有理数的分类与数轴

专题06有理数的分类与数轴

U,

［学习小目标I

1.知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类。

2.能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；

3.能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数；

4.会用数轴比较两个数的大小；初步感受数形结合的思想.

M____

［新课轻松导入

【思考1】我们在小学和上一节已经学习过那些数？这些数能否写乘分数的形式呢？

【思考3。试画图表示这一情景。

［知识帮你梳理.

1.有理数的相关概念

1）整数：正整数、（）、负整数统称为整数.

所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合.

2）分数：正分数、负分数统称为分数.

有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数.

3）有理数：整数和分数统称为有理数.

4）有理数的分类：

［正整数］口缺粕,正整数

_卜自然数正有理数＜

整数•零J正分数

（1）有理数（按定义分类）•.负整数（2）有理数（按符号分类〉零（零既不是正数,也不是负数）

‘正分数'负整数

分数•负有理数・

负分数负分数

注意：整数与分数都是有理数的范畴，有限小数、无限循环小数是有理数;

5）常用数学概念的含义

1）正整数：既是正数，又是整数2）负整数：既是负数，又是整数

3）正分数：既是整数，又是分数4）负分数：既是负数，又是分数

5）非正数：负数和06）非负数：正数和0

7）非正整数：负整数和08）非负整数：正整数和0

2.数轴

1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.它满足以下要求：

①原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点.原点是数轴的基准点.

②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向.

③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3,…；

从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2,-3,....原点、正方向和单位长度是数轴的三要素.

2）数轴的画法

①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；

③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注

各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.

3）有理数与数轴的关系

①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.

②数轴上的点并不全是有理数，如"也可以在数轴上表示，但兀并不是有理数.

③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边.

④与原点的距离是。（。＞0）,在数轴上可以是±。（存在多解的情况）

注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向

4）利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.因此，正数

总大于零，负数总小于零，正数大于负数.

［高频考点

考点1、有理数的概念辨析

【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数.

例1.（2023秋•吉林长春•七年级统考期末）下面的说法中，正确的是（）

A.正有理数和负有理数统称有理数B.整数和小数统称有理数

C.整数和分数统称有理数D.整数、零和分数统称有理数

【答案】C

【分析】根据有理数的分类进行判断即可.

【详解】解：A.正有理数、0和负有理数统称为有理数，故本选项错误；

B.无限不循环小数是无理数，故本选项错误；

C.整数和分数统称为有理数，故本选项正确；D.整数包括零，故本选项错误；故选C.

【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键.

例2.（2022秋•山东日照•七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；

③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据有理数定义及其分类解答即可.

【详解】没有最小的整数，故①错误；有理数包括正数、0、负数，故②错误；

非负数就是正数和0，故③正确；整数和分数统称有理数，故④正确；故选：C

【点睛】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键.

变式1.（2022秋•河南三门峡•七年级统考期中）下列说法正确的是（）

A.一个有理数不是整数就是分数.B.正整数和负整数统称整数.

C.正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数.D.0是最小的整数.

【答案】A

【分析】依据有理数的概念和分类进行回答即可.

【详解】解：A.一个有理数不是整数就是分数，说法正确，故此选项符合题意；

B.正整数和负整数和0统称为整数，原说法错误，故此选项不符合题意；

C.正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；

D.没有最小的整数，0是最小的自然数，原说法错误，故此选项不符合题意.故选：A.

【点睛】本题考查有理数的概念和分类，掌握相关知识是解题的关键.

变式2.（2022秋•江苏泰州•七年级校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）

最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零

和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；

（9）非负有理数是指正有理数和0.正确的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可.

【详解】解：整数分为正整数，0和负整数，

...一个整数不是正数就是负数错误，故（1）不符合题意；

没有最小的整数，故（2）不符合题意；负数中没有最大的数，故（3）符合题意；

自然数包括0,••.自然数一定是正整数错误，故（4）不符合题意；

有理数包括正有理数，零和负有理数，故（5）符合题意，

整数包括正整数，0和负整数，故（6）不符合题意；

零食整数但不是正数，故（7）符合题意；整数和分数统称为有理数，故（8）不符合题意；

非负有理数是指正有理数和0,故（9）符合题意，

综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9）,共4个，故选：D.

