小学奥数题库《几何》-直线型-一半模型-1星题（含解析）

几何-直线型几何-一半模型-1星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

一半模型B1.了解典型的一半模型少考

2.能够灵活运用一半模型解决几何

问题

知识提要

一半模型

・平行四边形的一半模型

・梯形的一半模型

・任意四边形一半模型

精选例题

一半模型

1.如下列图，4BFE和CDEF都是矩形，48的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影局部

的面积是平方厘米.

【答案】6

【分析】图中阴影局部的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4x3+2=6（平方厘米）.

2.如下图，平行四边形的面积是50平方厘米，那么阴影局部的面积是平方厘米.

【答案】25

【分析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影

局部的面积也等于平行四边形面积的一半，为50+2=25（平方厘米）.

3.如下列图，长方形4FEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是20,宽是

12,那么它内部阴影局部的面积是.

【答案】120

【分析】根据面积比例模型可知阴影局部面积等于长方形面积的一半，为5x20x12=120.

4.如图，正方形4BCD的边长为6,AE=1.S,CF=2.长方形EFGH的面积为.

【答案】33

【分析】

连接DE,DF,由一半模型得，长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的两倍.又

S&DEF=6x6—1.5x6+2—2x6+2—4.5x4+2=16.5,

所以长方形EFGH面积为16.5x2=33.

5.如图，假设S长方形力BCD=60平方米，S长方形XYZR=4平方米，那么S四边形EFGH=平方米,

【答案】32

【分析】观察发现，

_1

S>EFR—2SAFRE，

所以

_1

SEFGH=2（&BCO-^XYZR）+^XYZR

1

=—（60—4）+4

=32（平方米）.

6.如图，正方形的边长为10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影局部的面积是.

【答案】40

【分析】

如图，设4D边上的两个点分别为M、N.连接CN.根据等积变形，△CMF与△CNF的面积是

相等的，那么△CMF与△BNF的面积之和等于^CNF与4BNF的面积之和，即等于△BCN的面

积.而ABCN的面积为正方形ABCD面积的一半，为102x2=50,又△CMF与△BN尸的面积之

和与阴影局部的面积相比，多了2个四边形EFGH的面积，所以阴影局部的面积为：50-5x

2=40.

7.一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的

面积是21平方厘米.问：长方形的面积是平方厘米.

【答案】60

【分析】由于黄色三角形和绿色三角形面积总和是长方形面积的0.5倍，所以黄色三角形面积

是长方形面积的0.5-0.15=0.35倍，所以长方形的面积是

27+0.35=60（平方厘米）.

8.校园里有一块长方形的地，长18米，宽12米.想种上红花、黄花和绿草.一种设计方案如

下列图，（除长方形四个顶点外，其余各点均为各边中点）那么其中红花的面积是平方米.

【答案】54

【分析】图中黄花面积+红花面积=长方形面积的一半，而且黄花面积=红花面积，所以，

红花面积=18x12+2+2=54（平方米）.

9.如图，正方形4BCD的边长为6,AE=1.5,CF=2.长方形EFGH的面积为.

【答案】33

【分析】连接DE,DF,那么长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

S〉DEF=6x6—1.5x6+2—2x6+2—4.5x4+2=16.5

所以长方形EFGH面积为33.

10.下列图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、。8是厘米.

【答案】3.2

【分析】连接BE,由一半模型得三角形ABE的面积是正方形的一半，即为8,所以

AExOB4-2=8,

OB=3.2厘米.

11.如下图，P,Q分别是正方形4BCD的边4。和对角线4c上的点，且AP:PD=1:4,AQ-.QC=

3:2.如果正方形4BCD的面积为25,那么三角形PBQ的面积是.

【答案】6.5

【分析】如图，连接DQ.

正方形边长为5,AP=1,AQ-.QC=3:2,

那么

SAAPB=5x1+2=2.5,

12

S^BCQ=25x-x-=5,

SACDQ=5，

134

S"DQ=25X-X-X-=6,

S“BQ=25—2.5—5—5—6=6.5.

