四川省乐山市高中2024届数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

四川省乐山市高中2024届数学高二第二学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则异面直线与所成的角是（）A． B． C． D．2．已知，则的值为（）A． B． C． D．3．在中，，，则（）A．1 B． C． D．24．已知，那么（）A．20 B．30 C．42 D．725．某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则A． B． C． D．6．设函数，若实数分别是的零点，则（）A． B． C． D．7．已知函数（其中）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．在的展开式中，的系数为()A．-120 B．120 C．-15 D．159．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（）A． B． C． D．10．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（）A．充分非必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（）A．事件与事件不相互独立 B．，，是两两互斥的事件C． D．12．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，为坐标原点，则的面积与的面积之比为A． B． C． D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知不等式恒成立，其中为自然常数，则的最大值为_____．14．若函数f(x)=-13x3+1215．已知球的半径为1，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是__________．16．二项式的展开式中的系数为，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的最大值，并说明取最大值时对应的的值.18．（12分）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男22▲30女▲12▲总计▲▲50表1并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示：成功完成时间（分钟）[0，10)[10，20)[20，30)[30，40]人数101055表2（1）将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（2）根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）现从表2中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.附参考公式及数据：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知直线的参数方程是，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值.20．（12分）某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，如图所示：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70,80)，[80,90)和[90,100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70,80)分数段的人数X的分布列和数学期望.21．（12分）已知的极坐标方程为，,分别为在直角坐标系中与轴，轴的交点．曲线的参数方程为（为参数，且），为,的中点．（1）将，化为普通方程；（2）求直线（为坐标原点）被曲线所截得弦长．22．（10分）已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，因为PB∥CM，所以就是异面直线PB与AC所成的角.【题目详解】解：由题意：底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，

.

∴PBCM是平行四边形，

∴PB∥CM，

所以∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角.

设PA＝AB＝，在三角形ACM中，

∴三角形ACM是等边三角形.

所以∠ACM等于60°，即异面直线PB与AC所成的角为60°.

故选：B.【题目点拨】本题考查了两条异面直线所成的角的证明及求法.属于基础题.2、B【解题分析】

直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可.【题目详解】解：因为，则.故选：B.【题目点拨】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题.3、B【解题分析】

由向量的数量积公式直接求解即可【题目详解】因为，所以为直角三角形，所以，所以.故选B【题目点拨】本题考查平面向量的夹角与模，以及平面向量数量积的运算，考查运算求解能力.4、B【解题分析】

通过计算n，代入计算得到答案.【题目详解】答案选B【题目点拨】本题考查了排列数和组合数的计算，属于简单题.5、B【解题分析】解：因为5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，则6、A【解题分析】由题意得，函数在各自的定义域上分别为增函数，∵，又实数分别是的零点∴，∴，故．选A．点睛：解答本题时，先根据所给的函数的解析式判断单调性，然后利用判断零点所在的范围，然后根据函数的单调性求得的取值范围，其中借助0将与联系在一起是关键．7、D【解题分析】

根据复合函数增减性与对数函数的增减性来进行判断求解【题目详解】，为减函数，若底数，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递增，与题不符，舍去若底数，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递减，的定义域满足，，因在区间上单调递减，故有，所以答案选D【题目点拨】复合函数的增减性满足同增异减，对于对数函数中底数不能确定的情况，需对底数进行分类讨论，再进行求解8、C【解题分析】

写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．【题目详解】的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C【题目点拨】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．9、B【解题分析】

建立空间直角坐标系，先求得向量的夹角的余弦值，即可得到异面直线所成角的余弦值，得到答案.【题目详解】分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，可得,所以，所以，所以异面直线和所成的角的余弦值为，所以异面直线和所成的角为，故选B.【题目点拨】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、A【解题分析】

