2024届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高二数学第二学期期末监测试题含解析

2024届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高二数学第二学期期末监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（）A． B． C． D．2．已知集合A={x|x2>x,x∈R}，A．{x|12≤x≤1} B．{x|12<x<2} C．{x|x≤13．双曲线的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆C的离心率为()A． B． C． D．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．5．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从人中抽取人参加某种测试，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为，抽到的人中，编号落在区间的人做试卷，编号落在的人做试卷，其余的人做试卷，则做试卷的人数为()A． B． C． D．6．在三棱锥中，，点为所在平面内的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线7．双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（）A． B． C． D．8．双曲线的离心率等于2，则实数a等于（）A．1 B． C．3 D．69．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．5 B．6 C．7 D．810．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)11．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.7，骑士获胜的概率为0.3，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为__________．14．已知向量，，若，则__________．15．将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象，则的值是____.16．已知函数，且过原点的直线与曲线相切，若曲线与直线轴围成的封闭区域的面积为，则的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围；（2）对于区间上的任意不相等的实数、，都有成立，求的取值范围.18．（12分）随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了100名用户，得到用户的满意度评分，现将评分分为5组，如下表：组别一二三四五满意度评分[0，2）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10]频数510a3216频率0.05b0.37c0.16(1)求表格中的a，b，c的值；(2)估计用户的满意度评分的平均数；(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？19．（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）设是的两个零点，证明：．20．（12分）【选修4-4，坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=22t,y=3+（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A,B,求|PA||PB|的值.21．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．22．（10分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评对车辆状况不满意合计（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

记事件第一次取到的是合格高尔夫球，事件第二次取到不合格高尔夫球，由题意可得事件发生所包含的基本事件数，事件发生所包含的基本事件数，然后即可求出答案.【题目详解】记事件第一次取到的是合格高尔夫球事件第二次取到不合格高尔夫球由题意可得事件发生所包含的基本事件数事件发生所包含的基本事件数所以故选：B【题目点拨】本题考查的是条件概率，较简单.2、C【解题分析】

求出集合A中的不等式的解集确定出A，找出A，B的交集后直接取补集计算【题目详解】∵A=B={x|∴A∩B={x|1<x<2则CR(A∩B)={x|x≤1故选C【题目点拨】本题主要考查了不等式的解法及集合的交集，补集的运算，属于基础题．3、B【解题分析】

求出直线方程,利用过过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为列出方程求解即可.【题目详解】双曲线的左焦点过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为,可得：,可得:则双曲线的离心率为:故选:B.【题目点拨】本题考查双曲线的简单性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,考查离心率的求法,考查计算能力.4、A【解题分析】

由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案.【题目详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为，故选A.【题目点拨】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.5、B【解题分析】，由题意可得抽到的号码构成以为首项，以为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为，落入区间的人做问卷，由，即，解得，再由为正整数可得，做问卷的人数为，故选B.6、B【解题分析】

建立空间直角坐标系，根据题意，求出轨迹方程，可得其轨迹.【题目详解】由题，三棱锥为正三棱锥，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，则以为坐标原点，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得，设为平面内任一点，则，由题与所成角为定值，，则则，化简得，故动点的轨迹是椭圆.选B【题目点拨】本题考查利用空间向量研究两条直线所成的角，轨迹方程等，属中档题.7、B【解题分析】

根据渐近线得到，得到离心率.【题目详解】双曲线的渐近线方程为，则，，.故选：.【题目点拨】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.8、A【解题分析】

利用离心率的平方列方程，解方程求得的值.【题目详解】由可得，从而选A.【题目点拨】本小题主要考查已知双曲线的离心率求参数，考查方程的思想，属于基础题.9、A【解题分析】，故输出.10、B【解题分析】

