2024届广东省广州铁一中学数学高二下期末教学质量检测试题含解析

2024届广东省广州铁一中学数学高二下期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数的实部为A． B． C． D．2．已知数列的前项和为，且，若，则（）A． B． C． D．3．设，，∈R，且＞，则A． B． C． D．4．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则的最大值为A． B． C． D．5．设集合，，则A． B． C． D．6．已知，，，则（）．A． B． C． D．7．在方程（为参数）所表示的曲线上的点是（）A．(2,7) B． C．(1,0) D．8．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B． C． D．9．下列命题中正确的个数()①“∀x>0，2x>sinx”的否定是“∃x0≤0，2x0≤sinx0”；②用相关指数R2可以刻画回归的拟合效果，A．0 B．1 C．2 D．310．函数的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）11．执行如图所示程序框图，输出的的值为（）A． B． C．3 D．412．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0<X<1)的值为()A．p B．1－p C．1－2p D．－p二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高,则____________．14．已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为__________．15．设等差数列，的前项和分别为，，若，则__________．16．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．(1)解不等式；(2)记函数的值域为M，若，证明：．18．（12分）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计，按分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在的数据).（1）求样本容量和频率分布直方图中的（2）在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在内的株数,求随机变量的分布列及数学期望.19．（12分）已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是.求：（1）展开式中各项系数的和；（2）展开式中系数最大的项.20．（12分）已知函数.（1）求函数在点处的切线方程.（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）求曲线在点处的切线方程．22．（10分）某村计划建造一个室内面积为800平米的矩形蔬菜温室，在温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大的种植面积是多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析:先化简复数z,再求复数z的实部.详解：原式=，所以复数的实部为.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算和实部虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数的实部是a,虚部为b，不是bi.2、B【解题分析】分析：根据等差数列的判断方法，确定数列为等差数列，再由等差数列的性质和前n项和公式，即可求得的值.详解：，得数列为等差数列.由等差数列性质：，故选B.点睛：本题考查等差数列的判断方法，等差数列的求和公式及性质，考查了推理能力和计算能力.等差数列的常用判断方法(1)定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；(2)等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;(3)通项公式：(为常数,)⇔是等差数列;(4)前项和公式：(为常数,)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔是等差数列.3、D【解题分析】分析：带特殊值验证即可详解：排除A,B．排除C．故选D点睛：带特殊值是比较大小的常见方法之一．4、D【解题分析】

设这个篮球运动员得1分的概率为c，由题设知

，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab的最大值．【题目详解】设这个篮球运动员得1分的概率为c，

∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5，

投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为1，

∴

，

解得2a+b=0.5，

∵a、b∈（0，1），

∴

=

=

，

∴ab

，

当且仅当2a=b=

时，ab取最大值

．

故选D．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．5、C【解题分析】由，得：∴；∵，∴∴故选C6、C【解题分析】试题分析：因为所以选C．考点：比较大小7、D【解题分析】分析：化参数方程（为参数）为普通方程，将四个点代入验证即可.详解：方程（为参数）消去参数得到将四个点代入验证只有D满足方程.故选D.点睛：本题考查参数分析与普通方程的互化，属基础题8、B【解题分析】

由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．故选B.9、C【解题分析】

根据含量词命题的否定可知①错误；根据相关指数的特点可知R2越接近0，模型拟合度越低，可知②错误；根据四种命题的关系首先得到逆命题，利用不等式性质可知③正确；分别在m=0和m≠0的情况下，根据解集为R确定不等关系，从而解得m【题目详解】①根据全称量词的否定可知“∀x>0，2x>sinx”的否定是“∃x②相关指数R2越接近1，模型拟合度越高，即拟合效果越好；R2越接近③若“a>b>0，则3a>3b>0④当m=0时，mx2-2当m≠0时，若mx2-2m+1解得：m≥1，则④正确.∴正确的命题为：③④本题正确选项：C【题目点拨】本题考查命题真假性的判断，涉及到含量词命题的否定、四种命题的关系及真假性的判断、相关指数的应用、根据一元二次不等式解集为R求解参数范围的知识.10、B【解题分析】

