2023-2024学年北京市房山区高三上学期期末考试 数学

房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，若复数对应的点为，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，且与的夹角为，则的值为（）A. B. C. D.4.的展开式中的常数项是（）A. B. C. D.5.已知，为非零实数，且，则下列结论正确是（）A. B. C. D.6.已知直线与圆相切，则实数（）A.或 B.或 C.或 D.或7.已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（）A. B. C. D.9.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（）A B.C. D.10.数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（）A.8 B.7 C.6 D.5第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是______.12.记为等差数列的前项和，已知，，则______.13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______.14.已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是______.15.如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点.给出下列结论：①；②平面；③直线与直线所成角的范围是；④点到平面的距离是.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥中，为等腰三角形，，，底面是正方形，，分别为棱，的中点.（1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.17.已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求的值；（2）设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得流量（单位：MB）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）.19.设椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点是椭圆上一个动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的4倍，求直线的方程.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调递增区间；（3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.21.若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.（1）若具有性质“”，且，，，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；（3）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”.房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出集合后由交集定义运算可得.【详解】，故.故选：C.2.在复平面内，若复数对应的点为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出复数，再利用复数的乘法可求得的值.【详解】在复平面内，若复数对应的点为，由复数的几何意义可得，因此，.故选：A.3.已知向量，，且与的夹角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先表示出，然后根据求解出的值.【详解】因为，，所以，所以，解得或（舍去），故选：B.4.的展开式中的常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出二项式展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故选：B.5.已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对A、B、C举反例即可得，对D作差计算即可得.【详解】对A：若，则，故错误；对B：若，则，故错误；对C：若，则，，左右同除，有，故错误；对D：由且，为非零实数，则，即，故正确.故选：D.6.已知直线与圆相切，则实数（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数的值.【详解】圆的圆心为，半径为，因为直线与圆相切，则，即，解得或.故选：D.7.已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，可得函数是R上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.【详解】由函数满足，得函数是R上的偶函数，而在上单调递减，因此，所以“”是“”的充要条件.故选：C8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案.【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为．故选：A.9.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定最小时，点的位置，进而求出的关系即得.【详解】双曲线C：的渐近线为，由对称性不妨令点在第二象限，由双曲线定义得，当且仅当为线段与双曲线的交点时取等号，因此的最小值为的最小值与的和，显然当与渐近线垂直时，取得最小值，而平行于渐近线，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即，则双曲线的渐近线方程为，显然选项ABD不满足，C满足，所以双曲线C的方程可能是.故选：C10.数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】B【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出．【详解】因为为强率，由可得，，即为强率；由可得，，即为强率；由可得，，即为强率；由可得，，即强率；由可得，，即为弱率，所以，故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是______.【答案】【解析】【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.【详解】由题意可得、，故且，故该函数定义域为.故答案为：.12.记为等差数列的前项和，已知，，则______.【答案】【解析】【分析】由等差数列及其前项和的性质计算即可得.【详解】设，则，即，故.故答案为：.13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【详解】在中，由及正弦定理，得，则，整理得，而，因此，又，所以.故答案为：14.已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是______.【答案】或【解析】【分析】设出点的坐标，利用已知列出方程化简即得.【详解】设点，依题意，，即，整理得，所以轨迹方程是或.故答案为：或15.如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点.给出下列结论：①；②平面；③直线与直线所成角的范围是；④点到平面的距离是.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②④【解析】【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有、、、、、、、，则、、、、、、，设，，则，，故，故①正确；设平面的法向量为，则有，即，取，则，有，故，又平面，则平面，故②正确；当时，有，此时，即，即此时直线与直线所成角为，故③错误；由，，则，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：对空间中线上动点问题，可设出未知数表示该动点分线段所得比例，从而用未知数的变化来体现动点的变化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥中，为等腰三角形，，，底面是正方形，，分别为棱，的中点.（1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得；（2）选①，由题意及去推导得到、、两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题；选②，由题意及结合勾股定理的逆定理去推导得到、、两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题.【小问1详解】连接点与中点、连接，又，分别为棱，的中点，故、，又底面是正方形，故、，故且，故四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面；【小问2详解】选条件①：，由且为等腰三角形，故，又，故，有，由，，、平面，，故平面，又平面，故，故、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有、、、、、，则、、，令平面的法向量为，则有，即，令，则，则，故与平面所成角的正弦值为.条件②：，由且为等腰三角形，故，又，故，有，由，则，故，又，故，又，、平面，，故平面，又平面，故，故、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有、、、、、，则、、，令平面的法向量为，则有，即，令，则，则，故与平面所成角的正弦值为.17.已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求的值；（2）设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合的取值范围可求得的值；（2）利用三角恒等变换化简得出，由可得，结合题意可得出关于的不等式，解之即可.【小问1详解】解：将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数，由题意可知，函数为奇函数，则，可得，又因为，则.【小问2详解】解：由（1）可知，，则，因为，则，由，可得，因为在区间上有且只有一个零点，则，解得.因此，实数的取值范围是.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）.【答案】（1）（2）的分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可；（2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.（3）根据数据的集中趋势进行判断即可.【小问1详解】由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，所以该天乙获得流量大于丙获得流量概率为；【小问2详解】由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，因此，，，，所以的分布列如下图所示：012；【小问3详解】根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的的数据最分散，所以，.19.设椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点是椭圆上的一个动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的4倍，求直线的方程.【答案】19.20.【解析】【分析】（1）由题意计算即可得；（2）设出直线，联立曲线，得到、两点的纵坐标，结合面积公式计算即可得.【小问1详解】由，，解得，，故，即椭圆的标准方程为；【小问2详解】由椭圆的标准方程为，则、、，由题意可得直线斜率存在且不为，设，令，则，故，联立，消去得，即，故或，由，故，则，又，即，即，若，则，即，即，即，则，若，则，即，不符，故舍去，即，故，即直线的方程为.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调递增区间；（3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.【答案】（1）（2）、（3）【解析】【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间；（3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可