12.如下列图所示，在梯形4BCD中，E、F分别是其两腰4B、CD的中点，G是EF上的任意一点,

△ADG的面积为15丽2,而ABCG的面积恰好是梯形4BCD面积的。那么梯形48CD的面积是

cm2.

【答案】100

【分析】如果可以求出△力BG与的面积之和与梯形A8CD面积的比，那么就可以知道4

AOG的面积占梯形/BCD面积的多少，从而可以求出梯形ABCO的面积.

如图,连接CE、DE.那么S-EG=S^BEG=S&CEG，于是

S&ABG+S〉CDG=S»cDE・

要求△CDE与梯形48CD的面积之比，可以把梯形/BCD绕F点旋转180。，变成一个平行四边

形.如下列图所示：

从中容易看出△CDE的面积为梯形4BCD的面积的一半.

也可以根据

_1

S^BEC~2S&ABC，

__1

S&AED~S〉AFD~弓S—DC，

111

S〉BEC+S&AED=2^^ABC+~^ABCD

得来.一

那么，根据题意可知AADG的面积占梯形4BCD面积的所以梯形4BCD的面积

是一「"

3

15=100cm2,

20

小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一

半，这是一个很有用的结论.此题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G与E重

合，那么ACDE的面积占梯形面积的一半，那么A/lDG与A8CG合起来占一半.

13.图中由3个边长是6的正方形组成，那么图中阴影局部的面积是.

【答案】36

【分析】等积变形如下:

阴影局部面积：

(6x2)x6+2=36.

14.将长15厘米、宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点

连结，如下列图所示，那么阴影局部的面积是平方厘米.

【答案】67.5

【分析】连接辅助线如下列图所示，

可知SAE℃=［SAAOC，SABOG=7^ABOD>所以SAEOC+SABOG="（^AAOC+SABO。）=;X二X

JJJJ4

111

S长方形4CDB'SABOH=,SAAOB，SNOC=WSADOC，所以SAFOC+SABOH=,（SA4OB+SAC。。）=

gx^xs长方形"DB，所以阴影局部是长方形面积的一半，为15x9+2=67.5（平方厘米）.

15.如下图，，行四边形ABC。的面积是100平方厘米，E是其中的任意一点.那么图中阴影局

部面积是多少平方厘米？

【答案】50平方厘米.

【分析】根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平

行四边形的一半所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50平方厘米.

16.如图，平行四边形的面积是64平方米，4、B是上、下两边的中点，你能求出图中涂色局部

的面积吗？

【答案］32平方米.

【分析】因为4、B是上下底两边的中点，所以阴影平行四边形的底是大的平行四边形底边的

一半，且它的高与大的平行四边形的高相同，所以阴影平行四边形的面积为大的平行四边形面

积的一半：64+2=32（平方米）.

17.如下图，长方形的长为16,宽为5.那么阴影三角形的面积和为多少？

【答案］40.

【分析】“狗牙〃模型，阴影局部多个三角形根据同底等高三角形的转化可以转变为一个大

三角形，面积为长方形的一半，面积为16x5+2=40.

18.如图，平行四边形的面积是100平方米厘米.那么阴影局部的面积是多少平方厘米？

【答案】50平方厘米.

【4析】单层犬牙模型，通过同底等高可以将阴影局部的面积转化成一个大的三角形.这个三

角形的面积是平行四边形面积的一半，所以阴影局部的面积是50平方厘米.

19.如图4BCC是一个长方形，点E、尸和G分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是36

个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.

【答案】9

【分析】如下列图分割后可得，SAEFG=^^DEFC+2=S矩形ABCD+4=36+4=9（平方单位

）.

20.如图，P为长方形ABCD内的一点.APAB的面积为5,APBC的面积为13.请问：APB。的

面积是多少？

【答案】8

【分析】SAPAB+S—po+SAPBD=；S^BCD，由一半模型，S^APD+ShPBC=|SABCD,所以

SaBC-SAP4B+SxPBD，S4PBD—S4PBC-SAPAB=13—5=8.

21.如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长

方形组合而成.求阴影局部的面积.

【答案】5平方厘米.

