上海市南洋模范初级中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题逐题详解

2021学年上海徐汇区上海市南洋初级中学

一、选择题

1.下列各数中无理数的个数是（）

①小②/③0；©-76；⑤—0.2狞；⑥&；⑦0.4949949994…（它的位数无限且相邻两个“4”之间

的“9”的个数依次增加1个）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.下列运算中，正确的是（）

A-必？=B,信FT

C.2夜+3百=5七D.a+6=6

3.在长度分别为12厘米、10厘米、5厘米、4厘米四条线段中，任选三条线段可以组成三角形的个数为

（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，下列说法中错误的是（）

H（：

A.N1与N4是同位角B.N3与N4是内错角

C.方8与N3是同位角D.N1与N3是同旁内角

5.如图，要使AD//8C,那么可以选择下列条件中的（）

____________________小

BC

A.Z1=Z4B.N2=N3C.Zl+ZB=180°D.ZB=ZD

6.如图，在数轴上表示1,百的对应点分别为A8,点B关于点A的对称点为C,则点。表示的数为

)

OCAB

A.V3-1B.1-^/3C.2-6D.V3-2

二、填空题

7.病的算术平方根是.

8.如果y4=81,那么y=.

9.把历写成幕的形式是.

10.比较大小：-372--275（填或或"="）.

11.截止2021年4月9日1：30,美国新冠肺炎累计确诊31648458人，把这个数四舍五入保留3个有效数

字.

12.数轴上点A表示正,则到点A距离是3个单位的点表示的数是

13计算：（石-2）2叫（若+2严2=

14.如图，AB//CD,ZA=30°,NC=50°,则NE=一度.

15.如图，已知NAQB=25。，NAOC=90。，点8、。、。在同一直线上，则N0OC的度数为

度.

16.如图，添加一个条件使AB||CQ,这个条件可以是（只需写出一种情况）

D

17.如图，AD//BC，AC，BD交于点E，三角形ABE的面积等于4,三角形CBE的面积等于5,那

么三角形D8C的面积等于

B

18.如图，已知AABC,点8在直线OE上，NCBE=15°,将AABC绕点B逆时针旋转95°到AABC

位置，44'=30°，若A'C〃。区则/ABC'=度.

三、简答题

19.计算：一工石一(C+3)+6.

2

20.计算：J(l_g)2x(_73)2x>/6-V2.

-2

21.计算：3+6—273+_(G+2)°.

22.利用基的运算性质计算：2萍子啦.

23.如图，已知Nl=(4x—25)。，N2=(85—x)°,求N1的度数.

24.画图:

(1)在图中画出表示点尸到直线a距离的垂线段尸M.

(2)过点P画出直线b的平行线。，与直线。交于点N.

(3)如果直线。与的夹角为40。，那么NM&V=—°.

四、解答题

25.己知AE〃GF,BC〃GF,EF〃DC,EF〃也猜想NA与NC的关系如何？并说明理由

解：因为A七〃GF,8C〃GE(已知)

所以AE〃BC()

所以NA+=180°()；

同理，ZC+=180°；

所以().

26.如图，己知3£〃AO,N1=N2,OE_LQ4于点O,那么N4与N5有什么数量关系？什么？

27.如图，AB,CO是两条直线，4BMN=4CNM,N1=N2.请说明NE=4的理由.

M

B

1

E

CD

五、综合题

28.（1）如图1,已知直线加〃〃，在直线”上取A8两点，aP为直线机上的两点，无论点。、P移

动到任何位置都有：S,48cS.BP（填f”、"V"或"="）

（2）如图2,在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两

块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画

出相应图形并简述理由.

（3）如图3,王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形OEFG,中间有条分界小路（图中折线ABC）,左

边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何

知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的

占地面积）.

2021学年上海徐汇区上海市南洋初级中学

一、选择题

1.下列各数中无理数的个数是（）

①小②/③0；©-76；⑤—0.2狞；⑥&；⑦0.4949949994…（它的位数无限且相邻两个“4”之间

的“9”的个数依次增加1个）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【解析】

【分析】根据“无限不循环小数是无理数”逐项判断即可.

