炎德英才大联考2024届高二数学第二学期期末调研试题含解析

炎德英才大联考2024届高二数学第二学期期末调研试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在的图象大致为（）A． B．C． D．2．已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．已知函数，若有两个零点，，则的取值范围是（）A． B．C． D．4．曲线在处的切线斜率是()A． B． C． D．5．用指数模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝㏑y，变换后得到线性回归直线方程，则常数的值为（）A． B． C．0.3 D．46．以下四个命题中，真命题有（）．A．是周期函数，：空集是集合的子集，则为假命题B．“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要不充分条件D．已知命题：“如果，那么或”，在命题的逆命题，否命题，逆否命题三个命题中，真命题的个数有个．7．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）A． B． C． D．8．已知O为坐标原点,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是A． B． C．3 D．39．某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则A． B． C． D．10．曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A． B． C．和 D．11．球的体积是，则此球的表面积是（）A． B． C． D．12．设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知cos,则二项式的展开式中的系数为__________．14．已知，设，若存在不相等的实数同时满足方程和，则实数的取值范围为______．15．己知，集合中有且仅有三个整数，则实数的取值范围为________.16．数列满足下列条件：，且对于任意正整数，恒有，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行统计，其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如图所示的两个频率分布直方图：（1）根据以上两个直方图完成下面的列联表：性别成绩优秀不优秀总计男生女生总计（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001附：，其中.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知函数对任意实数都有，且.（I）求的值，并猜想的表达式；（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.20．（12分）如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）将的方程化为直角坐标方程；（2）为上一动点，求到直线的距离的最大值和最小值.22．（10分）将正整数排成如图的三角形数阵，记第行的个数之和为.（1）设，计算，，的值，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】，为偶函数，则B、D错误；又当时，，当时，得，则则极值点，故选C．点睛：复杂函数的图象选择问题，首先利用对称性排除错误选项，如本题中得到为偶函数，排除B、D选项，在A、C选项中，由图可知，虽然两个图象在第一象限都是先增后减，但两个图象的极值点位置不同，则我们采取求导来判断极值点的位置，进一步找出正确图象．2、D【解题分析】

首先判断函数单调性为增.,将函数不等式关系转化为普通的不等式,再把不等式转换为两个函数的大小关系,利用图像得到答案.【题目详解】在定义域上单调递增，，则由，得，，则当时，存在的图象在的图象上方.，，则需满足.选D.【题目点拨】本题考查了函数的单调性,解不等式,将不等式关系转化为图像关系等知识,其中当函数单调递增时,是解题的关键.3、B【解题分析】

求出函数的解析式，并求出零点、关于的表达式，令，知，并构造函数，利用导数求出函数在上的值域，即可作出的取值范围．【题目详解】因为函数，所以，，由，得，，由，得，设，则，所以，，设，则，，，即函数在上是减函数，，故选B.【题目点拨】本题考查函数零点积的取值范围，对于这类问题就是要利用函数的解析式求出函数零点的表达式，并构造函数，利用导数来求出其范围，难点在于构造函数，考查分析问题的能力，属于难题．4、C【解题分析】

根据已知对求导，将代入导函数即可.【题目详解】∵y′=(cosx)′=-sinx，∴当时，.故选C.【题目点拨】本题考查利用导数求切线斜率问题，已知切点求切线斜率问题，先求导再代入切点横坐标即可，属于基础题.5、A【解题分析】

我们根据对数的运算性质：loga（MN）=logaM+logaN，logaNn=nlogaN，即可得出lny=ln（cekx）=lnc+lnekx=lnc+kx，可得z=lnc+kx，对应常数为1=lnc，c=e1.【题目详解】∵y=cekx，∴两边取对数，可得lny=ln（cekx）=lnc+lnekx=lnc+kx，令z=lny，可得z=lnc+kx，∵z=0.3x+1，∴lnc=1，∴c=e1．故选A．【题目点拨】本题考查的知识点是线性回归方程，其中熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键．线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的,线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.6、C【解题分析】选项中，由题意得为真，为真，则为真，故不正确．选项中，命题的否定应是“，”，故不正确．选项中，由“”不能得到“”成立；由“”一定能得到“”成立。故“”是“”的必要不充分条件．故C正确。选项中，命题的逆命题、否命题、逆否命题都为真，所以有个真命题，故不正确．综上选．7、C【解题分析】

