2024届河南省郑州市外国语学校数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024届河南省郑州市外国语学校数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若cos(α+π4)=1A．718 B．23 C．4-2．函数的图象大致为A． B． C． D．3．已知，则()A．11 B．12 C．13 D．144．某样本平均数为，总体平均数为，那么（）A． B． C． D．是的估计值5．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（）A． B． C． D．6．已知函数，则（）A．函数的最大值为，其图象关于对称B．函数的最大值为2，其图象关于对称C．函数的最大值为，其图象关于直线对称D．函数的最大值为2，其图象关于直线对称7．某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为、，则双曲线的离心率的概率是（）A． B． C． D．8．己知，是椭圆的左右两个焦点，若P是椭圆上一点且，则在中（）A． B． C． D．19．只用四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A． B． C． D．10．已知曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C．3 D．11．已知f(x)=2x2-xA．0,12 B．12,112．函数在上单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为________.14．函数的定义域为____________.15．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与椭圆的两个焦点、组成的三角形的周长为，且，则椭圆的方程为________.16．已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知不等式.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的范围.18．（12分）如图，四棱锥中，，，，，，.（1）求证：；（2）求钝二面角的余弦值.19．（12分）某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组……，第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；（2）若成绩小于15秒认为良好，求该样本中在这次百米测试中成绩良好的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、平均数.20．（12分）某手机代工厂对生产线进行升级改造评估，随机抽取了生产线改造前、后100个生产班次的产量进行对比，改造前、后手机产量（单位：百部）的频率分布直方图如下：（1）记表示事件：“改造前手机产量低于5000部”，视频率为概率，求事件的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关：手机产量部手机产量部改造前改造后（3）根据手机产量的频率分布直方图，求改造后手机产量的中位数的估计值（精确到0.01）.参考公式：随机变量的观测值计算公式：，其中.临界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.22．（10分）已知函数，其中均为实数，为自然对数的底数．（I）求函数的极值；（II）设，若对任意的，恒成立，求实数的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：利用同角三角函数的基本关系式sin(π4+α)详解：因为cos(则0<π4+α<则sin[(故选C.点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，以及两角差的正弦函数公式的应用，其中熟记三角恒等变换的公式是化简求值的关键，着重考查了推理与运算能力.2、B【解题分析】由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B.3、B【解题分析】∵，∴，整理，得，；解得,或(不合题意,舍去)；∴n的值为12.故选：B.4、D【解题分析】

统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值.【题目详解】解：样本平均数为，总体平均数为，

统计学中，利用样本数据估计总体数据，

∴样本平均数是总体平均数的估计值.

故选：D.【题目点拨】本题考查了利用样本数据估计总体数据的应用问题，是基础题.5、A【解题分析】

通过平移得到，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案.【题目详解】向左平移个单位长度后得到的图像，则其对称中心为,或将选项进行逐个验证,选A.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6、D【解题分析】分析：由诱导公式化简函数，再根据三角函数图象与性质，即可逐一判断各选项.详解：由诱导公式得，，排除A，C.将代入，得，为函数图象的对称轴，排除B.故选D.点睛：本题考查诱导公式与余弦函数的图象与性质，考查利用余弦函数的性质综合分析判断的能力.7、A【解题分析】由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果满足条件的事件是e=∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；当b=2时，有a=5，6两种情况，总共有6种情况．∴概率为．故选A8、A【解题分析】

根据椭圆方程求出、，即可求出、，再根据余弦定理计算可得；【题目详解】解：因为，所以，，又因为，，所以，在中，由余弦定理，即，，故选：【题目点拨】本题考查椭圆的简单几何性质及余弦定理解三角形，属于基础题.9、B【解题分析】

以重复使用的数字为数字为例，采用插空法可确定符合题意的五位数的个数；重复使用每个数字的五位数个数一样多，通过倍数关系求得结果.【题目详解】当重复使用的数字为数字时，符合题意的五位数共有：个当重复使用的数字为时，与重复使用的数字为情况相同满足题意的五位数共有：个本题正确选项：【题目点拨】本题考查排列组合知识的综合应用，关键是能够明确不相邻的问题采用插空法的方式来进行求解；易错点是在插空时，忽略数字相同时无顺序问题，从而错误的选择排列来进行求解.10、A【解题分析】

将点代入双曲线的渐近线方程，由此求得的值，进而求得双曲线的离心率.【题目详解】双曲线的一条渐近线方程为，将点代入双曲线的渐近线方程得，，故，故选A.【题目点拨】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题.11、B【解题分析】

