天津市大良中学 2024届高二数学第二学期期末联考模拟试题含解析

天津市大良中学2024届高二数学第二学期期末联考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由得参照附表，得到的正确结论是（）.爱好不爱好合计男生20525女生101525合计302050附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”2．已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则．”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则（）A． B． C． D．3．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有()种.A．36 B．30 C．12 D．64．在中，分别为内角的对边，若，，且，则（）A．2 B．3 C．4 D．55．正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么（）A． B．C． D．.6．在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题是“第一次投中”，是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为A． B． C． D．7．在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的列联表：看书运动合计男82028女161228合计243256根据表中数据，得到，所以我们至少有（）的把握判定休闲方式与性别有关系.（参考数据：，）A．99% B．95% C．1% D．5%8．已知定义在上的函数的周期为6，当时，，则（）A． B． C． D．9．对于函数，曲线在与坐标轴交点处的切线方程为，由于曲线在切线的上方，故有不等式．类比上述推理：对于函数，有不等式（）A． B．C． D．10．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（）A．5 B．4 C．3 D．911．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为()A． B． C． D．12．“”是双曲线的离心率为（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．即不充分也不必要条件 D．充分不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数是纯虚数，则实数的值为____．14．已知非零向量，，满足：，且不等式恒成立，则实数的最大值为__________.15．已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则的共轭复数________．16．函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在极坐标系中，，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是线段，曲线是线段，曲线是弧.（1）分别写出，，，的极坐标方程；（2）曲线由，，，构成，若点，（），在上，则当时，求点的极坐标.18．（12分）已知函数f(x)=2ln（1）当a=2时，求f(x)的图像在x=1处的切线方程；（2）若函数g(x)=f(x)-ax+m在[1e,e]19．（12分）已知数列满足，.（1）求；（2）求证：.20．（12分）在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2.（1）求点的轨迹的方程；（2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由.21．（12分）小王每天自己开车上班，他在路上所用的时间（分钟）与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了200次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率.（分钟）15202530频数（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用时间的数学期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过的天数为，求的分布列及数学期望.22．（10分）某村计划建造一个室内面积为800平米的矩形蔬菜温室，在温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大的种植面积是多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

对照表格，看在中哪两个数之间，用较小的那个数据说明结论．【题目详解】由≈8.333＞7.879，参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：A．【题目点拨】本题考查独立性检验，属于基础题．2、C【解题分析】解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；由题目中“在正三角形ABC中，若D是边BC中点，G是三角形ABC的重心，则AG：GD=2：1”，我们可以推断：“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1．”故答案为“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1．”3、A【解题分析】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有种.本题选择A选项.4、C【解题分析】利用正弦定理可得:，①由余弦定理可得：，②由，得，③由①②③得，，故选C.5、D【解题分析】

用向量的加法和数乘法则运算。【题目详解】由题意：点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，∴。故选：D。【题目点拨】本题考查向量的线性运算，解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得。6、D【解题分析】分析：结合课本知识点命题的否定和“且”联结的命题表示来解答详解：命题是“第一次投中”，则命题是“第一次没投中”同理可得命题是“第二次没投中”则命题“两次都没有投中目标”可表示为故选点睛：本题主要考查了，以及的概念，并理解为真时，，中至少有一个为真。7、B【解题分析】

利用与临界值比较，即可得到结论.【题目详解】结合题意和独立性检验的结论，由，，故这种判断出错的可能性至多为，即，故我们至少有95%的把握判定休闲方式与性别有关系.故选：B【题目点拨】本题考查了独立性检验的基本思想与应用，属于基础题.8、C【解题分析】

根据函数的周期性以及时的解析式结合，可得，利用对数的运算性质，化简可得答案．【题目详解】∵定义在上的函数的周期为6，当时，，又∵，∴，.即，故选C.【题目点拨】本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，考查了学生的计算能力，属于中档题.9、A【解题分析】

求导，求出函数与轴的交点坐标，再求出在交点处的切线斜率，代入点斜式方程求出切线，在与函数图像的位置比较，即可得出答案．【题目详解】由题意得，且的图像与轴的交点为，则在处的切线斜率为，在处的切线方程为，因为切线在图像的上方，所以故选A【题目点拨】本题考查由导函数求切线方程以及函数图像的位置，属于一般题．10、B【解题分析】

