河南省郑州市四校2024届高二数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

河南省郑州市四校2024届高二数学第二学期期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，且恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数()A． B． C． D．3．若点P在抛物线上，点Q（0,3），则|PQ|的最小值是（）A． B． C． D．4．设命题：，；命题：若，则，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．5．已知的边上有一点满足，则可表示为()A． B．C． D．6．（2018年天津市河西区高三三模）已知双曲线：的虚轴长为，右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．7．若函数至少有1个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．8．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．9．数列满足是数列为等比数列的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是A． B． C． D．11．已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（）A． B．C． D．12．对任意复数，为虚数单位，则下列结论中正确的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设随机变量，随机变量，若，则_________.14．对于自然数方幂和（，），，，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1，33﹣23＝3×22＋3×2＋1，……(n＋1)3﹣n3＝3n2＋3n＋1，将上面各式左右两边分别，就会有(n＋1)3﹣13＝＋＋n，解得＝n(n＋1)(2n＋1)，类比以上过程可以求得，A，B，C，D，E，FR且与n无关，则A＋F的值为_______．15．函数的单调减区间是______．16．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且平面平面．（1）求证：；（2）求二面角的大小．18．（12分）某市召开全市创建全国文明城市动员大会，会议向全市人民发出动员令，吹响了集结号.为了了解哪些人更关注此活动，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为：，，，，，，把年龄落在和内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为.（1）求图中，的值，若以每个小区间的中点值代替该区间的平均值，估计这100人年龄的平均值；（2）若“青少年人”中有15人关注此活动，根据已知条件完成题中的列联表，根据此统计结果，问能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动？关注不关注合计青少年人15中老年人合计5050100附参考公式及参考数据：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）已知是定义域为的奇函数，且当时，，设“”.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）设集合与集合的交集为，若为假，为真，求实数的取值范围.20．（12分）汽车尾气中含有一氧化碳，碳氢化合物等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气之中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废，某环境组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了人，所得数据制成如下列联表：（1）若从这人中任选人，选到了解强制报废标准的人的概率为，问是否在犯错的概率不超过5﹪的前提下认为“机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？（2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中浓度的数据，并制成如图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过年，可近似认为排放的尾气中浓度﹪与使用年限线性相关，确定与的回归方程，并预测该型号的汽车使用年排放尾气中的浓度是使用年的多少倍.附：，0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）椭圆C:x2a2+y2（1）求椭圆C的方程（2）过F1作不垂直x轴的直线交椭圆于A,B两点弦AB的垂直平分线交x轴于M点，求证：AB22．（10分）如图，在正半轴上的点有一只电子狗，点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若.（1）求失败点组成的区域；（2）电子狗选择正半轴上的某一点，若电子狗在线段上获胜，问点应在何处？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由题意可构造函数，由在上恒成立，分离参数并构造新的函数，利用导数判断其单调性并求得最小值，即可求出的取值范围.【题目详解】由，得恒成立，令，即，，则在上单调递减，所以在上恒成立，当时，成立，当时，等价于，令，则，所以在上单调递减，，即故选：D【题目点拨】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，考查导数和构造函数的应用，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.2、A【解题分析】由，得，故选A.3、B【解题分析】试题分析：如图所示，设，其中，则，故选B.考点：抛物线.4、D【解题分析】分析：先判断命题的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得结论.详解：因为成立，所以，不存在，，故命题为假命题，为真命题；当时，成立，但不成立，故命题为假命题，为真命题；故命题均为假命题，命题为真命题，故选D.点睛：本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查不等式的性质以及特称命题的定义，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.5、D【解题分析】

由，结合题中条件即可得解.【题目详解】由题意可知.故选D.【题目点拨】本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.6、A【解题分析】分析：由虚轴长为可得，由到渐近线的距离为可解得，从而可得结果.详解：由虚轴长为可得，右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，，解得，则双曲线的方程为，故选A.点睛：用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.7、C【解题分析】

令，则函数至少有1个零点等价于函数至少有1个零点，对函数求导，讨论和时，函数的单调性，以及最值的情况，即可求出满足题意的实数的取值范围。【题目详解】由题可得函数的定义域为；令，则，函数至少有1个零点等价于函数至少有1个零点；；（1）当时，则在上恒成立，即函数在单调递增，当时，，当时，，由零点定理可得当时，函数在有且只有一个零点，满足题意；（2）当时，令，解得：，令，解得：，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，所以要使函数至少有1个零点，则，解得：综上所述：实数的取值范围是：故答案选C【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的零点个数的问题，由导数研究函数的单调区间以及最值是解题的关键，属于中档题。8、C【解题分析】