根据函数的零点存在原理判断区间端点处函数值的符号情况，从而可得答案.【题目详解】由的图像在上是连续不间断的.且在上单调递增，又，,根据函数的零点存在原理有：在在有唯一零点且在内.故选：B.【题目点拨】本题考查函数的零点所在区间，利用函数的零点存在原理可解决，属于基础题.11、B【解题分析】分析：根据判断框的条件确定退出循环体的k值，再根据框图的流程确定算法的功能，利用约分消项法求解．详解：由题可知：此时输出S=故选B.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能以及对对数公式的准确运用是关键．属于基础题.12、D【解题分析】

由，得正态分布概率密度曲线关于对称，又由，根据对称性，可得，进而可得，即可求解．【题目详解】由随机变量，可知随机变量服从正态分布，其中是图象的对称轴，又由，所以，又因为，根据正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以，故选D．【题目点拨】本题主要考查了正态分布曲线性质的简单应用，其中熟记正态分布概率密度曲线的对称性，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】试题分析：由题可知，小球的体积等于水面上升的的体积，因此有，化简可得，；考点：简单几何体的体积公式14、6【解题分析】

先设两圆的圆心为，球心为，公共弦为，中点为，由球心到这两个平面的距离相等，可得两圆半径相等，然后设两圆半径为r,由勾股定理表示出，，再由，即可求出r，从而可得结果.【题目详解】设两圆的圆心为，球心为，公共弦为，中点为，因为球心到这两个平面的距离相等，则为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为，，，又，，，.这两个圆的半径之和为6.【题目点拨】本题主要考查球的结构特征，由球的特征和题中条件，找出等量关系，即可求解.15、【解题分析】分析：首先根据等差数列的性质得到，利用分数的性质，将项的比值转化为和的比值，从而求得结果.详解：根据题意有，所以答案是.点睛：该题考查的是有关等差数列的性质的问题，将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值，结论为，从而求得结果.16、216【解题分析】

分个位是0或者5两种情况利用排列知识讨论得解.【题目详解】当个位是0时，前面四位有种排法，此时共有120个五位数满足题意；当个位是5时，首位不能是0，所以首位有4种排法，中间三位有种排法，所以此时共有个五位数满足题意.所以满足题意的五位数共有个.故答案为：216【题目点拨】本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析【解题分析】

（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式得最小值，即得值域为，再作差并因式分解，根据各因子符号确定差的符号即得结果.【题目详解】（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于.∵，∴，.∴.∴.【题目点拨】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．18、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）由题得，再利用频率和为1求x的值.(2)先求出的可能取值为1,2,3，再求其对应的概率，再列分布列求期望.详解：(1)由题意可知，样本容量.(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数的可能取值为1,2,3，则,123故点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中的频数频率等的计算，考查离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)……为的均值或数学期望，简称期望，求期望的关键是求随机变量的概率.19、（1）；（2）和.【解题分析】分析：（1）由条件求得，令，可得展开式的各项系数的和．(2)设展开式中的第项、第项、第项的系数分别为，，.若第项的系数最大，则，解不等式即可.详解：展开式的通项为.依题意，，得.(1)令，则各项系数的和为.(2)设展开式中的第项、第项、第项的系数分别为，，.若第项的系数最大，则,得.于是系数最大的项是和.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．20、（1）；（2）【解题分析】

（1）求出，然后算出和即可（2）由题意得，然后利用导数求出右边的最大值即可【题目详解】（1）切线方程为即（2）由题意令则只需，从而在上为增函数，在上为减函数.，实数的取值范围为【题目点拨】恒成立问题或存在性问题，通常是通过分离变量，转化为最值问题.21、（1）极大值为，极小值为（2）【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根据二次函数的图象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）由导数的几何意义求出f′（0）：切线的斜率，由解析式求出f（0）的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f（0））处的切线方程，再化为一般式方程试题解析：（1），，．①当时，；②当时，．当变化时，，的变化情况如下表：当时，有极大值，并且极大值为当时，有极小值，并且极小值为（2），．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导