2024届湖北省安陆市第一中学数学高二下期末达标测试试题含解析

2024届湖北省安陆市第一中学数学高二下期末达标测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设i为虚数单位，复数等于()A． B．2i C． D．02．在平面内，点x0,y0到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=Ax0A．3 B．6 C．6773．小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点彼此互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则（）A． B． C． D．4．设随机变量的分布列为，则（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知复数z=2i1-i，则A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为（）A． B． C． D．7．若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（）A．， B．，C．， D．，8．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值9．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.8410．已知等差数列中，，，则（）A． B． C． D．11．某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（）．A． B． C． D．12．已知函数与的图象上存在关于对称的点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．已知复数满足方程，则的最小值为____________．15．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线的离心率的概率是______．16．已知函数，则____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数fx（1）讨论函数fx（2）当n∈N*时，证明：18．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）当不等式的解集为时，求实数的取值范围.19．（12分）用函数单调性的定义证明：函数在是减函数.20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是正形，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔（单位：分钟）满足，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔相关：当时高铁为满载状态，载客量为人；当时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人.记发车间隔为分钟时，高铁载客量为.求的表达式；若该线路发车时间间隔为分钟时的净收益（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，（为参数）.（1）求曲线上的点到曲线距离的最小值；（2）若把上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线，设，曲线与交于两点，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

利用复数除法和加法运算求解即可【题目详解】故选B【题目点拨】本题考查复数的运算，准确计算是关键，是基础题2、B【解题分析】

类比得到在空间，点x0,y【题目详解】类比得到在空间，点x0,y0，所以点2,1,2到平面x+y+2z-1=0的距离为d=2+1+4-1故选：B【题目点拨】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3、D【解题分析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4

个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．详解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种

所以小赵独自去一个景点的可能性为种

因为4

个人去的景点不相同的可能性为种，

所以．

故选：D．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．4、C【解题分析】分析：根据方差的定义计算即可.详解：随机变量的分布列为，则则、故选D点睛：本题考查随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．5、C【解题分析】分析：根据复数的运算，求得复数z，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．详解：由题意，复数z=2i1-i所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1)，位于复平面内的第三象限，故选C．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数z是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6、B【解题分析】

利用导数的知识，可得，即三角形为直角三角形，利用基本不等式，可得当直线垂直轴时，面积取得最小值.【题目详解】设，过A，B的切线交于Q，直线的方程为：，把直线的方程代入得：，所以，则，由导数的知识得：，所以，所以，所以，因为，当时，可得的最大值为，故选B.【题目点拨】本题是一道与数学文化有关的试题，如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，即当直线过抛物线的焦点，则切线与切线互相垂直，能使运算量变得更小.7、B【解题分析】

由题意可知，关于的实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，然后利用韦达定理可求出实数与的值.【题目详解】由题意可知，关于的实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，由韦达定理得，解得.故选B.【题目点拨】本题考查利用实系数方程的虚根求参数，解题时充分利用实系数方程的两个虚根互为共轭复数这一性质，并结合韦达定理求解，也可以将虚根代入方程，利用复数相等来求解，考查运算求解能力，属于中等题.8、D【解题分析】

则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减9、A【解题分析】

利用正态分布曲线关于对称进行求解.【题目详解】，正态分布曲线关于对称，，，.【题目点拨】本题考查正态分布，考查对立事件及概率的基本运算，属于基础题.10、C【解题分析】分析：根据等差数列的通项公式，可求得首项和公差，然后可求出值。详解：数列为等差数列，，，所以由等差数列通项公式得，解方程组得所以所以选C点睛：本题考查了等差数列的概念和通项公式的应用，属于简单题。11、B【解题分析】

结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，得解．【题目详解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，故选B．【题目点拨】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题．12、D【解题分析】

由题意可知有解，即在有解，求导数，确定函数的单调性，可知m的范围.【题目详解】∵函数与的图象上存在关于对称的点，∴有解，∴，∴在有解，，∴函数在上单调递增，在上单调递增，∴，故选D.【题目点拨】本题考查利用导数求最值，考查对称性的运用，关键是转化为在有解，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【题目详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为．【题目点拨】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14、【解题分析】

