高考二轮复习文科数学课件（老高考旧教材）第1讲数学思想在高考中的应用

第1讲数学思想在高考中的应用一、函数与方程思想1.函数思想:用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.2.方程思想:分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得到解决.3.函数思想与方程思想的联系:函数与方程的问题可相互转化.求方程f(x)=0的解就是求函数y=f(x)的零点.求方程f(x)=g(x)的解的问题,可以转化为求函数y=f(x)-g(x)的图象与x轴的公共点问题.B解析

设|FA|=r,则r≥c-a=1.设双曲线的右焦点为F',由对称性可知|BF'|=|FA|=r,则|FB|=r+2a=r+6,当r∈(1,6)时,f'(r)<0,f(r)单调递减;当r∈(6,+∞)时,f'(r)>0,f(r)单调递增.(2)已知点O为坐标原点,☉M:x2+(y-1)2=1,☉N:x2+(y+3)2=9,A,B分别为☉M与☉N上的动点,则△AOB面积的最大值为(

)B解析

(方法一)如图,过点M作BO延长线的垂线,垂足为D,与☉M的一个交点为A,则AD为☉M上的点到直线BO的距离的最大值,这时相对于每一个确定的OB,△AOB的面积最大.(3)(原创)设α,β,γ分别为1°,61°,121°,则下列式子成立的是

.

①②规律方法函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:(1)借助有关基本初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.对点训练1(1)(2023山东淄博一模)已知a=e0.3-1,b=ln1.3,c=tan0.3,其中e=2.71828…为自然对数的底数,则(

)A.c>a>b

B.a>c>b

C.b>a>c D.a>b>cB(2)(2023河北邯郸一模)在长方形ABCD中,AB=4,AD=2,E为边AB的中点,G,F分别为边AD,BC上的动点,且∠FEG=,则GE+EF的取值范围是________________.

(3)已知a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc-1=0,则a的取值范围是______________.

解析

∵b+c=-a,bc=1-a,∴b,c是关于x的方程x2+ax+1-a=0的两个根,∴Δ=a2-4(1-a)≥0,即a2+4a-4≥0,二、数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的联系,即以形作为手段,数作为目的借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质D解析

由PC=1可得,点P的轨迹为以点C为圆心,1为半径的圆,如右图所示,取AB的中点D,解析

作出f(x)的函数图象如图所示.∵存在实数a<b<c,满足f(a)=f(b)=f(c),∴a+b=-4,∴af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c-4)f(c)=(c-4)ln

c.由图可知,1<f(c)≤3,∴e<c≤e3.设g(x)=(x-4)ln

x,其中x∈(e,e3],g'(x)=ln

x+1-,显然g'(x)在(e,e3)内单调递增,∵g'(e)=2->0,∴g'(x)>0,∴g(x)在(e,e3]上单调递增,∴g(x)在(e,e3]上的最大值为g(e3)=3(e3-4)=3e3-12,∴(c-4)f(c)的最大值为3e3-12.3e3-12规律方法1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,那么就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即用几何法求解,比较常见的有:2.向量中的一些范围及最值问题,常结合几何图形的性质,使问题得到简便快捷地解决.对点训练2(1)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(

)A.(-1,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)

D.(-∞,0)∪(1,+∞)B解析

f(x)>0等价于2x>x+1,在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x和y=x+1的图象如图所示,两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.三、分类讨论思想分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类的结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.B解析

以正六边形ABCDEF的中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示,AB,DE交y轴于点G,H,(2)(2023天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为____________________.

(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)

规律方法1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如解方程及不等式时,两边同乘一个数,这个数是正数还是负数的讨论;一元二次方程运算中对两根大小的讨论;作差比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.AD四、转化与化归思想转化与化归思想方法,就是在研究和解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题;将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;将陌生的问题转化为熟悉的问题;将未知的问题转化为已知的问题.(2)(原创)已知α∈[0,π),集合A={sinα,sin2α,sin3α},集合B={cosα,cos2α,cos3α},则使A=B成立的角为________.

分析

根据两集合相等的定义分类进行计算,显然非常复杂.将A=B转化为两个集合元素的和或积相等,这个转化只是两集合相等的必要条件,所以还得验证充分条件成立.由题意得sin

α+sin

2α+sin

3α=cos

α+cos

2α+cos

3α,即sin(2α-α)+sin

2α+sin(2α+α)=cos(2α-α)+cos

2α+cos(2α+α),化简得2sin

2αcos

α+sin

2α=2cos

2αcos

α+cos

2α,即sin

2α·(2cos

α+1)=cos

2α(2cos

α+1),∴(sin

2α-cos

2α)(2cos

α+1)=0,即sin

2α=cos

2α,或2cos

α+1=0.规律方法1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.C(2)(2023甘肃一模)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=