先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.【题目详解】因为函数在上连续单调递增，且,所以函数的零点在区间内，故选C.【题目点拨】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.9、B【解题分析】分析：由反例得充分性不成立，再根据等比数列性质证必要性成立.详解：因为满足，所以充分性不成立若数列为等比数列，则，即必要性成立.选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．10、C【解题分析】分析：构造函数，利用已知条件确定的正负，从而得其单调性．详解：设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增．又是奇函数，∴是偶函数，∴，，∵，∴，即．故选C．点睛：本题考查由导数研究函数的单调性，解题关键是构造新函数，通过研究的单调性和奇偶性，由奇偶性可以把变量值转化到同一单调区间上，从而比较大小．11、A【解题分析】

首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除，再根据，可排除，从而得到结果.【题目详解】由题意得：为奇函数，图象关于原点对称可排除又当时，，可排除本题正确选项：【题目点拨】此题考查函数图象的识别，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，关键是能够利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．12、B【解题分析】分析：由题可知，然后根据复数的运算性质及基本概念逐一核对四个选项得到正确答案.详解：已知则选项A，，错误.选项B，，正确.选项C，，错误.选项D，，不恒成立，错误.故选B.点睛：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解题分析】因，故，即，则，又随机变量，所以，，应填答案。14、.【解题分析】分析：先根据推导过程确定A,F取法，即得A＋F的值.详解：因为,，所以,所以,,所以.点睛：本题考查运用类比方法求解问题，考查归纳观察能力.15、【解题分析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.详解：函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.16、【解题分析】

选出的男女同学均不少于1名有两种情况：1名男生2名女生和2名男生1名女生，根据组合数公式求出数量，再用古典概型计算公式求解.【题目详解】从5名男同学和2名女同学中选出3人，有种选法；选出的男女同学均不少于1名，有种选法；故选出的同学中男女生均不少于1名的概率：.【题目点拨】本题考查排列组合和古典概型.排列组合方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见证明；（2）90°【解题分析】

（1）利用垂直于所在的平面，从而证得；（2）找到三条两两互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，再分别求出两个面的法向量，，最后求法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的大小.【题目详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∵，，，∴，，∴.（2）如图建立空间直角坐标系，则、、、、，从而，，.设为平面的法向量，则令，所以，设为平面的法向量，则，令，所以，因此，，有，即，故二面角的大小为.【题目点拨】证明线线垂直的一般思路：证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，所以根据题目所给的图形，观察并确定哪一条线垂直于哪一条线所在的平面，是证明的关键.18、（1）；100人年龄的平均值为.（2）表格数据为：25，40，35，25，60；没有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动.【解题分析】

（1）由频率分布直方图求出对应的频率，列方程求得和的值，再计算这组数据的平均值；（2）由题意计算“青少年人”与“中老年人”的人数，完成列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.【题目详解】解：（1）由题意知，青少年、中老年人的频率分别为和，由，，解得：；则这100人年龄的平均值为:；（2）由题意知，青少年人共有人，中老年人共有人；由此完成列联表如下，关注不关注合计青少年人152540中老年人352560合计5050100根据此统计结果，计算，所以没有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动.【题目点拨】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图应用问题，是中档题.19、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）由已知可得，函数为上的奇函数、且为增函数，由命题为真，则，所以，从而解得；（2）由集合，若为真，则，因为“为假，为真”等价于“、一真一假”，因此若真假，则；若假真，则.从而可得，实数的取值范围是.试题解析：∵函数是奇函数，∴，∵当时，，∴函数为上的增函数，∵，，∴，∴，若为真，则，解得（2），若为真，则，∵为假，为真，∴、一真一假，若真假，则；若假真，则综上，实数的取值范围是考点：1.函数性质的应用；2.命题的真假判断及其逻辑运算.20、（1）可以在犯错的概率不超过5﹪的前提下认为“机动车强制报废标准是否了解与性别有关”（2）；预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度是使用4年的4.2倍.【解题分析】

（1）根据题意计算，再利用，计算出，对照临界值得出结论；（2）由公式计算出，可得y关于t的回归方程，把t=12代入回归方程中，可预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的浓度，即得。【题目详解】（1）设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件，由已知得，解得，所以，，.假设：机动车强制报废标准是否了解与性别无关.由2×2列联表可知，的观测值，∴可以在犯错的概率