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出，分析循环中各变量的变化情况，可得答案.【题目详解】当时，，，满足进行循环的条件；当时，，，满足进行循环的条件；当时，，，满足进行循环的条件；当时，，，不满足进行循环的条件；故选：B【题目点拨】本题主要考查程序框图，解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况，属于基础题.11、D【解题分析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积．详解：因为，所以，过的中点作平面的垂下，则球心在上，设，球的半径为，则棱锥的高的最大值为，因为，所以，由勾股定理得，解得，所以球的表面积为，故选D．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．12、D【解题分析】

将双曲线标准化为,由于离心率为可得,在根据充分、必要条件的判定方法,即可得到结论.【题目详解】将双曲线标准化则根据离心率的定义可知本题中应有,则可解得,因为可以推出;反之成立不能得出.故选:.【题目点拨】本题考查双曲的离心率公式,考查充分不必要条件的判断,双曲线方程的标准化后离心率公式的正确使用是解答本题的关键,难度一般.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、－【解题分析】

由纯虚数的定义，可以得到一个关于的等式和不等式，最后求出的值.【题目详解】因为复数是纯虚数，所以有，.故答案为.【题目点拨】本题考查了纯虚数的定义，解不等式和方程是解题的关键.14、4.【解题分析】

法一：采用数形结合，可判断的终点是在以AB为直径的圆上，从而分离参数转化成恒成立问题即可得到答案.法二：（特殊值法）可先设，，，利用找出的轨迹，从而将不等式恒成立问题转化为函数问题求解.【题目详解】法一：作出相关图形，设,，由于，所以，且这两个向量共起点，所以的终点是在以AB为直径的圆上，可设，所以由图可知，，所，等价于,,所以，答案为4.法二：（特殊值法）不妨设，，，则，，，由于可得整理得，可得圆的参数方程为：，则相当于恒成立，即求得，即求的最大值即可，，所以，因此.故答案为4.【题目点拨】本题主要考查向量的相关运算，参数方程的运用，不等式恒成立问题，意在考查学生的综合转化能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.15、【解题分析】

把复数对应的点的坐标代入直线上，由此得到复数，即可求出答案【题目详解】复数在复平面内对应的点为，代入直线，可得，解得：，故复数，所以复数的共轭复数；故答案为【题目点拨】本题主要考查复数对应点的坐标以及与共轭复数的关系，属于基础题。16、【解题分析】考点：此题主要考查三角函数的概念、化简、性质，考查运算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）线的极坐标方程为：，的极坐标方程为：，，的极坐标方程分别为：，；（2），.【解题分析】

（1）在极坐标系下，在曲线上任取一点，直角三角形中，，曲线的极坐标方程为：，同理可得其他.（2）当时，，，当，，计算得到答案.【题目详解】（1）解法一：在极坐标系下，在曲线上任取一点，连接、，则在直角三角形中，，，，得：.所以曲线的极坐标方程为：又在曲线上任取一点，则在中，，，，，，由正弦定理得：，即：，化简得的极坐标方程为：同理可得曲线，的极坐标方程分别为：，解法二：（先写出直角坐标方程，再化成极坐标方程.）由题意可知，，，的直角坐标方程为：，，，，所以，，，的极坐标方程为：，，，（2）当时，，，当时，，，所以点的极坐标为，【题目点拨】本题考查了极坐标的计算，意在考查学生对于极坐标的理解和计算能力.18、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求的图象在处的切线方程；（2）利用导数求出函数的在上的极值和最值，即可得到结论．试题解析：（1）当时，，，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即.（2），则.∵，∴当时，.当时，；当时，.故在处取得极大值.又，，，则，∴在上的最小值是．在上有两个零点的条件是，解得，∴实数的取值范围是．考点：利用导数求闭区间上函数的最值.19、（1）；（2）证明见解析【解题分析】

（1）根据题意变换得到数列是首项为2，公比为2的等比数列，得到通项公式.（2），，代入计算得到答案.【题目详解】（1）由得，所以当时，因此有，即，整理得，又，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，求得.（2）记，故，又，所以.【题目点拨】本题考查了数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生对于数列的放缩能力和应用能力.20、（1）；（2）对称性：曲线关于轴对称；顶点：；范围：曲线在直线右侧，且右上方和右下方无限延伸.理由见解析【解题分析】

（1）设，根据题意列出等量关系，化简整理，即可得出结果；（2）根据由抛物线向右平移一个单位得到，结合抛物线的性质，即可得出结果.【题目详解】（1）由题意可得：动点到直线的距离与到的距离相等，设，则，化简整理，可得，所以点的轨迹的方程为；（2）由（1