【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.

考点2、有理数的分类

【解题技巧】

正整数：像1,2,3,4等这样的数叫作正整数：负整数：像一1,-2,—3等这样的数叫作负整数；

正分数：像巳3，0.24等这样的数叫作正分数；负分数：像一士3，一3.56等这样的数叫作负分数；

44

整数：正整数、0、负整数统称为整数；分数：正分数、负分数统称为分数；

有理数：整数和分数统称为有理数。

78

例1.（2023秋•河北廊坊•七年级校考期末）下列各数：l.（）l（X）l（XX）l,—,0,一万，-2.626626662……，

433

0.12其中有理数的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，进行判断即可.

7878

【详解】解:一-,1.010010001,—,0,一万,-2.626626662....,0.12中--，1.010010001,—,0,0,12

433433

是有理数，共5个；故选D.

【点睛】本题考查有理数的定义.熟练掌握整数和分数统称为有理数，是解题的关键.

例2.（2023秋•辽宁沈阳•七年级统考期末）将下列各数填入所属的集合中：

2147

0,—3,—,—7,—4.2,3.5,0.6,-3—,10）—,—

3334

正数集合：｛…｝;整数集合：｛…｝;分数集合：｛

负整数集合：：｛...｝;正分数集合：｛...｝;

【答案】见解析

【分析】根据正数、整数、分数的概念，即可得出答案.

【详解】正数集合：||,3.5,0.6,呜，6.5卜整数集合：｛0,-3,-7,10｝；

分数集合：后,-42,3.5,0.6,-3，*一（,6.5：；负整数集合：｛-3,-7）；正分数集合：f,3.5,06*6.5

【点睛】本题考查了正数、整数、分数的概念，掌握以上内容是解题的关键.

例3.（2022秋•陕西西安•七年级校考阶段练习）（1）如图，下面两个圈分别表示负数集合和分数集合,

请你把下列各数填入它所在数集的圈里.3.5,-25%,0,-41,-5,3,-2,

【答案】（1）见解析：（2）负分数

【分析】（1）根据负数和分数的概念即可得出答案；（2）根据负数和分数的概念即可得出答案.

【详解】（I）负数为：-25%,-4：,-5,-2；分数为：3.5,-25%,-4：,；;

332

（2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示负分数.

【点睛】本题考查了分数和负数的概念，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.

21

变式1.（2022秋•贵州铜仁•七年级校考期中）在3.67,0,1,-（-3）,5-,-6中，非负整数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据非负整数的概念求解即可.

21

【详解】解：一(一3)=3,.•.在3.67,0,1,-(-3),5-,-6中，

非负整数有：0,1,-(-3),共3个，故选：C.

【点睛】此题考查/非负整数的概念，解题的关键是掌握非负整数的概念.非负整数包括正整数和零.

变式2.(2022秋•云南昆明•七年级校考期中)下列各数中，既是分数又是负数的是()

A.-3.1B.-6C.0

【答案】A

【分析】根据有理数的分类解答即可.

【详解】解：是分数的只有-3.1和2.8,而是负数的是-3.1,即选项A符合题意；故选：A.

【点睛】此题考查了有理数的分类，正确掌握有理数的定义及分类是解题的关键.

变式3.(2022秋・贵州遵义•七年级校考阶段练习)把下列各数分别填入相应的集合内：2,-3.14,-5,

22

—,-0.1212212221...,

7

(1)正数集合：｛…｝;(2)负数集合：｛

(3)整数集合：｛…｝;(4)分数集合：｛…｝；

【答案】⑴2,—(2)-3.14,-5,-0.1212212221...(3)2,-5(4)-3.14,—

【分析】根据有理数的分类方法求解即可.