【详解】①，是分数，是有理数，不符合题意；

TT

②不是无理数，符合题意；

③0是整数，是有理数，不符合题意；

④-而是无理数，符合题意；

⑤-0.23^是无限循环小数，是有理数，不符合题意；

⑥我=2是整数，是有理数，不符合题意；

⑦（）.4949949994-・（每两个4之间依次增加"9”）是无理数，符合题意；

.•.无理数是3个，

故选B.

【点睛】本题考查实数的分类.掌握实数的概念是解题的关键.

2.下列运算中，正确的是（）

A.=-5B.由2=±1

C.2>/2+3>/3=5%/5D.瓜+0=近

【答案】D

【解析】

【分析】根据算术平方根的概念、二次根式的加减法及除法即可得.【详解】A选项：J（_5）2=5,故A错

误;

B选项:1,故B错误;

5

C选项：2夜+3石=2&+3百，故C错误;

D选项：&+6=正，故D正确.

故选D.

【点睛】本题考查了算术平方根的概念、二次根式的加减法及除法，理解这些知识点是解题的关键.

3.在长度分别为12厘米、10厘米、5厘米、4厘米的四条线段中，任选三条线段可以组成三角形的个数为

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】从4条线段里任取3条线段组合，分4种情况讨论，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即

可.

【详解】根据两边之和大于第三边才能组成三角形，可知能组成两个三角形，分别为：12厘米，10厘米,

5厘米；12厘米，10厘米，4厘米.

故选：B

【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键.

B.N3与N4是内错角

C.E>3与N3是同位角D.N1与N3是同旁内角

【答案】C

【解析】【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，可得答案.

【详解】解：A.N1与N4是同位角，说法正确，不符合题意；

B./3与/4是内错角，说法正确，不符合题意；

C.与N3不是同位角，说法错误，符合题意；

D.N1与N3是同旁内角，说法正确，不符而合题意.

故选：c.

【点睛】本题考查了同位角、内错角、用旁内角，利用同位角、内错角、同旁内角的意义是解题关键.

5.如图，要使AD//BC,那么可以选择下列条件中的()

N1=N4B./2=，3c.Z1+ZB=18O°D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行线的判定逐项判断即可.

【详解】解：A、N1=N4是内错角相等，所以AD/ABC,故选项正确,符合题意;

B、/2=/3,能使得AB//CD,不能使得AO//3C,故选项错误，不符合题意;

C、因为不是同旁内角，不能使得仞/ABC,故选项错误，不符合题意;

D、不是同位角，也不是内错角，不能使得AD〃3C,故选项错误，不符合题意;

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线的判定定理的应用，解题的关键是：根据同位角相等、内错角相等、同旁内角

互补两直线平行即可判断.

6.如图，在数轴上表示1,百的对应点分别为A8,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数为

()

・・!—忑>A.73-1B.1-73C.2-73D.73-2

OCAB

【答案】c

【解析】

【分析】首先根据表示1、6的对应点分别为点A、点B可以求出线段AB的长度，然后根据点B和点C

关于点A对称，求出AC的长度，最后可以计算出点C的坐标.

【详解】解：；表示1、6的对应点分别为点A、点B,

，AB=GT,

••,点B关于点A的对称点为点C,

；.CA=AB,

.,.点C的坐标为：1-(^-1)=2-也.

故选：C.

【点睛】本题考查的知识点为实数与数轴，解决本题的关键是求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左

边的数.知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离.

二、填空题

7.痴的算术平方根是.

【答案】垂)

【解析】

【详解】试题解析：•.•后=5,

(、后『=5,A5的算术平方根是V5.

故答案为百.

8.如果y4=81,那么y=.

【8

【答案】3或-3

【解析】【分析】根据有理数的开方运算计算即可.

【详解】Vy4=81,

(y2)2=81,

；.y2=9,

y=3或-3.

故答案为3或-3.

【点睛】本题考查了有理数的乘方运算的逆运算，解题时注意不用漏解.

