安徽省安庆一中2024届高二数学第二学期期末复习检测试题含解析

安徽省安庆一中2024届高二数学第二学期期末复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用反证法证明命题“已知为非零实数，且，，求证中至少有两个为正数”时，要做的假设是（）A．中至少有两个为负数 B．中至多有一个为负数C．中至多有两个为正数 D．中至多有两个为负数2．设，则的值为()A．2 B．2046 C．2043 D．－23．在复数列中，，，设在复平面上对应的点为，则（）A．存在点，对任意的正整数，都满足B．不存在点，对任意的正整数，都满足C．存在无数个点，对任意的正整数，都满足D．存在唯一的点，对任意的正整数，都满足4．点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值是（）A．１ B． C．２ D．5．复数，则的共轭复数在复平面内对应点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③7．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（）．A． B．C． D．8．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局.若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于（）A． B． C． D．9．(2x-3y)9A．-1 B．512 C．-512 D．110．对于实数，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．由曲线，围成的封闭图形的面积为（）A． B． C． D．12．已知函数的最大值为，周期为，给出以下结论：①的图象过点；②在上单调递减；③的一个对称中心是；④的一条对称轴是．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（log23）＝_____14．在我校2017年高二某大型考试中，理科数学成绩，统计结果显示.假设我校参加此次考试的理科同学共有2000人，那么估计此次考试中我校成绩高于120分的人数是___________.15．在棱长均为的正三棱柱中，________.16．设函数,，则函数的递减区间是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角梯形中，，，，为的中点，如图1．将沿折到的位置，使，点在上，且，如图2．（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的正切值．18．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝m，点M是棱CD的中点．（1）求异面直线B1C与AC1所成的角的大小；（2）是否存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直？说明理由；（3）设P是线段AC1上的一点（不含端点），满足λ，求λ的值，使得三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等．19．（12分）如图，在三棱锥中，，在底面上的射影在上，于.（1）求证：平行平面，平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）已知函数（为自然对数的底数）．（1）求的单调区间；（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；21．（12分）如图，在极坐标系中，，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是线段，曲线是线段，曲线是弧.（1）分别写出，，，的极坐标方程；（2）曲线由，，，构成，若点，（），在上，则当时，求点的极坐标.22．（10分）（1）已知矩阵的一个特征值为，其对应的特征向量，求矩阵及它的另一个特征值.（2）在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点P到直线l：的最小距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a、b、c中至少有二个为负数”，由此得出结论．详解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“中至少有二个为正数”的否定为：“中至少有二个为负数”．故选A．点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面是解题的关键，着重考查了推理与论证能力．2、D【解题分析】分析：先令得，再令得，解得结果.详解：令得令得=0因此，选D.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.3、D【解题分析】

由，由复数模的性质可得出，可得出数列是等比数列，且得出，再由，结合向量的三角不等式可得出正确选项.【题目详解】，，，，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，且（为坐标原点），由向量模的三角不等式可得，当点与坐标原点重合时，，因此，存在唯一的点，对任意的正整数，都满足，故选：D.【题目点拨】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数模的性质和等比数列的综合应用，解题的关键就是利用向量模的三角不等式构建不等关系进行验证，考查推理能力，属于难题.4、B【解题分析】，则，即，所以，故选B．5、A【解题分析】

化简，写出共轭复数即可根据复平面的定义选出答案．【题目详解】，在复平面内对应点为故选A【题目点拨】本题考查复数，属于基础题．6、B【解题分析】

由题意，分析每一个选项，首先判断单调性，以及，再假设是“追逐函数”，利用题目已知的性质，看是否满足，然后确定答案.【题目详解】对于①，可得，在是递增函数，，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即，此时当k=100时，不存在，故①错误；对于②，若是在上的“追逐函数”，此时，解得，当时，，在是递增函数，若是“追逐函数”则，即，设函数即，则存在，所以②正确；对于③，在是递增函数，，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即，当k=4时，就不存在，故③错误；对于④，当t=m=1时，就成立，验证如下：，在是递增函数，，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即此时取即，故存在存在，所以④正确；故选B【题目点拨】本题主要考查了对新定义的理解、应用，函数的性质等，易错点是对新定义的理解不到位而不能将其转化为两函数的关系，实际上对新定义问题的求解通常是将其与已经学过的知识相结合或将其表述进行合理转化，从而更加直观，属于难题.7、A【解题分析】由对任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行8、B【解题分析】试题分析：实验女排要获胜必须赢得其中两局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故获胜的概率为:,故选B.考点：独立事件概率计算.9、B【解题分析】

(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为【题目详解】(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为2(2x-3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为2故答案选B【题目点拨】本题考查了二项系数和，属于基础题型.10、A【解题分析】