设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为的最小值.【题目详解】复数满足方程，设（），则，在复平面内轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；，意义为圆上的点到的距离，由点与圆的几何性质可知，的最小值为，故答案为：.【题目点拨】本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题.15、【解题分析】

基本事件总数，由双曲线的离心率，得，利用列举法求出双曲线的离心率包含的基本事件有6个，由此能求出双曲线的离心率的概率．【题目详解】某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，基本事件总数，双曲线的离心率，，解得，双曲线的离心率包含的基本事件有：，，，，(1，，，共6个，则双曲线的离心率的概率是．故答案为．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、双曲线性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.16、【解题分析】

求导，代入数据得到答案.【题目详解】故答案为：【题目点拨】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案不唯一，具体见解析（2）见解析【解题分析】

（1）利用导数求函数单调区间的套路，确定定义域，求导，解含参的不等式；（2）由（1）赋值放缩可以得到一函数不等式，再赋值将函数不等式转化为数列不等式，采用累加法即可证明不等式。【题目详解】（1）解：因为f'x①当a≤0时，总有f'x所以fx在0,+∞上单调递减.②当a>0时，令2ax-1x>0故x>12a时，f'x>0，所以fx同理2ax-1x<0时，有f'x<0，所以（2）由（1）知当a>0时，fx若fxmin=0，则1因为fx≥fx当n∈N*时，取x=n+1所以2故22【题目点拨】本题主要考查了导数在函数中的应用，利用导数求函数的单调区间，涉及到含参不等式的讨论，以及利用放缩法证明数列不等式，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力。18、(Ⅰ)(Ⅱ)或【解题分析】

(Ⅰ)根据的范围得到分段函数的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到的最小值，则最小值大于，得到不等式，解不等式求得结果.【题目详解】(Ⅰ)时，当时，，即当时，，即当时，，无解综上，的解集为(Ⅱ)当，即时,时等号成立；当，即时,时等号成立所以的最小值为即或【题目点拨】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.19、证明过程见解析.【解题分析】

按照单调性的定义进行证明，先设是上任意两个实数，则，然后用差比的方法，结合，比较出，这样就证明出函数在是减函数.【题目详解】设是上任意两个实数，则，，，所以有，因此函数在是减函数.【题目点拨】本题考查了用定义证明函数单调性，用差比的方法比较出的大小关系是解题的关键，一般在差比比较过程中，往往会用到因式分解、配方法、通分法等方法.20、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）推导出DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，从而BC⊥平面PCD，进而DE⊥BC，由此能证明DE⊥平面PCB.

（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E−DB−P的余弦值.【题目详解】解：（1）证明：∵在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，

底面ABCD是正方形，PD＝AB，E为PC的中点，

∴DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，

∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，

∵DE⊂平面PCD，∴DE⊥BC，

∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PCB；

（2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，

设PD＝AB＝2，则E（0，1，1），B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），

，

设平面BDE的法向量，

则，取，得，

设平面BDP的法向量，

则，取，得，

设二面角E−BD−P的平面角为θ.

则.

∴二面角E−BD−P的余弦值为.【题目点拨】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.21、（1）（2）发车时间间隔为分钟时，最大【解题分析】

（1）分和两段求函数的解析式，当时，，当时，，求；（2）根据（1）的结果，分段求函数，利用导数求函数的最大值.【题目详解】解：（1）当时，不妨设，因为，所以解得.因此.（2）①当时，因此，.因为，当时，，单增；当时，，单减.所以.②当时，因此，.因为，此时单减.所以，综上，发车时间间隔为分钟时，最大.【题目点拨】本题考查了分段函数求解析式，以及利用导数解实际问题的最值，本题的关键是正确表达和.22、（1）；（2）.【解题分析】

（1）将曲线的极坐标方程和的参数方程都化为普通方程，求出圆的圆心坐标和半径长，并利用点到直线的距离公式计算出圆心到直线的距离，即可得出曲线上的点到曲线距离的最小