9.把#厂写成基的形式是.

【答案】，

【解析】

【分析】表示为被开方数的指数除以根指数的形式即可.

【详解】解：把状■表示成暴的形式是4M

故答案为：4*

【点睛】本题考查了分数指数塞的相关知识；掌握转化方式是解决本题的关键.

10.比较大小:-372-—26(填或或“=").

【答案】>

【解析】

【分析】将根号外面的3和2平方后放到根号里面，再根据负数相比较，绝对值大的反而小进行比较即可.

【详解】解：一3底=-7?x2=-V18，

-2石=-物*5=-回，

|-V18|=Vi8,|-V20|=V20,

•;屈〈回，

A-V18>-V20

-3直>-2#>

故答案为：>.【点睛】本题考查了实数大小比较，主要利用了负数相比较，绝对值大的反而小，将根号外

面的数字转化的根号里面是解题的关键.

11.截止2021年4月9日1：30,美国新冠肺炎累计确诊31648458人，把这个数四舍五入保留3个有效数

字是

【答案】3.16xl07

【解析】

【分析】先用科学记数法表示，然后对第4个有效数字进行四舍五入即可.

【详解】解：31648458用科学记数法可表示为3.1648458x1()7,四舍五入保留3个有效数字为：316xl07

故答案为：3.16X107.

【点睛】本题考查了近似数和有效数字.解题的关键在于先用科学记数法表示，然后四舍五入.

12.数轴上点A表示0,则到点A距离是3个单位的点表示的数是

【答案】加+3或血-3

【解析】

【分析】根据到点A距离是3个单位可知这个点可以在点A左右两边，所以分两种情况计算即可.

详解】•••点A表示血

又•.•到点A距离是3个单位

•••这个点表示的数是0+3或0-3

故答案为：、反+3或0—3

【点睛】本题考查了数轴上点与点之间的距离，解题关键在于分两种情况讨论.

13.计算：(百一2严|.(右+2产2=.

【答案】-y/3-2##-2~y/3

【解析】

【分析】根据平方差根式将原式进行变形，然后再计算.

【详解】(百—2严।•(G+2产2=(73-2严.(6+2严।•(6+2)

=[(G—2)(6+2)『°21.(百+2)=(3—4严21.(百+2)=—6—2故答案为：一出一？.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，能正确变形，根据二次根式的运算法则进行计算

是解此题的关键.

14.如图，AB//CD,ZA=30°,ZC=50°,则NE=一度.

【解析】

【分析】由A」B〃C。得到N£EB=NC=50。，再利用三角形的外角定理可以求出NE.

【详解】：AB〃C£)，

/C=/EFB,

VZC=50°,

：.ZEFB=50°,

又；NEFB=NA+NE,而/A=30°,

/E=NEFB—/A=50°—30°=20°,

故答案为：20.

【点睛】本题考查了平行线性质、三角形的外角定理，利用外角定理得到NE=NEF8-/A是解题关

键.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

15.如图，已知NAQ3=25°,NAOC=90°,点夙0、。在同一直线上，则的度数为

D

【答案】115

【解析】

【分析】由/30。=£40。一24。3求出/80。的值，根据NCOD=1800-NBOC计算求解即可.

【详解】解：：/AOB=25。，ZA0C=90°,

ZBOC=90°-25°=65°,

ZCOD=180°-65°=115°.

故答案为：115.

【点睛】本题考查了余角与补角.解题的关键在于找出角度的数量关系.

16.如图，添加一个条件使AB|[8,这个条件可以是（只需写出一种情况）

【答案】ZABD=NBDC或ZABC+NC=180。或ZBAD+NA£)C=180。(答

案不唯一）

【解析】

【分析】根据平行线的判定，可利用内错角相等或同旁内角互补，可得出答案.

【详解】解：根据平行线的判定，可添加NAB£>=NBOC,或乙4BC+NC=180。，或乙BAD+/AZ）C=180。,

故答案为：NABD=/BDC,或/ABC+/C=180。，或NBAO+NAOC=180。，（填写一个即可）.