【详解】(1)解：正数有：2,£TT,2T2，故答案为：2,n£,2T2；

3737

(2)解：负数有:-3.14,-5,-0.1212212221...；故答案为:-3.14,-5,-0.1212212221...；

(3)解：整数有：2,-5；故答案为：2,-5；

2222

(4)解：分数有：—3.14,—:故答案为：—3.14,—.

77

【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键.

变式4.(2022秋•河南周口•七年级统考期中)将下列各数填在相应的圆圈里(每个数只能写在一个对应区

3

域内）：-8,巧，75,-0.4,25%,0,-2019,-2.8,-

7

【答案】答案见解析

【分析】先填图中两个圆的公共部分的数，再添两边的数，从而可得答案.

【详解】解：把各数分别填入如下图：

【点睛】本题考查的是有理数的分类，掌握“有理数的分类”是解本题的关键.

考点3、有理数中的新定义集合

【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现

学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根

据新定义进行运算、推理、迁移。

常见类型有：（1）定义一种新运算；（2）定义一种新法则。

例1.（2022秋•贵州遵义•七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？

有理数在英语中是而“22”靖通常的意思是“理性的"，中国近代译著者在翻译时参考了

这种方法，而“，5加?4’这个词的词根山。”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”,

所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数.

⑴对于0.3是不是有理数呢？我们不妨设0.3=x，则10x0.3=10x，即3.3=10x，故3+0.3=10x，即

3+x=10x,解得x=；,由此得：无限循环小数有理数（填“是”或“不是”）；

（2）请仿照（1）的做法，将pg写成分数的形式（写出过程）；

⑶在「1，7,0,-9,0.43,16.21中，属于非负有理数的是.

222

【答案】（1）是（2）§（3）亍，0,Q43

【分析】（1）根据有理数的概念求解即可；（2）根据题目中给出的运算方法；

（3）根据有理数的概念求解即可.

【详解】（1）由解题过程可知，无限循环小数是有理数，故答案为：是；

22

（2）设0.6=x,贝110x0.6=10x，即6.6=10x,故6+0.6=10x，即6+x=10x,解得*=即0.6=:：

33

（3）在卜1，,,0，-9,0.43,164中，属于非负有理数的是彳，0,0.43,16.2,

22

故答案为：—,0,0,43,16.2.

【点睛】此题考查有理数的概念，无限循环小数转化为分数等知识，解题的关键是熟练掌握有理数的概念.

例2.（2022•江阴市期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：｛1,2,-3）,我们称之为集合，

其中的数称其为集合的元素.如果一个集合满足：当有理数“是集合的元素时，有理数-“+10也必是这个

集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合.例如集合（10,0｝就是一个和谐集合.

（1）请你判断集合｛I,2｝,｛-2,1,5,9,12｝是不是和谐集合？

（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）.

（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合.

【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可.

（2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）.

（3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合.

【解答】解：⑴若a=1,则-a+10=9不在集合｛1,2｝内，二｛1,2｝不是和谐集合.

V-2+12=10,1+9=10,5+5=10,-2,1,5,9,12｝是和谐集合.

（2）根据和谐集合的定义可知a+10-a=\0,只要集合中两个数之和为10即可，；1+9=2+8=3+7=4+6,

：.12,5,8｝和｛1,9,2,8,3,7｝是和谐集合.

（3）•••5+5=10,.,.要使素个数最少,则集合｛5｝,满足条件.

【点评】本题主要考查新定义，利用和谐集合的定义，只要确定集合元素之和等于10即可.

变式1.（2022•滨江区期末）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：｛1,2｝,｛I,4,

7,我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合

满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018-%也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，

例如｛2,2016｝就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M,且23117VM<23897,则该集

合总共的元素个数是（）

A.22B.23C.24D.25

【分析】根据题意可知对称集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2018,然后通过估算即可解答

本题.

【解答】解：：在对称集合中，如果一个元素为。，则另一个元素为2018-0,

二对称集合中的每一对对应元素的和为：”+2018-4=2018,2018x11=22198,2018x11.5=23207,2018x12

=24216,

又•.•一个对称集合所有元素之和为整数M,且23117cMV23897,

•••该集合总共的元素个数是11.5x2=23.故选：B.