根据命题的“真、假”，条件与结论的关系即可得出选项。【题目详解】不到蓬莱不成仙，成仙到蓬莱，“成仙”是到“到蓬莱”的充分条件，但“到蓬莱”是否“成仙”不确定，因此“成仙”是“到蓬莱”的充分非必要条件。故选：A【题目点拨】充分、必要条件有三种判断方法：1、定义法：直接判断“若则”和“若则”的真假。2、等假法：利用原命题与逆否命题的关系判断。3、若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若,则A是B的充要条件。11、C【解题分析】

依次判断每个选项得到答案.【题目详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B.，，两两不可能同时发生，正确C.，不正确D.，正确故答案选C【题目点拨】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.12、D【解题分析】

设点位于第一象限，点，并设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出，由抛物线的定义得出点的坐标，可得出点的纵坐标的值，最后得出的面积与的面积之比为的值.【题目详解】设点位于第一象限，点，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，得，，由抛物线的定义得，得，，，，可得出，，故选：D.【题目点拨】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在直线与抛物线综合问题中的应用，解题的关键在于利用抛物线的定义以及韦达定理求点的坐标，并将三角形的面积比转化为高之比来处理，考查运算求解能力，属于中等题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定的最大值.【题目详解】令当时，，不满足条件；当时，，当时当时因此，从而令再令所以当时；当时；即，从而的最大值为.【题目点拨】本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.14、(-【解题分析】试题分析：f'(x)=-x2+x+2a=-f'(23)=2a+29考点：利用导数判断函数的单调性．15、【解题分析】分析：以球心为坐标原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，用来表示，进而求出答案.详解：由题可知，则，以球心为坐标原点，以为轴正方向，平面的垂线为轴建立空间坐标系，则，，设，在球面上，则设，当直线与圆相切时，取得最值.由得故答案为点睛：本题考查了空间向量数量积的运算，使用坐标法可以简化计算，动点问题中变量的取值范围是解此类问题的关键.16、【解题分析】分析：先根据二项展开式的通项求得的系数，进而得到的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．详解：二项式的展开式的通项为，令，可得的系数为，由题意得，解得．∴．点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的最小正周期为（2）时，取得最大值【解题分析】

降次化为的形式再通过求出最小正周期。根据的性质求出最大值即可。【题目详解】（1），所以的最小正周期为.（2）由（1）知.当时，即时，取得最大值.【题目点拨】本题考查三角函数的基本性质，属于基础题。18、(1)能(2)（3）见解析【解题分析】分析：根据题意完善表格，由卡方公式得出结论。（2）根据题意，平均时间为计算即可（3）由题意，满足超几何分布，由超几何分布计算概率，数学期望详解：（1）依题意，补充完整的表1如下：喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男22830女81220总计302050由表中数据计算得的观测值为所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关。（2）依题意，所求平均时间为（分钟）（3）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，故故X的分布列为X0123P故点睛：计算离散型随机变量的概率，要融入题目的情景中去，对于文字描述题，题目亢长，要逐句的分析。超几何分布的特征：1.样本总体分为两大类型，要么类，要么类。2.超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思。3.超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件。4.超几何分布的随机变量的确定我们只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间。19、（1）；（2）【解题分析】

(1)直接利用极坐标公式化曲线C为直角坐标方程.（2）由题意知,利用两点间的距离公式求出|MN|,再利用三角函数知识求其最大值.【题目详解】⑴由题得.⑵由题意知,，当时，.【题目点拨】(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查距离最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用.20、（1）50，20；（2）158【解题分析】解：(1)由茎叶图可知，分数在[50,60)上的频数为4，频率为0.008×10＝0.08，故全班的学生人数为40.08分数在[70,80)之间的频数等于50－(4＋14＋8＋4)＝20.(2)按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比．又[70,80)，[80,90)和[90,100]分数段人数之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的样本中分数在[70,80)之间的有5人，分数在[80,90)之间的有2人，分数在[90,100]之间的有1人．从中任取3人，共有C83＝56种不同的结果．被抽中的成绩位于[70,8