上海市嘉定2023年高考数学一模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将函数/（x）=sin（3x+=）的图像向右平移皿，〃>0）个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵

6

坐标不变），得到函数g（x）的图像，若g（x）为奇函数，则的最小值为（）

712万7171

A.—B.—C.—D.——

991824

2.若复数z满足（l+i»=l+2i,则|z|=（）

yf23M1

2222

3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径

为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中

积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=g（S上+Js上S下+SF）•〃）.

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

22

4.已知椭圆「邑+2=1（4>6>0）的左、右焦点分别为£,F,,上顶点为点A，延长AK交椭圆〃于点B,若A%

ab

为等腰三角形，则椭圆厂的离心率e=

5.设全集U=R,集合A={x|log2(4—x)Wl},8={x|(x-3)(x—5)>0},贝A=()

A.[2,5]B.[2,3]C.[2,4)D.[3,4)

6.若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（）

倘视图

B.48cm3C.60cm3D.72cm3

7.命题“Vx>0,x(x+l)>(x-l)2”的否定为()

22

A.Vx>0,x(x+l)>(x-l)B.X/工,0,x(x+l)>(x-1)

2

C.3x>0,x(x4-1)„(x-1)D.3A;,0,x(x4-1)>(x-1)2

8.已知命题p：Vx>0,ln(x+l)>0；命题，若a>。，则下列命题为真命题的是（）

A.P^qB."Fc.-p^qD.-P4f

若复数1+1a为虚数单位），则Z的共翅复数的模为（）

9.17

A.好B.4C.2D.J5

2

10.已知a+2i=l-6（a,Z?eR）,其中i是虚数单位，则z=a一次•对应的点的坐标为（）

A.(1,-2)B.(2,-1)C.(1,2)D.(2,1)

11.过抛物线C：V=4x的焦点尸，且斜率为6的直线交C于点在x轴的上方），，为C的准线，点N在/上且

MNJ.I,则M到直线NF的距离为（）

A.V5B.272C.2百D.373

12.以A(3,-l),8(-2,2)为直径的圆的方程是

A.x2+j2-x-y-8=0B.x2+y2-x-y-9=0

C.x2+y2+Jc+y-8=0D.炉+>2+无+y-9=。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

：

13.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是cm,体积是cm,

J□

I------4—M12T

正视图他视图

14.函数/(x)=xcosx+sinj^x=万处的切线方程是.

15.已知全集U={1,2,3},A={2},则gA=.

16.如图，半球内有一内接正四棱锥S-A8cD,该四棱锥的体积为迪，则该半球的体积为

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，四棱锥P-A8C。的底面是梯形.8C〃4Z）,A8=5C=CO=1,40=2,PB=^--,PA=PC=Q

2

(I)证明；ACIBP；

(D)求直线AO与平面APC所成角的正弦值.

A?+「

18.(12分)已知AABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c,且asin(A+B)=csin---.

2

(1)求A；

(2)若ZVU5c的面积为石，b+c=5,求ZVU5c的周长.

22

19.(12分)已知圆。经过椭圆C：5+与=l(a＞。＞0)的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上.

a2b2

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线/与圆。相切，与椭圆C交于M、N两点，且|MN|=g,求直线/的倾斜角.

20.(12分)某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶,

12

若甲每步上一个台阶的概率为-，每步上两个台阶的概率为彳.为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向

上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第"个台阶的概率为匕，其中〃GN*，且〃<998.

(1)若甲走3步时所得分数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)证明：数列仍用-匕｝是等比数列；

(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.

21.(12分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环

保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下:

AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

天数61418272510

(D从空气质量指数属于［0,50］,(50,10()］的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

Q(M100,

(2)已知某企业每天的经济损失)，(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y=220,100<%,250,,试估计该

1480,250〈芭,300,

企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望.

22.(10分)如图，四棱锥尸一ABCD中，四边形A3CO是矩形，AB=6AD=2,为正三角形，且平

面PAD_L平面ABC。，E、尸分别为PC、的中点.

(1)证明：EF//平面PAD；

(2)求几何体尸的体积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据三角函数的变换规则表示出g(x),根据g(x)是奇函数，可得切的取值，再求其最小值.

【详解】

解：由题意知，将函数/(x)=sin(3x+工)的图像向右平移风〃?>0)个单位长度，得/=豆113(x-〃z)+g,再将

6o

71

y=sin3x-3m+-图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图像,

6

g(x)=sin(—x—3m+—),

因为g(x)是奇函数，

jrjrK7T

所以一——=k7r,kGZ,解得机=--------,keZ,

6183

TT

因为机>0,所以”的最小值为国.

故选：C

【点睛】

本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.

2.C

【解析】

1313

化简得到”一升,，2=再计算复数模得到答案.

【详解】

l+2z_(1+20(1+0_-1+3/_13

(l+/)z=l+2z,故z-E—(l+i)(j)一丁一万十万,

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的化简，共朝复数，复数模，意在考查学生的计算能力.