【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键.

17.如图，AD//BC,AC、BD交于点E，三角形A8E的面积等于4,三角形CBE的面积等于5,那

AD

么三角形。BC的面积等于

【答案】9

【解析】

【分析】根据平行线之间的垂线段长度处处相等，可得进而得到SAE。=，根据

S.DBC=S/^ECD+5谶”计算求解即可・

【详解】解：・.,AO||3C,

-Q=q

••OAABD-乙ACO，

•*,S4ABE=S4ECD=4S4DBC=+S^SCE=4+5=9故答案为：9.

【点睛】本题考查了平行线的性质.解题的关键在于明确平行线间的垂线段长度处处相等.

18.如图，己知△ABC,点3在直线OE上，NCBE=15。,将AABC绕点5逆时针旋转95°到AABC

位置，44'=30。，若AC'〃Z)E,则/A?C'=度.

【解析】

【分析】利用AC〃OE求出ZA'BD=ZA'^30°,进而得出NA'BC=135°,根据旋转求出

ZCBC'=ZABA'^95°,从而求出NC8C'+N/®V=NABC+ZABC'+NABC'+NA'8C'=190°,于

是求得NABC'=190°—135°=55°.

（详解】•；AC'//DE,NA'=30°，

，ZABD=ZA'=30°/CBE=15°,

ZA'BC=180°-ZABD-NCBE=180°—30P-15°=135°

VVA'B'C由A/IBC绕点8逆时针旋转95。得到，

ZCBC=ZABA=95°,

：.ZCBC+ZABA=ZABC+ZABC+ZABC+ZA'BC=190°,

•••ZABC=ZABC+ZABC+ZABC=135°

ZABC'+135°=190°

/.ZABC=55°

故答案为：55.

【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质，正确理解旋转的性质是解题的关键.

三、简答题

19.计算：—^3—（^6+3）-?-y/3.

2

【答案】—空―近

2

【解析】

【分析】先计算二次根式的除法，再计算二次根式的加减.

【详解】解：原式=—走—夜—G.

2

上正【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和加法运算是解

2

题关键.

20计算：7(1->/3)2x(-V3)2x764-72.

【答案】9-373

【解析】

【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算即可.

【详解】解：J（1一6）2X（_a2X指+夜

=（百-1）X3XV^+VI=（9&-3指）+收=9-361点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算,

正确掌握相关运算法则是解题的关键.

2-2

21.计算：3+6-273+_(6+2)°.

【答案】V3-1

【解析】

【分析】先计算除法，立方根，负整数指数累，零指数累，然后进行加减运算即可.

【详解】解：3+6—273+-(6+2)°

=73-3+3-1=73-1【点睛】本题考查了立方根，负整数指数累，零指数嘉，实数的运算.解题的关

键在于正确的计算.

22.利用基的运算性质计算：2行+蚯.

【答案】8

【解析】

【分析】首先将2竹，般,正转化成同底数的指数募形式，再按照同底数暴的运算法则进行计算即可

求出结果.

【详解】解：2竹x晒+蚯=2x*x亚十啦=2x23x2/26=2「丁列=23=8

【点睛】本题考查了分数指数累，同底数幕的运算，掌握根式与分数指数塞的互化是解本题的关键.

23.如图,已知AB〃CO,Nl=(4x—25)。，N2=(85—x)°,求4的度

【答案】135°

【解析】

【分析】利用“两直线平行，同旁内角互补”列方程求解即可.

【详解】解：•.•A3〃CZ),.•.Nl+N2=180°，

即得(4x-25)+(85-x)=180,解得x=40.

.•.Zl=(4%-25)°=135°【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”的性质

是解题关键.

24.画图:

P./a

(1)在图中画出表示点P到直线。距离的垂线段PM.

(2)过点尸画出直线人的平行线c,与直线a交于点N.

(3)如果直线。与方的夹角为40。，那么NMPN=—°.