【分析】如图，

将大长方形的长的长度设为L那么48=三二=；,CD=-^-=\,所以MN=白，

12+36424+4833412

阴影局部面积为（12+24+36+48）x1xi=5（平方厘米）.

22.如下图，四边形4BCD与4EGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.

【答案】见解析.

【分析】此题主要是运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高

的平行四边形面积的一半.

证明：连接BE.

因为在平行四边形4BCD中，

SAABE=2x48x4B边上的IWJ,

所以

_1

SAABE=2s四边形ABCfT

同理，

_1

SAABE=四边形4EGF，

所以平行四边形48CD与4EGF面积相等.

23.如图，4BCC和CDEF都是平行四边形，四边形ABFE面积为60平方厘米.请问：阴影局部

面积是多少平方厘米？

【答案】30平方厘米.

【分析】双层犬牙模型，可以把ABCZ）中的阴影面积转化成一个大的三角形，是4BCD面积的

一半：CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半.所以阴影局部的面积

是平行四边形4BFE面积的一半，即30平方厘米.

24.如下图，E是平行四边形4BCD中的任意一点，△4ED和AEBC的面积是40平方厘米，那么

图中阴影局部的面积是多少？

【答案】40平方厘米.

【分析】平行四边形中任意一点，与四个顶点连线，分成的四个小三角形面积关系：上+下

=左+右.

25.如下图，正方形4BCC的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为

几厘米？

【答案】6.4厘米

【分析】连结力G,由一半模型得，长方形EBGF的面积是三角形AGB面积的两倍，正方形

48CD的面积，所以长方形EBGF的面积和正方形4BCD的面积相等，正方形4BCD的面积为8X

8=64（平方厘米），所以长方形的宽为64+10=6.4（厘米）.

26.在梯形ABCC中，S甲+5乙=2s丙=20平方厘米，AE||BC.求梯形4BCD的面积.

【答案】50平方厘米

【分析】在平行四边形4ECB中：S甲+S乙=20（平方厘米），根据一半模型，ShAEF=20（

平方厘米），S丙=20+2=10,所以梯形4BCD的面积是20+20+10=50（平方厘米）.

27.如下图，一个长方形被分成假设干局部，其中三块的面积是13、49、35,那么阴影局部的

面积是多少？

【答案】97

【分析】根据一半模型知，

49+35+$2+13+S]

=阴影+S2+S1

=g长方形的面积.

所以阴影面积是

49+35+13=97.

28.如图，平行四边形ABC。的底边4。长20厘米，高CH为9厘米，E是底边8c上任意的一

点.那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？

【答案】90平方厘米.

【分析】平行四边形面积是180平方厘米.狗牙模型，通过同底等高可以将F拉到4点，把两个

三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90平方厘米.

29.长方形的面积为36,EFG为各边中点，H为边上任意一点，问阴影局部面积是多少？

【答案】13,5

【分析】，为边上任意一点，所以可以把“点看成4。的中点，所以三角形EFH的面积为四边形

面积的一半，三角形HDG面积等于三角形AEH的面积，所以阴影面积为四边形ABFH面

积减去三角形BEF的面积，又因为E、F为4B、BC中点，所以三角形BEF的面积为36+8=

4.5,所以阴影局部面积为36+2-4.5=13.5.

30.如图，4BCD是梯形，4BFD是平行四边形，CDEF是正方形，4GHF是长方形.又知AD=

14厘米，BC=22厘米，那么，阴影局部的总面积是多少平方厘米？

【答案】56平方厘米

【分析】因为4BFD是平行四边形，所以AD=BF,那么FC=22-14=8cm.又COEF是正

方形，所以EF=FC=8cm.三角形ABF的面积是14x8+2=56皿2.因为三角形ABF在平

行四边形ABFD,长方形4GH产中都是一半，因此阴影局部面积为56crn2.

31.正方形内，有两点，图中圆圈表示所在的小三角形，①的面积是32cm2,②的面积是36

平方厘米，③的面积是24cHi2,问④的面积是多少？

【答案】44cm2

【分析】①与②的面积之和加上左右边上两个的面积是正方形面积的一半，

③和④的面积之和加上左右边上两个的面积是正方形面积的一半，

所以

①+②=③+④.