求出函数y=fx的定义域，并对该函数求导，解不等式f'x【题目详解】函数y=fx的定义域为0,+∞f'令f'x<0，得12<x<1，因此，函数y=f【题目点拨】本题考查利用导数求函数的单调区间，除了解导数不等式之外，还要注意将解集与定义域取交集，考查计算能力，属于中等题。12、C【解题分析】

先由函数是奇函数求出，化原不等式为，再由函数的单调性，即可得出结果.【题目详解】因为为奇函数，若，则，所以不等式可化为，又在上单调递减，所以，解得.故选C【题目点拨】本题主要考查由函数的单调性与奇偶性解不等式，熟记函数基本性质即可，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据极值点个数可确定根的个数，将问题转化为与有两个不同交点，利用数形结合的方式可求得结果.【题目详解】由题意得：.有两个极值点，有两个不等实根，即有两个不等实根，可等价为与有两个不同交点，，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，；当时，；当时，，可得图象如下图所示：由图象可知，若与有两个不同交点，则，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.【题目点拨】本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为导函数为零的方程根的个数，进而进一步转化为两函数交点个数问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.14、【解题分析】分析：令即可求出定义域详解：令，，解得综上所述，函数的定义域为点睛：在求定义域时找出题目中的限制条件，有分母的令分母不等于零，有根号的令根号里面大于或者等于零，对数有自身的限制条件，然后列出不等式求出定义域。15、或【解题分析】

先假设椭圆的焦点在轴上，通过直角三角形△推出，的关系，利用周长得到第二个关系，求出，然后求出，求出椭圆的方程，最后考虑焦点在轴上的椭圆也成立，从而得到问题的答案.【题目详解】设椭圆的焦点在轴上，长轴长为，焦距为，如图所示，则在△中，由得：，所以△的周长为，，，；故所求椭圆的标准方程为．当椭圆的焦点落在轴上，同理可得方程为：.故答案为：或【题目点拨】本题考查椭圆标准方程的求法，要求先定位、再定量，考查运算求解能力，求解的关键是求出，的值，易错点是没有判断焦点位置．16、【解题分析】

,由向量与共线，得，解得，则在方向上的投影为，故答案为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）是【解题分析】试题分析：（1）由题意，根据两个绝对值式的零点，对的取值范围进行分段求解，综合所有情况，从而可得不等式的解；（2）由不等式的解集为，由（1）作函数图形，结合图形，可直线斜率，从而可求出实数的取值范围，由此问题可得解.试题解析：（1）由已知，可得当时，若，则，解得若，则，解得若，则，解得综上得，所求不等式的解集为；（2）不妨设函数，则其过定点，如图所示，由（1）可得点，由此可得，即.所以，所求实数的范围为.18、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）推导出，，从而平面，由此能证明.（2）过点在平面内作直线，由（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出钝二面角的余弦值.【题目详解】（1）证明：在中，，且，由余弦定理，得.过点作，可知四边形是矩形，，且.又，故，于是有，即.又，且，平面，.（2）过点在平面内作直线，由（1）可知，和直线两两垂直，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系.由题意，可得，，，，.设平面的法向量为，由得令，得，，即.再取平面的一个法向量.设二面角的大小为，则，即二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查了线面垂直的判定定理、定义，空间向量法求面面角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题.19、人；（2）人；15.70.【解题分析】试题分析：（1）利用频率分布直方图能估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数．（2）利用频率分布直方图能求出该样本在这次百米测试中成绩良好的人数．（3）根据频率分布直方图，能求出样本数据的众数、中位数．解析：学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数人；（2）样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：人；由图可知众数落在第三组，是，.20、（1）0.1（2）有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关，详见解析（3）（百部）【解题分析】

（1）由改造前的频率分布直方图计算前五个小长方形的面积即可得到答案．（2）由频率分布直方图补充表格，计算随机变量的观测值与临界值表中的数据比较即可得结论．（3）先估计中位数所在区间，然后利用中位数左右两侧长方形面积相等列式计算即可．【题目详解】解：（1）改造前手机产量低于5000部的频率为，因此，事件的概率估计值为0.1．（2）根据手机产量的频率分布直方图得列联表：手机产量部手机产量部改造前138改造后3466由于，故有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关．（3）因为改造后手机产量的频率分布直方图中，手机产量低于5000部的直方图面积为，手机产量低于5500部的直方图面积为，所以中位数在之间，设改造后手机产量的中位数为，则故改造后手机产量的中位数的估计值为（百部）．【题目点拨】本题考查由频率分布直方图计算概率与中位数，独立性检验，属于简单题．21、(1)见详解；(2)或.【解题分析】

(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.【题目详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，即，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上