【点评】本题考查有理数、是探究性问题，关键是明确什么是对称集合，集合中的各个数都是元素，明确

对称集合中的元素个数，在此还要应用到估算的知识.

变式2.（2022•山西月考）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用

逗号隔开，如：｛3,4｝,｛-3,6,8,18｝,其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只

要其中有一个元素小使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合.

例如：｛13,1｝,因为1+12=13,13恰好是这个集合的元素，所以｛13,1｝是对偶集合，例如:｛12,3.0）,

因为12+0=12,12恰好是这个集合的元素，所以｛12,3,0｝是对偶集合.在对偶集合中，若所有元素的和

为0,则称这个集合为完美对偶集合，例如：｛-2,0,2｝,因为-2+2=0,0恰好是这个集合的元素，所

以｛-2,0,2｝是对偶集合，又因为-2+0+2=0,所以这个集合是完美对偶集合.

（1）集合｛-4,8｝（填“是”或“不是”）对偶集合.

（2）集合｛—101,2｝是否是完美对偶集合？请说明理由.

【分析】（1）依据一个集合满足：如果一个集合满足：只要其中有一个元素a,使得"2也是这个集合的

元素，这样的集合就称为对偶集合，即可得到结论；

（2）根据在对偶集合中，若所有元素的和为0,则称这个集合为完美对偶集合，即可得到结论；

【解答】解：（1）因为-4+12=8,所以集合｛-4,8｝是对偶集合，故答案为：是：

（2）不是;理由如下:

因为-1[+12=10a,所以｛—2,10》是对偶集合,

又因为一1；+2+10#0,所以｛一弓，2,10》不是完美对偶集合；

【点评】本题主要考查了有理数，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算.

考点4、数轴的三要素及其画法

【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向,

从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，

依次表示1，2,3,...；从原点向左用类似的方法依次表示-1,-2,-3,....

例1.（2023秋•广东•七年级专题练习）下列说法正确的是（）

A.有原点、正方向的直线是数轴B.数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数

C.有些有理数不能在数轴上表示出来D.任何一个有理数都可以用数轴上的点表示

【答案】D

【分析】根据数轴的定义及意义，依次分析选项可得答案.

【详解】解：根据题意，依次分析选项可得，

A、根据数轴的概念，有原点、正方向且规定了单位的直线是数轴，A错误，不符合题意；

B.数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故选项B不符合题意；

C.；任意有理数都能在数轴上表示出来，故选项C不符合题意；

D、；任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，故选项D符合题意；故选：D.

【点睛】此题考查了运用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解并运用以上知识.

例2.（2023秋•吉林延边•七年级统考期末）下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（）

A.123456B--2-1012c--101234D--101234

【答案】C

【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度判断所给出的四个数轴哪个正确.

【详解】解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意；

B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意；

C、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意.

D、没有正方向，故此选项错误，不符合题意；故选：C.

【点睛】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.特别注意数轴的三

要素缺一不可.

变式1.（2023•河北衡水•二模）如图，P,M,N,。中有一个点在数轴/上，请借助直尺判断该点是（）

/P.V

——t'---------»*・N

01・

Q

A.PB.MC.ND.Q

【答案】C

【分析】根据数轴的定义即可解答.

【详解】解：由规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，结合图形即可得出点N在数轴上.故选C.

【点睛】本题考查数轴的定义.掌握规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴是解题关键.

变式2.（2022秋.陕西榆林.七年级校考阶段练习）下列说法：

①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；

③有理数焉在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点

其中正确的是（）

A.①②③④B.②③④C.③④D.④

【答案】D

【分析】①根据数轴的定义，可判断①，②数轴上的点与数的关系，可判断②，③根据实数与数轴的关系，

可判断③，④根据数轴与有理数的关系，可判断④

【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误；

②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故原说法错误；

③有理数焉在数轴上.可以表示出来，故原说法错误；

④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确；故选：D.

【点睛】本题主要考查了有理数，利用/数轴与有理数的关系，数轴与无理数的关系，熟练掌握规定了原

点、正方向、单位长度的宜线叫做数轴是解题的关键.