也就是

32+36=24+

④的面积是44cM2.

32.如下图，一个长方形被分成4个不同的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角

形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米.那么蓝色三角形的面积是多少平

方厘米？

【答案】22平方厘米.

【分析】红蓝面积之和等于黄绿面积之和，都是长方形的一半.所以蓝色面积为21+10-

9=22平方厘米.

33.0是长方形4BCD内一点，AOBC的面积是5c?n2,△048的面积是2cm2,求△0B。的面积

是多少？

【答案】3

【分析】由于ABCD是长方形，所以SAAOD+S^BOC=］S/IBCD，而SAAB。=3S4BCD，所以

SAAOD+S^BOC—S“8。，那么S480C=SAOAB+SAOBD，所以=ShB0C—SA0AB=5—2=

3（cm2）.

34.如下图，梯形4BCE是由正方形4BCD和等腰直角三角形CDE构成.等腰直角三角形的斜边

是10厘米，那么ABCE面积是多少平方厘米？

［答案］25平方厘米.

【3析】根据等腰直角三角形的斜边，可以知道等腰直角三角形和正方形的面积分别是25平方

厘米和50平方厘米.

方法一：ABCE的面积是正方形面积的一半，所以ABCE的面积是25平方厘米；

方法二：连结B。，ABCE和等腰直角三角形是同高等底的两个三角形，所以面积相等，那么△

BCE的面积也是25平方厘米.

35.如下列图，长方形长为8cm,宽为4czn,求图中的两个三角形，△ABC和△COE的面积分别

是多少平方厘米？

【答案】10;6

【分析】两个三角形的面积分别是

△ABC：

5x4+2=10（平方厘米）；

△CDE：

3x4+2=6（平方厘米）.

36.如图，长方形48CD内的阴影局部的面积之和为70,AB=8,AD=15,那么四边形EFG。

的面积是多少？

【答案】10.

【分析】梯形ADC尸中，阴影CDG与AFG面积相等，所以阴影总面积可以转化为△48。与四边

形OEFG,其中△4BD面积为长方形一半60,所以四边形OEFG面积为70-60=10.

37.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCO各边的中点，尸G与FH交于点。，S1、S2,S3及S4分

别表示四个小四边形的面积.试比拟&+S3与$2+S4的大小.

【答案】相等.

【分析】如下列图，连接4。、80、CO、DO,

那么可判断出，每条边与0点所构成的三角形都被分为面积相等的两局部，且每个三角形中的

两局部都分属于&+S3、S2+54这两个不同的组合，所以可知S1+S3=S2+S”

38.如下图，在平行四边形4BCD中，E为48的中点，AF=2CF,三角形4FE（图中阴影局部）

的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？

【答案】48

【分析】连接尸B.三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF

面积的2倍，所以三角形4BC面积是三角形4EF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形

4BC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（3x2）=6倍.因此，平行四边

形的面积为8x6=48（平方厘米）.

39.如图，正方形4BC0的边长是4厘米，矩形。EFG的长0G=5厘米，求它的宽DE=厘米.

【答案】3.2

【分析】连接4G,正方形的面积为

4x4=16（平方厘米），

△4DG的面积既是正方形面积的一半，也是长方形面积的一半.所以，长方形的面积也为16,

所以，

DE=16+5=3.2（厘米）.

40.长方形ABCC中，对角线交于。点，F是BC上一点，连接AF、DF.如图得到三块阴影，阴

影的面积之和是28平方厘米，长方形的长是8厘米，宽是6厘米.求四边形。EFG的面积.

【答案】4平方厘米.

【分析】由平行线定理或者梯形的蝴蝶定理，三角形CDG的面积就等于AFG的面积.

这样阴影面积之和就变成了AABD和四边形OEFG的面积之和.

前者面积是

8x6+2=24（平方厘米）.

后者面积是

28-24=4（平方厘米）

即为所求.

41.如下图，三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近B点的四等分点.三角形

AED的面积是多少平方匣米？平行四边形。EC尸的面积是多少平方厘米？

【答案】60平方厘米；160平方厘米

【分析】连接4C,由于三角形BEF的面积是20平方厘米，而4E:EB=3:1,所以三角形力DE

的面积是60平方厘米，那么三角形DEC的面积是80平方厘米，那么平行四边形DECF的面积是

160平方厘米.

