度）；【答案】【分析】根据角度与弧度之间的换算关系计算即可.【详解】150度＝.故答案为：.【例5】．（2023下·上海浦东新·高一校考期中）在单位圆中，圆心角为的弧长为．【答案】【分析】直接利用弧长公式求解即可【详解】在单位圆中，圆心角为的弧长为，故答案为：【例6】．（2023下·上海闵行·高一校考阶段练习）若扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为.【答案】【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的半径.【详解】设扇形的半径为，则该扇形的面积为，解得，故该扇形的半径为.故答案为：.【例7】．（2023上·上海松江·高一校考期末）若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为.【答案】3【分析】根据扇形的面积公式直接运算求解.【详解】由题意可得：扇形的面积为.故答案为：3.【例8】．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）已知一个扇形的圆心角大小为，弧长为，则其面积为.【答案】【分析】利用扇形弧长公式求出半径，再用扇形面积公式求出其面积即可.【详解】因扇形的圆心角大小为，弧长为，设扇形半径为，则由解得：故其面积为.故答案为：.【例9】．（2023下·上海静安·高一统考期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为.【答案】【分析】直接利用弧长公式即可求解.【详解】因为一个扇形的弧所对的圆心角为，所以圆心角的弧度数为，所以该扇形的弧长为.故答案为：.【例10】．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角的弧度为．【答案】【分析】设该圆的半径为，则可得圆的内接正方形的边长为，然后根据题意利用弧长公式可求得结果.【详解】设该圆的半径为，则该圆的内接正方形的边长为，即这段弧的长度为，则其所对的圆心角的弧度数为，故答案为：【例11】．（2023下·上海奉贤·高一校考期中）已知半径为的扇形的圆心角为，则扇形的面积为．【答案】【分析】根据弧度制的定义，求得弧长，根据扇形的面积公式，可得答案.【详解】因为半径扇形的圆心角为，则圆心角，所以弧长，面积.故答案为：.【例12】．（2023上·上海·高一上海市行知中学校考阶段练习）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为．【答案】【分析】把圆心角的度数化为弧度制，结合扇形的面积公式进行求解即可.【详解】，半径为，所以该扇形的面积为，故答案为：【例13】．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是．【答案】【分析】利用扇形面积公式去求扇环部分的面积即可.【详解】设线段的中点为，则.故答案为：一、填空题1．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）与角终边重合的角的集合是.【答案】【分析】根据终边相同角的概念直接求解即可.【详解】与角终边重合的角的集合是.故答案为：2．（2023上·上海·高一上海市行知中学校考阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，其终边经过，则.【答案】/【分析】根据正弦的定义进行求解即可.【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，其终边经过，所以，故答案为：3．（2023上·上海·高一上海市行知中学校考阶段练习）若，则是第象限角.（填“一”、“二”、“三”或“四”）【答案】三【分析】直接根据象限角的定义判断即可.【详解】由题意，所以是第三象限角.故答案为：三.4．（2023下·上海·高一上海市七宝中学校考期中）已知2弧度的圆心角所对的弧长为4厘米，则此圆心角所夹的扇形面积为.【答案】4【分析】运用扇形的弧长公式求得扇形的半径，再运用扇形的面积公式计算即可.【详解】由题意知，，，所以扇形的半径，所以扇形的面积.故答案为：4.5．（2023下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）已知扇形的半径为10，圆心角为，则扇形的弧长为．【答案】20【分析】根据弧长公式计算.【详解】弧长；故答案为：20.6．（2023下·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期中）已知扇形的弧长为2cm，半径为2cm，则该扇形的圆心角【答案】【分析】根据弧长公式直接求解.【详解】设弧长为，半径为,则cm，2cm，.故答案为:.7．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）已知，若与的终边相同，且，则【答案】【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解.【详解】因为与的终边相同，且，即，所以，故答案为：或8．（2023下·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期中）一个扇形的圆心角为弧度，扇形面积是1平方厘米，扇形半径是1厘米，则圆心角是弧度.【答案】2【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】已知扇形面积是1平方厘米，扇形半径是1厘米，所以，即，即，故圆心角是弧度.故答案为：.9．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）已知角的终边经过点，其中，则角的余弦值为.【答案】【分析】根据余弦的定义进行求解即可.【详解】由题意知，故答案为：10．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）若，则点必在第象限．【答案】三【分析】由可求出的正负，从而可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以点必在第三象限．故答案为：三11．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）将角的终边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合．【答案】【分析】先求出，再由终边相同的角求解即可．【详解】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为．则，故终边与相同的角的集合.故答案为：.12．（2023下·上海静安·高一校考期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则．【答案】【分析】根据角的终边上的点的坐标，结合三角函数的定义，列式计算，即得答案.【详解】由题意得点到原点O的距离为，故由得，解得，故答案为：二、单选题13．（2023下·上海静安·高一统考期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角.①小于的角一定是锐角；

②第二象限的角一定是钝角；③终边重合的角一定相等；

④相等的角终边一定重合.其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】对于①②③举例判断，对于④利用角的定义分析判断【详解】对于①，的角是小于的角，但不是锐角，所以①错误，对于②，的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误，对于③，的角和的角终边相同，但不相等，所以③错误，对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确，所以真命题的个数是1，故选：A14．（2020下·上海静安·高一统考期末）的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用诱导公式化简计算【详解】，故选：D15．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】结合任意角的概念分析即可.【详解】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立；因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立；若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；例如，，但，故④不成立.故选：B.16．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据象限角的概念判断即可.【详解】若是第一象限角，则，，则是第四象限角，故D错误；，则是第一象限角，故A错误；，则是第二象限角，故B错误；，则是第三象限角，故C错误.故选：C.三、解答题17．（2021下·高一课时练习）已知角的集合为，回答下列问题：(1)集合M中有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)求集合M中的第二象限角．【答案】(1)四类(2)－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°(3)，【分析】集合M中的角分为第一、二、三、四象限的四类终边不相同的角；取适当的整数即可得到指定范围内的角；找到集合中的一个第二象限角，写出与它终边相同的角即可.【详解】（1）集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．（2）令，得，又，所以终边不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．（3）集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以，.18．（2023下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）已知角的终边经过点，且，求及的值．【答案】答案见解析【分析】利用三角函数的定义求三角函数即可.【详解】因为角的终边