变式3.（2023秋•山西晋中•七年级统考期中）数学课上老师让同学们画出数轴，下列作图表示数轴正确的

是（）

[_____I_______|_____|________I»I||||

A-12345B--2-1012

1III1.IIIII.

C.-1-2012D,-2-I012

【答案】D

【分析】判断数轴画得正确的标准：必须体现数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.

【详解】解：A.画出的数轴，没有标出原点，故此选项不符合题意：

B.画出的数轴，没有标出正方向，故此选项不符合题意；

C.画出的数轴，数的位置标得不对，故此选项不符合题意

D.画出的数轴正确，故此选项符合题意.故选：D.

【点睛】本题考查数轴的知识，关键是掌握数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.

考点5、用数轴上的点与有理数的关系

【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系

①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；

②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示/

的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.

例1.（2023•广西贺州•统考一模）如图，数轴上点Q所表示的数可能是（）

_____IIII?IIII,

-4-3-2-10123

A.1.5B.2.6C.-0.7D.0.4

【答案】C

【分析】先根据数轴上。点的位置确定Q的取值范围，再根据每个选项中的数值进行判断即可.

【详解】解：由图可知：点。在T的右边，0的左边，...点。表示的数大于T，小于0,故选：C.

【点睛】本题考查的是数轴的特点，能根据数轴的特点确定出。的取值范围是解答此题的关键.

例2.（2023•山东淄博・统考一模）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm）,刻度尺上“0cm”

和1“3cm”分别对应数轴上的3和0,那么刻度尺上“3.6cm”对应数轴上的数为（）

876543210

1,111,111.

-4-3-2-101234

A.-0.4B.-0.6C.-1.6D.1.4

【答案】B

【分析】根据刻度尺上“3.6cm”在原点的左侧0.6的位置即可求解.

【详解】解：根据题意可知刻度尺上“3.6cm”在原点的左侧0.6的位置，

.•.刻度尺上“3.6cm”对应数轴上的数为-0.6,故选：B.

【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数形结合是解题的关键.

例3.（2022秋・江苏苏州•七年级统考期末）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面.

（1）若1表示的点与-1表示的点重合，则-2表示的点与数表示的点重合;

（2）若T表示的点与3表示的点重合，回答以下问题:①6表示的点与数表示的点重合;②若数轴上A、

8两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、8两点经折叠后重合，写出A、8两点表示的数是多少？

【答案】（1）2⑵①7；②点A表示-3,点B表示5

【分析】（1）先确定折痕为原点，即可得结论；（2）①先确定折痕：个=】，即可得结论；②设折痕为

点C,则AC=3C=4,根据左边减，右边加可得结论.

【详解】（1）解：若1表示的点与-1表示的点重合，则折痕为原点，

，-2表示的点与数2表示的点重合；故答案为：2；

（2）①若T表示的点与3表示的点重合，则折痕为和史=1,，lx2-6=T,

；.6表示的点与数-4表示的点重合；故答案为：-4；

②设折痕为点C,则AC=BC=4,•••点A表示的数为1一4=-3,点B表示的数为1+4=5.

【点睛】本题考查的是数轴上两点的距离，掌握数轴上两点距离以及数轴上有理数的表示是解题的关键.

变式I.（2022秋.广西七年级期中）如图，数轴上的点A、B分别表示1和2,点C在数轴上且到A和8的

距离相等，则点C表示的数是.

I111________

0ACB

【答案】1.5

【分析】根据数轴的特点解答即可.

【详解】解：•••数轴上的点A、8分别表示1和2,点C在数轴上且到A和B的距离相等，

.•.点C表示的数为1.5,故答案为：1.5.

【点睛】本题考查了数轴上对应的点，熟记概念是解题关键.

变式2.（2023秋・江西吉安•七年级统考期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示-2的点与表

示4的点重合，则3表示的点与表示的点重合.

I_____I___I________I____I______I_____I_____I_____I_____I»

-4-3-2-10I2345

【答案】-1

【分析】先根据已知条件确定对称点，然后再求出结论即可.