3.B

【解析】

试题分析：根据题意可得平地降雨量-+'*X6=+6N)故选限

=-------------------------------------------------=3

⑷乃

考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.

4.B

【解析】

设|36|=八则|町|=2«T,\AB\=a+t,

因为|A6|=a,所以|A例若|A耳|=|56I,^a=2a-t,所以"=「，

所以|明|+IMR48|=2a,不符合题意，所以IBFJHABI,则以-r=a+r,

所以a=2f,所以|8fJ=|AB|=3r,\AFt\=2t,设/喇=2〉,贝！]e=sin8,

在AB6中，易得cos26=；,所以l-2sin26=g,解得sin9=^(负值舍去)，

所以椭圆「的离心率e=且.故选B.

3

5.D

【解析】

求解不等式，得到集合A,B,利用交集、补集运算即得解

【详解】

由于log?(4—幻<12<x<4

故集合A=[2,4)

(x-3)(x-5)>0,-.x<3§Kx>5

故集合B=(fo,3)u(5,+8)

/.@B)c|A=[3,4)

故选：D

【点睛】

本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

6.B

【解析】

试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积匚=二2-=16,四棱柱的底面是梯形，体积为

厂：二24=-2,因此总的体积您「第需第二崛.

考点：三视图和几何体的体积.

7.C

【解析】

套用命题的否定形式即可.

【详解】

n2

命题“VxeM,p(x)”的否定为“BxGM,-Ip(x),所以命题“Vx>0,x(x+l)>(x-l)”的否定为

tt>0,x(x+1)<(%-1)25,.

故选：C

【点睛】

本题考查全称命题的否定，属于基础题.

8.B

【解析】

解：命题p：Vx>0,In(x+1)>0,则命题p为真命题，则Fp为假命题；

取a=-l,b=-2,a>b,但a2cb2,则命题q是假命题，则-'q是真命题.

；.pAq是假命题，pA^q是真命题，~"p/\q是假命题，「pA-是假命题.

故选B.

9.D

【解析】

由复数的综合运算求出z,再写出其共朝复数，然后由模的定义计算模.

【详解】

z=l+M=l+y^&=2+，，,-.z=2-z,.-.|z|=V5.

1+z(l+z)(l-z)11

故选:D.

【点睛】

本题考查复数的运算，考查共物复数与模的定义，属于基础题.

10.C

【解析】

利用复数相等的条件求得。，b,则答案可求.

【详解】

由a+2i=l-万，得a=l,b=-2.

;.z=a-初对应的点的坐标为(a,-b)=(l,2).

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题.

11.C

【解析】

联立方程解得M(3,2石)，根据MN_L/得|MN|=|MF|=4,得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答

案.

【详解】

依题意得粗1,0),贝(I直线尸M的方程是尸百(X-1).由'「、'一得或x=3.

=4x3

由M在x轴的上方得M(3,26)，由得|MN|=|MF|=3+1=4

又NNM/等于直线FM的倾斜角，即NNMF=60。，因此△MNF是边长为4的等边三角形

点M到直线NW的距离为4x走=26

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

12.A

【解析】

设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出“,反厂，从而求出圆的方程.

【详解】

设圆的标准方程为(x-4A+(y—b)2=r2,

由题意得圆心。(“力)为A,B的中点，

根据中点坐标公式可得〃=?3-2=：1,b=-~1+^2=；1,

2222

又一号="+2)广-2)工孚,所以圆的标准方程为:

；117

(x—)'+(y—)'=—,化简整理得》2+,-_》_,_8=0,

222

所以本题答案为A.

【点睛】

本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.20+电8

【解析】

1)

S=2X-X4X2+2-+4X2+2x24=20+4书

试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积2

c仆

体积P=2-X4X2X2=8,故填：20+445,8.

考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.

14.2x+y—万=0

【解析】

求出/(〃)和/'(左)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

【详解】

/(X)=xcosx+sinx,贝!!/'(x)=2cosx-xsinx,.•./(%)=一"，/'(乃)=-2.

因此，函数/(%)=%(：05%+5111%在％=万处的切线方程是y+;r=-2(X-%),

即2x+y-%=0.

故答案为：2x+y-yr=0.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

15.{1,3}

【解析】

利用集合的补集运算即可求解.

【详解】

由全集u={1,2,3},A={2},

所以Q4={1,3}.

故答案为：{153}

【点睛】

本题考查了集合的补集运算，需理解补集的概念，属于基础题.

472

3

【解析】

由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积

的关系，进而求得结果.

【详解】

设所给半球的半径为R，则四棱锥的高”=R,

则AB=BC=CD=DA=血R，由四棱锥的体积=；(及RnR=叵,

半球的体积为：2万R=谨万.

33

【方法点睛】

涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题

转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心

的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)见解析(II)

4

【解析】

⑴取AC的中点M，连接PM,BM，通过证明AC，平面PBM得出AC_L3P;

(H)以M为原点建立坐标系，求出平面APC的法向量〃，通过计算〃与AO的夹角得出AO与平面APC所成角.