42.如下图，BD、CF将长方形4BCD分成4块，三角形DEF的面积4平方厘米，三角形CEC的面

积是6平方厘米.问：四边形4BEF的面积是多少平方厘米？

［答案】11

【分析】连接BF,

由于4D与BC平行的，所以四边形BCDF是梯形，

S^BEF-SACED=6,

根据蝴蝶模型，

SADEFXS^BEC=S&BEFXS^CED，

代入局部，可得〃BEC=9（平方厘米），

SABEF=SAABD—SADEF

=SMBD—SHDEF

=9+6—4

=11（平方厘米）.

43.一个矩形分成4个不同的三角形（如下列图），绿色三角形面积占矩形面积的15%,黄色三

角形的面积是21平方厘米.问：矩形的面积是多少平方厘米？

【答案】60平方厘米

【分析】黄色三角形与绿色角形面积之和是矩形面积的50%,而绿色三角形面积占矩形面积的

15%,所以黄色三角形面积占矩形面积的50%-15%=35%,黄色三角形面积是21平方厘米,

所以矩形面积等于21+35%=60（平方厘米）.

44.如图，4BC0是一个长方形，E点在CD延长线上.AB=5,BC=12,且三角形4FE的面积

等于20,那么三角形CFE的面积等于多少？

【答案】60

【分析】S-BE=5x12+2=30,所以

SMBF—30-20=10,

B|JEF=2BF,S^CEF=2S^BCF，即

SACEF=2S“BCF=SABCD=5x12=60.

45.如图，△ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段4B与CD相交于K点.正方形CEFG

的面积48,AK-.KB=1:3,那么△BK。的面积是多少？

【答案】12

【分析】由于DEFG是正方形，所以与BC平行，那么四边形40BC是梯形.在梯形40BC中,

△8DK和的面积是相等的.而AK:KB=1:3,所以△4CK的面积是△A8C面积的二;=；,

1+34

那么△BDK的面积也是△ABC面积的"

由于△ABC是等腰直角三角形，如果过2作8c的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且

AM=DE,可见△ABM和△4CM的面积都等于正方形0EFG面积的一半，所以△48C的面积与

正方形OEFG的面积相等，为48.那么△BDK的面积为48x；=12.

46.如图，长方形4BCD的面积为6,那么平行四边形BECF的面积为多少？

【答案】6.

【分析】三角形BCF的面积为长方形的一半，同时也是平行四边形的一半，所以平行四边形面

积等于长方形的面积.

47.如图，长方形4CEF的面积16,三角形4DB的面积是3,三角形4CF的面积是4,那么三角

形ABC的面积是多少？

【答案】6.5

【分析】

如图，连接AE,连接对角线AE.由于四边形ADEF是长方形，那么〃〃即=S“EF==

|xl6=8,因此装=沁=；,所以C是EF边的中点.

2EFS&AEF2

又因为四边形4BE尸是梯形，那么S-Bc=?ABEF=|X(SADEF-SAADB)=1x(16-3)=6.5.

48.如下图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120。的线段将长方

形分成了两个梯形和一个三角形，请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？

【答案】25

【分析】连结4E、EB,如下图，从中容易看出，ZiAOB、△BOE和A40E都是顶角为120。的

等腰三角形，它们的底角都是(180。—120。)+2=30。，因此AABE的三个角都是60。，是一个

正三角形.

这样一来，A/IOB、^BOE和A40E的面积都相等，它们的面积之和是A4BE的面积，即长方

形面积的一半60+2=30平方厘米，因此这3个三角形的面积都是30+3=10平方厘米.

大长方形由2个梯形以及△AOB组成，那么1个梯形的面积就是(60-10)+2=25平方厘米.

49.如下图，图中最大的长方形面积是27,最小的长方形面积是5,求阴影局部的面积.

【答案】16

【分加】最大的长方形面积与最小的长方形面积之差为

27-5=22,

剩下局部空白面积与阴影面积相等，因此图中