由三视图还原原几何体，可知该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中为等腰直角三角形，，再由棱锥体积剪去棱锥体积求解.【题目详解】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中为等腰直角三角形，，

∴该几何体的体积，

故选：C.【题目点拨】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.8、B【解题分析】抛物线的焦点为,当直线l与x轴垂直时，,所以9、B【解题分析】解：因为5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，则10、C【解题分析】

求导，令，故或，经检验可得点的坐标.【题目详解】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选C．【题目点拨】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．11、B【解题分析】

先计算出球的半径，再计算表面积得到答案.【题目详解】设球的半径为R，则由已知得，解得，故球的表面积.故选：【题目点拨】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.12、A【解题分析】试题分析：函数f（x）可以看作是动点M（x，lnx2）与动点N（A，2A）之间距离的平方，动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx得，y'==2，解得x=1，∴曲线上点M（1，0）到直线y=2x的距离最小，最小距离D=，则f（x）≥，根据题意，要使f（）≤，则f（）=，此时N恰好为垂足，由，解得考点：导数在最大值、最小值问题中的应用二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：由微积分基本定理求出，再写出二项展开式的通项，令的指数为1，求得，从而求得的系数．详解：，二项式展开式通项为，令，则．∴的系数为．故答案为－1．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14、【解题分析】

根据奇偶性定义求得为奇函数，从而可得且，从而可将整理为：，通过求解函数的值域可得到的取值范围.【题目详解】为上的奇函数又且且即：令，则在上单调递增又本题正确结果：【题目点拨】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到奇偶性的判定、单调性的应用，关键是能够将问题转化为的值域的求解问题；易错点是在求解的取值范围时，忽略的条件，错误求解为，造成增根.15、【解题分析】

首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为，，三种情况讨论，求的取值范围.【题目详解】，，所以集合里的元素一定有1，集合有3个元素，当集合是时，有，集合是空集；当集合是时，有，解得：；当集合是时，有，集合是空集；综上：的取值范围是故答案为：【题目点拨】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.16、512【解题分析】

直接由，可得，这样推下去，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。【题目详解】故选C。【题目点拨】利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）有【解题分析】分析:(1)根据已知的数据完成2×2列联表.(2)先计算，再判断有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系.详解：（1）性别成绩优秀不优秀总计男生131023女生72027总计203050（2）由（1）中表格的数据知，，∵，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系.点睛：本题主要考查2×2列联表和独立性检验，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.18、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）推导出PA⊥AD，PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．【题目详解】(1)因为,所以,即.同理可得.因为.所以平面.(2)由题意可知,两两垂直,故以A为原点,分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则，所以.设平面的法向量为，则，不妨取则易得平面,所以平面的一个法向量为，记平面与平面所成锐二面角为,则故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19、（I）；（II）证明见解析.【解题分析】

（I）根据的值猜想的表达式；（II）分和两步证明.【题目详解】（I），，，，猜想.（II）证明：当时，，猜想成立；假设时，猜想成立，即，则当时，，即当时猜想成立.综上，对于一切均成立.【题目点拨】本题考查抽象函数求值与归纳猜想.20、（1）见解析（2）【解题分析】分析：（1）通过取AD中点M，连接CM，利用，得到直角；再利用可得；而,DE平面ADEF，所以可得面面垂直．（2）以AD中点O建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面CAE与直线BE向量，根据直线与法向量的夹角即可求得直线与平面夹角的正弦值．详解：（1）证明：取的中点，连接，，，由四边形为平行四边形，可知，在中，有，∴.又，，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知平面平面，如图，取的中点为，建立空间直角坐标系，，，，，，，.设平面的法向量，则，即，不妨令，得.故直线与平面所成角的正弦值.点睛：本题考查了空间几何体面面垂直的综合应用，利用法向量法求线面夹角的正弦值，关键注意计算要准确，属于中档题．21、（1）（2）最大值是和最小值是.【解题分析】分析：（1）利用极坐标公式化成直角坐标方程.(2)先求出直线的直角坐标方程为，再利用圆心到直线的距离求到直线的距离的最大值是和最小值是.详解：（1）因为曲线的方程为，则，所以的直角坐标方程为，即.（2）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的直角坐标方程为，因为圆心到直线的距离，则直线与圆相离，所以所求到直线的距离的最大值是和最小值是.点睛：(1)本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