【详解】

(I)证明：取AC的中点连接PM,BM,

"：AB=BC,PA=PC,

J.ACVBM,ACLPM,XBMCiPM=M,

.,.AC_L平面PBM,

TAPu平面PBM,

：.ACLBP.

（II）解：,底面A3CZ）是梯形.BC//AD,AB=BC=CD=1,AD=2,

：.ZABC=120°,

'：AB=BC=\,:.AC=6,：.ACLCD,

又ACJ_BM,：.BM//CD.

i/73

•:PA=PC=6,CM=-AC=—：-PM=-

22929

COS2+BM2BP2

；.ZBMP=^-=-L,AZPA/B=120°,

22PM♦BM2

以M为原点，以M3,MC的方向为x轴，y轴的正方向，

以平面A5CD在M处的垂线为z轴建立坐标系M-xjz,如图所示:

则A（0,一此,0）,C（0,—,0）,P0,地），0（-1,—,0）,

22442

LUUU1厂33\/3

AAD=（-L60）,AC=（0，百，°），AP=（——，—>上），

424

=0

n•AC=0

设平面ACP的法向量为〃=（x,j,z）,贝W即《

3836八

—x-\-----yH--------z-（）

I424

令x=G得”=（百，0,D,

n•AD

:.cos<n9AD>HR

...直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos<n,AZ)>I=—.

4

【点睛】

本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理使用，难度

一般.

18.(1)60;(2)V13+5.

【解析】

(1)利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果;

(2)由面积公式，可以求得。c,再利用余弦定理，即可求得。，结合匕+c即可求得周长.

【详解】

A

(1)由题设得asinC=ccos—.

2

A

由正弦定理得sinAsinC=sinCeos—

2

A

,:C£(0,4):.sinC^OsinA=cos—,

2

c.AAA

2sin-cos—=cos—

222

AA1

所以cos—=0或sin—=一.

222

A

当COS—=0,A=7T(舍)

2

“•Al

故不，

22

解得A=600.

(2)SMfiC=^besinA=>/3,从而历=4・

由余弦定理得

k=/+c2-2/?ccosA=b2+c2-be

=3+C)2—30C=S+C)2—12=13.

解得a=A/13.

••a+Z?+c=Jl3+5•

故三角形ABC的周长为45+5.

【点睛】

本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.

19.(1)—+y2=1；(2)一或^—

2-44

【解析】

(1)先由题意得出0=c,可得出6与。的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆C的方程，可求出。与。的值，从而得出

椭圆。的方程；(2)对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，当直线/的斜率不存在时，可求出|MV|,然后进行检验；

当直线/的斜率存在时，可设直线/的方程为丁="+加,设点/(％,%),"(£,%)，先由直线/与圆。相切得出加与

人之间的关系，再将直线/的方程与椭圆C的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件|"N|=g得出女的值,

从而求出直线/的倾斜角.

【详解】

(1)由题可知圆。只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得储=2〃，

又点在椭圆C上，所以4■+_，=],解得。2=2/2=1,

Ia)a2a2b2

2

即椭圆C的方程为r土+y2=i.

2-

(2)圆。的方程为f+y2=i,当直线/不存在斜率时，解得|MN|=也，不符合题意;

\m\

当直线/存在斜率时，设其方程为y=^+〃?，因为直线/与圆。相切，所以-7与==1,即加2=1+二.

将直线/与椭圆C的方程联立，得：

(1+2女2)》2+4-kmx+2m2-2=0,

判别式△=一8疗+8+16芯=8公＞0,即另w0,

设“(X，y，则X[+工2=，X|"2=]**2，归一引=J(X+%2)2—4X/2=[黑2,

1i~乙K1~r乙K1+Z.K

所以|MN|=JU+(X72『=Ji+Gk一々I=，i+公x=g>

解得k=±1,

所以直线/的倾斜角为£或江.

44

【点睛】

求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于a,4c的方程组,解出a,b,,从而写出椭圆的标准方程.解

决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数

的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.

20.见解析

【解析】

(1)由题可得X的所有可能取值为3,4,5,6,

11212

且P(X=3)=(-)3,P(X=4)=C；x-x(-)2=-,

P(X=5)=C；x(|)2xg=g,P(X=6)=(|)3=卷,

所以X的分布列为

X3456

1248

P

279927

所以X的数学期望E(X)=3XL+4X；+5X：+6XW=5.

279927

122

(2)由题可得'2=§/^+5月，所以之2-月用=-§(&「§,)，

又匕=:，£=：+针=］，所以鸟-""。，

3JJyV

42

所以仍,+「匕｝是以X为首项，-7为公比的等比数列.

93

(3)由(2)可得%=(%-%)+(%—%)++(《—用+勺

1+-，0“

3

23

21.(1)-----(2)9060兀

114

【解析】

(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2)任选一天，设该天的经济损失为X元，分别求出

尸(X=0),P(X=220),P(X=1480),进而求得数学期望，据此