【详解】解：•••表示-2的点与表示4的点重合，

，折痕处所表示的数为：号.7+上4=1,二3表示的点与数T表示的点重合.故答案为：T.

【点睛】本题主要考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键.

变式3.（2022秋・湖南衡阳•七年级校考期末）数轴上点A,B,C分别表示数-1,m,T+加，下列说法正

确的是（）

A.点C一定在点A的右边B.点C一定在点A的左边

C.点C一定在点8的右边D.点C一定在点B的左边

【答案】D

【分析】由于不知道数，”的数值，所以不清楚点A与点C,点4与点8的位置关系，再根据点8,C分别

表示数"3-1+加即可判断.

【详解】解：：，〃的数值未知，.•.点A与点C,点A与点B的位置关系未知，

;点B,C分别表示数“，-\+m,即点8向左移动一个单位得到C,

二点C一定在点8的左边，故选：D.

【点睛】本题主要考查数轴，掌握在数轴上，右边的数总比左边大是解题关键.

考点6、利用数轴比较有理数的大小

【解题技巧】1）正方向上，离原点越远，数越大；

2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）.

注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。

例1.（2023秋•福建漳州•七年级统考期末）请写出一个大于-2且小于0的整数.

【答案】-1

【分析】根据有理数大小比较方法解答即可.

【详解】解：•••大于-2且小于0的整数是T.故答案为：T.

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键.

例2.（2023秋•湖北襄阳•七年级统考期末）点A、B在数轴上的位置如图所示：

AB

-5-4-3-2-10123456X

（1）点A表示的数是，点8表示的数是.

17

（2）在数轴上表示下列各数：0,-4-,-2,（3）把（1）（2）中的六个有理数用“<”号连接起来

17

【答案】（1）T,1；（2）见解析；（3）-4§<T<-2<0<l<].

【分析】（1）根据数轴即可得到答案；（2）在数轴上表示出各数即可得到答案；

（3）根据数轴上右边的数大于左边的数，即可得到答案.

【详解】（1）解：根据数轴可知，点A表示的数是-4,点8表示的数是1,故答案为：-4,1：

（2）解：在数轴上表示各数如下所示：

37

-叼4-2052

-I•，।।，I---------L——」--1---------

-5-4-3-2-10123456x

]7

（3）解：各数大小关系排列如下：-4-<^<-2<0<1<^.

32

【点睛】本题考查了数轴，解题关键是熟练掌握用数轴表示有理数，熟记数轴上右边的数大于左边的数.

变式I.（2023•广西贺州・统考二模）已知实数如”在数轴上的对应点的位置如图所示，则加n.（填

“<”、">，，或“=，，）

।111A

m01n

【答案】<

【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案.

【详解】解：加在〃的左边，故答案为：<.

【点睛】此题考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键.

变式2.（2022秋•江苏南京•七年级校考阶段练习）写出所有比-5大的非正整数：.

【答案】T,-3,-2,-1,0

【分析】在数轴上表示出-5,根据数轴的特点即可得出结论.

【详解】解：由如图所示数轴可知比-5大的非正整数有4-3,-2,-1,0,故答案为：-4,-3,-2,-1,0.

-5-4-3-2-101234

【点睛】本题主要考查了用数轴比较有理数的大小，正确画出数轴是解题的关键.

变式3.（2022秋•云南楚雄•七年级校考阶段练习）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“〈”连接.

—3,；,—1

【答案】数轴见解析，-3<-1<0<（<2.5

【分析】在数轴上表示出这些数，再根据数轴上左边的数总小于右边的数即可得出答案.

I

一1

【详解】解：如图所示：-3-I022.5由数轴可得：-3<-l<0<：<2.5.

-5Y-3-2012345

【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原

点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.

考点7、数轴上两点之间的距离

【解题技巧】在数轴上，如果点4对应的数是”,点B对应的数是b,则这两个点的距离公式为：

（差的绝对值）。在数轴上我们可以通过这个距离公式，利用绝对值来算点与点之间的距离。

在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左

右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好

绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。希望两种方法同学们都能够掌握。

例1.（2023•吉林长春・统考一模）在数轴上表示数-1和2023的两个点分别为点A和点B,则点A和点B

之间的距离为（）个单位.