先判断和成立的条件，然后根据充分性和必要性的定义可以选出正确答案.【题目详解】成立时，需要；成立时，需要，显然由能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.【题目点拨】本题考查了充分不必要条件的判断，掌握对数的真数大于零这个知识点是解题的关键.11、C【解题分析】围成的封闭图形的面积为，选C.12、C【解题分析】

运用三角函数的辅助角公式和周期公式，可得a，，再由正弦函数的单调性和对称性，计算可得正确结论的个数．【题目详解】函数的最大值为，周期为，

可得，可得，可得，

则，

则，正确；

当，可得，

可得在上单调递减，正确；

由，则错误；

由，

可得正确．

其中正确结论的个数为1．

故选：C．

【题目点拨】本题考查三角函数的图象和性质，注意运用辅助角公式和周期公式，考查正弦函数的单调性和对称性，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用周期及奇偶性可将f（log23）化为，而，则答案可求．【题目详解】∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上周期为2的偶函数，∴f（log23）＝f（﹣log23）＝f（﹣log23+2），∵，且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，∴．故答案为：．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性及周期性的应用，考查指数及对数的运算，属于基础题．14、200【解题分析】∵月考中理科数学成绩，统计结果显示，∴估计此次考试中，我校成绩高于120分的有人．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.15、【解题分析】

首先画出正三棱柱，求出边长和，最后求面积.【题目详解】因为是正三棱柱，并且棱长都为1，是腰长为，底边长为1的等腰三角形，所以底边的高，.故答案为【题目点拨】本题考查几何体中几何量的求法，意在考查空间想象能力，属于基础题型.16、【解题分析】,如图所示，其递减区间是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，为正方形，所以在图中，，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为，ABBC，所以BC平面SAB，又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，所以SA平面ABCD，（2）在AD上取一点O，使，连接EO．因为，所以EO//SA所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，则AC平面EOH，所以ACEH．所以为二面角E—AC—D的平面角，在中，…11分，即二面角E—AC—D的正切值为考点：线面垂直的判定及二面角求解点评：本题中第二问求二面角采用的是作角求角的思路，在作角时常用三垂线定理法；此外还可用空间向量的方法求解；以A为原点AB,AD,AS为x,y,z轴建立坐标系，写出各点坐标，代入向量计算公式即可18、（1）90°（2）存在，m，理由见解析（3）λ【解题分析】

（1）根据题意只需证明平面，即可得到B1C⊥AC1，从而可得答案.（2）存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直．只需证明BM⊥AC1，AC1⊥D1M，即可得到直线AC1⊥平面BMD1；（3）计算，，设AC1与平面B1CD1的斜足为O，则AO＝2OC1，则P为AO的中点，从而可得答案.【题目详解】（1）连接BC1，如图所示：由四边形BCC1B1为正方形，可得B1C⊥BC1，又ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1，而AC1⊂平面ABC1，∴B1C⊥AC1，即异面直线B1C与AC1所成的角的大小为90°；（2）存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直．事实上，当m时，CM，∵BC＝1，∴，则Rt△ABC∽Rt△BCM，则∠CAB＝∠MBC，∵∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠MBC+∠ACB＝90°，即AC⊥BM，又CC1⊥BM，AC∩CC1＝C，∴BM⊥平面ACC1，则BM⊥AC1，同理可证AC1⊥D1M，又D1M∩BM＝M，∴直线AC1⊥平面BMD1；（3）∵，，设AC1与平面B1CD1的斜足为O，则AO＝2OC1，∴在线段AC1上取一点P，要使三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等，则P为AO的中点，即．【题目点拨】本题考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱和棱锥的体积公式，属于中档题.19、（1）详见解析（2）【解题分析】

（1）证明EF∥BC，从而BC∥平面DEF，结合AB⊥DF，AB⊥DE，推出AB⊥平面DEF，即可证明平面DAB⊥平面DEF．

（2）在△DEF中过E作DF的垂线，垂足H，说明∠EBH即所求线面角，通过求解三角形推出结果．【题目详解】解：（1）证明：因为，所以，分别是，的中点所以，从而平面又，，所以平面从而平面平面（2）在中过作的垂线，垂足由（1）知平面，即所求线面角由是中点，得设，则，因为，则，，，所以所求线面角的正弦值为【题目点拨】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20、（1）单调递减区间是，单调递增区间为；（2）不存在，证明见解析．【解题分析】分析：（1）先求一阶导函数的根，求解或的解集，写出单调区间．（2）函数在上的单调性，和函数的对称性说明不存在详解：（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间为．（2）不存在正实数使得成立，事实上，由（1）知函数在上递增，而当，有，在上递减，有，因此，若存在正实数使得，必有．令，令，因为，所以，所以为上的增函数，所以，即，故不存在正实数使得成立．点睛：方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点三种思想的转化，为解题思路提供了灵活