分析：由已知条件推导出a≤x+2lnx+3x,x>0，令y=x+2lnx+3【题目详解】详解：由题意2xlnx≥-x2所以a≤x+2lnx+3x设y=x+2lnx+3由y'=0，得当x∈(0,1)时，y'<0，当x∈(1,+∞)时，所以x=1时，ymin=1+0+3=4，所以即实数a的取值范围是(-∞,4].点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．11、D【解题分析】分析：求出导函数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，推出结果即可．详解：函数，可得f′（x）=x2﹣mx+1，函数在区间[1，2]上是增函数，可得x2﹣mx+1≥0，在区间[1，2]上恒成立，可得m≤x+，x+≥2=1，当且仅当x=2，时取等号、可得m≤1．故选：D．点睛：本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．函数在一个区间上单调递增，则函数的导函数大于等于0恒成立，函数在一个区间上存在单调增区间，则函数的导函数在这个区间上大于0有解.12、C【解题分析】

由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.【题目详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；本题选择C选项.【题目点拨】“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.3108【解题分析】分析：设“勇士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．设“骑士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由能求出骑士队以比分4：1获胜的概率．则恰好5场比赛决出总冠军的概率为.详解：设“勇士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．则设“骑士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由能求出骑士队以比分4：1获胜的概率．则则恰好5场比赛决出总冠军的概率为即答案为0.3108.点睛：本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，同时考查了分析问题的能力和计算能力，属于中档题．14、【解题分析】

先根据向量的平行求出x的值，再根据向量的数量积计算即可．【题目详解】解：∵，因为，所以，解得：，所以．【题目点拨】本题考查了向量的平行和向量的数量积，属于基础题．15、1【解题分析】

利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再代入后可得g（）的值．【题目详解】解：将函数f（x）＝sin（2x+π）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）＝sin[2（x﹣）+π]＝cos2x的图象，则g（）＝cos（2×）＝1，故答案为1．【题目点拨】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象平移变换，属于基础题．16、【解题分析】分析：先根据导数几何意义求切点以及切线方程，再根据定积分求封闭区域的面积，解得的值.详解：设切点，因为，所以所以当时封闭区域的面积为因此，当时，同理可得，即点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解题分析】

(1)由得，即与的图象在上有唯一交点.设,利用导数讨论出函数的单调性，得出答案.

(2)不妨设，当时，,则在上单调递增，则转化为，即在上单调递减，所以恒成立，当时，即在上单调递增，从而可求答案.【题目详解】【题目详解】（1）解：由，得，设，，则问题等价于与的图象在上有唯一交点，∵，∴时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，∵，且时，，∴.（2）解：，在上单调递增.不妨设，当时，,则在上单调递增，，，∴可化为，∴，设，即，∵在上单调递减，∴恒成立，即在上恒成立，∵，∴，当时，，，∴可化为，∴，设，即，∵在上单调递增，∴恒成立，即在上恒成立.∴，∴，综上所述：或.【题目点拨】本题考查根据方程根的个数求参数范围和构造函数利用函数的单调性求参数范围，属于中档题.18、(1)，，；(2)5.88；(3)13.【解题分析】

（1）由频数分布表，即可求解表格中的的值；（2）由频数分布表，即可估计用户的满意度平分的平均数；（3）从这100名用户中随机抽取25人，由频数分布表能估计满意度平分低于6分的人数．【题目详解】(1)由频数分布表得，解得，，；(2)估计用户的满意度评分的平均数为：.(3)从这100名用户中随机抽取25人，估计满足一度评分低于6分的人数为：人.【题目点拨】本题主要考查了频数分布表的应用，以及平均数、频数的求解，其中解答中熟记频数分布表的性质，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题．19、（1）见解析（2）见解析【解题分析】分析：（1）求导，对参数分两种情况进行讨论，令得函数的单调递增区间，令得函数的单调递减区间；（2）令，分离参数得，令，研究函数的性质，可将证明转化为证明，即证明成立，令，利用导数研究函数的增减性，可得，问题得证.详解：（1），当时，，则在上单调递增．当时，令，得，则的单调递增区间为，令，得，则的单调递减区间为．（2）证明：由得，设，则．由，得；由，得．故的最小值．当时，，当时，，不妨设，则，等价于，且在上单调递增，要证：，只需证，，只需证，即，即证；设，则，令，则，，在上单调递减，即在上单调递减，，在上单调递增，，从而得证．点睛：本题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数进行分类讨论，再分别令，即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调性；第二问解题时，首先对进行参数分离，再构造新函数，利用函数的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明.20、（1）直线l的普通方程为x-y+3=0，曲线C的直角坐标方程为(x+1)2+(