高等量子力学14-2

§14-2密度算符和密度矩阵希望找到一个单一的数学量描写混合态就是密度算符定义

对于纯态以前，用Hilbert空间的一个矢量描写状态现在，找另一种描写纯态的量A在态中的平均值：1归一化！(14.5)式中完全决定于密度算符归一化物理量A在态中取值的概率：(14.6)(14.7)在本征态中的平均值由(14.5)、(14.7)知道：对于纯态，

凡是能用给出的信息替代描写纯态

现在用也可给出另一种数学量

对于混合态(14.8)求物理量A在该混合态中的平均值两次平均手续：①QM平均②统计物理平均求出各量子平均的不同概率出现时的平均(14.9)式中(14.10)混合态的密度算符(或统计算符),是参与混合的那些纯态的密度算符的加权平均物理量A在混合态中取值的概率：QM的概率统计物理的概率(14.11)对比：纯态混合态(14.9)(14.11)(14.10)(14.5)(14.7)(14.6)找到描写混合态.是Hilbert空间中的算符,比用(14.8)表示混合态方便.可以看到,纯态是混合态的特例,例如,对于(14.8)当时,混合态纯态.

刘维(Liouville)方程

在HP,

在SP,不含t不含t(14.12)(14.13)则

密度算符的运动方程，称刘维方程.注意与海森伯方程不同：(11.23)(14.14)

运用刘维方程计算不含t的物理量在混合态的平均值

随t的变化：(14.9)(4.21)(14.14)(○)(4.21)(○)ABBA(4.21)(○)(4.21)(14.9)(14.15)

正是对海森伯方程在混合态中求平均值.

密度矩阵密度算符在具体表象中的矩阵不含t,在HP

K表象(基矢)中的密度矩阵：对角矩阵,对角元是相应本征态中的权重(14.16)若参加构成混合态的都是K的本征态含t,在SP对情况的验证：又若K=X位置表象,则连续矩阵(14.17)(14.18)密度矩阵的一些性质混合态(14.19)通常系统的哈密顿的各个本征态.基矢,但有简并时,未必互相.互相下面的讨论和证明中,不一定,但归一化.线性无关纯态是混合态(14.19)取的特例.讨论密度算符的迹,有对纯态混合态PF:1[]上式[]中只要i,j不是只有一个值(纯态),则(1.1)当(若二态,则=0)(1.1)于是[]中:(混合态)对纯态,,于是(纯态)[#]上述证明不论是否两两正交,都成立.

由(14.19)密度算符具有厄米性:对(14.19)若，则的,即本征矢本征值(14.22)PF:(#)对于非彼此,该性质不成立.但在这种情况下,密度算符(14.19)仍是厄米的,肯定有一系列本征矢.设的,即本征矢本征值

可以构成基矢,于是1则可以写成(14.23)由于厄米算符的本征矢,它们可以是彼此.同一个密度算符(14.19)不全(14.23)彼此从实验上看:(14.19)与(14.23)是分别由两套不同的参与态

构成的混合态,是不同的态.从理论上看:对于(14.19)与(14.23)两个混合态,QM所能得

到的信息完全一样,从密度算符上完全无法判

别它们的不同,可以认为是同一个态.

本书采用后一种看法.

两个不同参与态的混合态,给出的密度算符相同.而由

得到的信息,如物理量平均值,取值概率

都相同,即由给出的信息,是这两个混

合态都具有的相同信息.从这一点上

看它们可以认为

是同一个混合态.而这两个混合态具有的不同信息(或者

说两者之间的不同或差异)

在密度算符中体现不出

来,这是密度算符(密度矩阵)理论本身所造成的.**一个密度算符为的混合态，可用不同的参与态以不同的权重构成。但要求参与态彼此正交，则只有一种构成方式，这时参与态就是的一组本征态。

的本征值有简并时，不成立。——光子的纯态线偏振光（沿z方向传播）

——光子的混合态

—线偏振光在角方向上偏振的概率。例如（1）（2）结果表明，上述两种混合态具有相同的密度矩阵。结论同一个用

(都是的本征态)构成注意此时的本征值是简并的情况。上述—特殊的密度矩阵，可以有任意多种正交参与态(线偏振光)的形式构成，只要两个参与态(线偏振光)正交且权重相同，任意方向都可以。构成不同其中用到用一组基矢作为参与态，把系统的所有混合态(包括参与态不完全正交的)表现出来？PF:

（14.24）式中（14.25）满足两个必要条件：

（14.26）11

—厄米由(14.24)—(14.26)

可以用一组基矢表现系统的任何混合态：

（14.27）

（14.28）(14.27)是(14.10)的推广，相应是的推广。不一定是混合态的参与态。①当参与态是时，

(对角矩阵)(14.27)—(14.10)；②当参与态不是,而是其它基矢或不完全正交的一组态时，

混合态要用(14.27)表示。

(14.25)约化密度矩阵有一个大系统，而希望求出平均值的那个物理量只与系统的一部分有关。例如在两个粒子1、2构成的系统中，希望求粒子1的某一物理量F(1)的平均值。上述内容仍适用，可做简化。简单计，以双粒子系统为例粒子基矢则在1、2两粒子空间的直积空间中,系统的归一化态矢的一般形式：（14.29）其中

（14.30）处于纯态，系统的密度算符：密度矩阵元

其中用到：

(14.31)(5.30)求粒子1的物理量F(1)的平均值

(14.33)其中(14.32)

11

—只对粒子2取迹，取迹后的仍是粒子1空间中的算符，称为粒子1的约化密度算符，它在粒子1的某一表象(例如为基矢)中的矩阵，称为粒子1的约化密度矩阵。(14.33)表述完全与粒子2无关，只与粒子1空间有关。从(14.33)

在一个双粒子系统中只讨论粒子1的物理量平均值的关系粒子1处于一个单粒子状态的情况。当大系统处于纯态

(14.29),这个等价的单粒子态不一定是纯态(在什么情况下一定是纯态?),可能是一个混合态

（14.34）

(14.27),这种混合态是一种等价的混合态,是QM本身原因所产生的混合态.(14.32)§14.3例举几个自