【答案】(1)见解析(2)见解析

(3)50

【解析】

【分析】(1)以点P为圆心，以大于点P到。的距离的长度为半径画弧，与直线。相交于两点，再分别以

这两点为圆心，以大于它们之间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与点P作直线，与。相

交于点M,尸加就是所要求作的垂线段；

(2)以点P为顶点，画一条直线为一边，作NP等于这条直线与直线b所成夹角，则/P的另一边所在

的直线就是所要求作的直线c；

(3)根据两直线平行，内错角相等求出NMNP=N40。，再根据直角三角形的两锐角互余即可求出NMPN

的度数.

【小问1详解】

解：如图1所示，就是所要求作的点尸到直线。距离的垂线段；

b【小问2详解】

如图2所示，直线c就是所要求作的直线匕的平行线

直线”与人的夹角为40。，c//b

图3

：.ZPNM=40°,

'：PMA.a

：./PMN=90。

：.NMPN=90°-40°=50°.

故答案为：50。.

【点睛】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线，过直线外一点作已知直线的平行线，以及平行线的

性质，直角三角形两锐角互余的性质，是小综合题，难度不大，只要细心便不难求解

四、解答题

25.己％AE//GF,BC〃GF,EF〃DC,EF〃AR,猜想NA与NC的关系如何？并说明理由.

解：因为AE〃G£BC〃GF（已知）

所以A石〃BC()

所以Z4+=180°()；

同理，ZC+=180°；

所以（）.

[25

【答案】平行于同一条直线的两直线平行；NB；两直线平行，同旁内角互补；/A=NC；同角的补角相等

或等式性质

【解析】

【分析】根据平行线的判定和性质以及同角的补角相等求解即可.

【详解】解：因为4£〃6/，BC//GF（已知）

所以（平行于同一条直线的两直线平行）；

所以NA+/B=180。（两直线平行，同旁内角互补）；

同理，ZC+ZB=180°；

AZA=ZC（同角的补角相等或等式的性质）.

故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；/B；两直线平行，同旁内角互补；NA=/C；同角的补角

相等或等式的性质.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，同角的补角相等，熟知平行线的性质与判定是解题的关

键.

26.如图，已知BE〃AO,Z1=Z2，0EJ_Q4于点0,那么N4与N5有什么数量关系？为什么？

【答案】/4与/5互余，理由见解析

【解析】

【分析】由题意知N2+N3=90。，Zl+Z4=90°,Z2+Z4=90°,Z2=Z5,得到N5+N4=90。，进而

可判断两角关系.

【详解】解：/4与/5互余，

理由：\'OE±OA,

：.ZAOE=90°,即/2+N3=90°,

VZl+Z2+Z3+Z4=180o,

.\Z1+Z4=9O°

•••Z1=Z2,

.*.Z2+Z4=90°,

BE//AO,二/2=/5,

.,.Z5+Z4=90o,即/4与/5互余.

【点睛】本题考查了同角的余角相等，平行线的性质.解题的关键在于找出角度的数量关系.

27.如图，48、C。是两条直线，NBMN=/CNM,N1=N2.请说明N£=NF的理由.

【分析】根据平行线的判定得出AB//CD,根据平行线的性质得出求出

根据平行线的判定得出ME//NF,根据平行线的性质得出即可.

【详解】•:NBMN=NCNM（已知），

||CO（内错角相等，两直线平行）.

（两直线平行，内错角相等）.

VZ1=Z2（已知），

，NEMN=NMNF（等式性质）.

AME//NF（内错角相等，两直线平行）.

.•.NE=NF（两直线平行，内错角相等），

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.

五、综合题

28.（1）如图1,已知直线相〃“，在直线"上取两点，C、P为直线加上的两点，无论点。、P移

动到任何位置都有：S^ABCS&ABP（填，或“=”）

（2）如图2,在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两

块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画

出相应图形并简述理由.

（3）如图3,王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形DEFG,中间有条分界小路（图中折线A8C）,左

边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何

知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的

占地面积）.

（2）见解析；（3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等，所以无论点。、P在加上移动到何位置，总有AABC与八43尸

同底等高，因此它们的面积相等；

（2）利用同底等高的三角形