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】C

【分析】由有理数的减法，数轴上两点之间的距离公式的几何意义求出点A和点3两点间的距离为2024个

单位.

【详解】:•表示数一1和2023的两个点分别为点A和点B,

.••点A和点8之间的距离为|一1一2023|=2024故选：C.

【点睛】本题综合考查了数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等知识点，重点掌握数轴的应用.

例2.（2023•浙江•七年级校考阶段练习）数轴上到数-3所表示的点的距离为7的点所表示的数是（）

A.-10B.4或一10C.4或-7D.Y或4

【答案】B

【分析】分两种情况，该点在-3的左边，该点在-3的右边，直接计算即可.

【详解】解：当该点在-3的左侧时，表示的数为：-3-7=-10,

当该点在-3的右侧时，表示的数为：-3+7=4,

二在数轴上到-3的点的距离是7的点表示的数为-10或4,故选：B.

【点睛】本题主要考查数轴，解决此题的关键是要注意到有两种情况，不要漏解.

变式1.（2022秋・广东广州•七年级校考期中）点A在数轴上，点A所对应的数用2〃表示，且点A到原点

的距离等于4,则a的值为（）

A.-2或1B.-2或2C.-2D.1

【答案】B

【分析】先求出点A表示的数是4或-4,结合题意列出方程2a=4或2a=-4,求出。的值即可.

【详解】解：•••点A到原点的距离等于4,.•.点A表示的数是4或T,

点A所对应的数用2a表示，，为=4或2a=-4,解得4=2或。=一2,故选：B.

【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间的距离的意义是解题的关键.

变式2.（2023•河北张家口•校考模拟预测）如图，在数轴上从左到右依次有A,B,C三点，若4?=1,点

A表示的数为“，点C表示的数为-2a-1,则线段BC的长为（）

ABC

-1----1---------------------1—►

。-2a-1

A.-aB.-3aC.-3a—1D.-3a-2

【答案】D

【分析】根据数轴上两点的之间即可得出答案.

【详解】解：♦；A3=1,点A表示的数为“，二点8表示的数为a+1,

•••点C表示的数为一2“一1,...线段的长为-2a-l-（a+l）=-3a—2,故选：D.

【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键.

考点8、数轴上的动点问题

【解题技巧】数轴上的动点问题是本节乃至本章的重难点内容，后面我们讲在专题18中重点介绍，本考点

中只对数轴中点的简单移动作一些基础的认识。

例1.（2022秋•江苏徐州•七年级校考阶段练习）一个点从数轴上表示-2的点开始，先向左移动5个单位长

度，再向右移动10个单位长度，那么终点表示的数是（）

A.-2B.-3C.3D.2

【答案】C

【分析】根据数轴的特点向左移动减，向右移动加，求解即可.

【详解】解：-2-5+10=3,故选：C.

【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的知识是解题的关键.

例2.（2022秋•贵州遵义•七年级校考阶段练习）在数轴上一个点移动了3个单位长度后到达了表示数T的

位置，则这个点原来所表示的数是（）

A.0B.-1或-2C.4或-2D.2或-4

【答案】D

【分析】设这个点原来所表示的数为x,根据题意可得：|x-（-1）|=3,然后进行计算即可解答.

【详解】解：设这个点原来所表示的数为x,由题意得：I无-（-1）1=3,1x+l|=3,「+1=±3,

;.x+l=3或x+l=-3,.,.》=2或:》:=7,.,•这个点原来所表示的数是2或T,故选：D.

【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键.

变式I.（2023春・河北承德•九年级统考阶段练习）如图，在数轴上，点A表示的数是6,将点4沿数轴向

左移动a（a>6）个单位长度得到点尸，则点P表示的数可能是（）

0A~^

A.0B.-1D.2

【答案】B

【分析】判断点P所在的大概位置，估计即可.

【详解】•••点4及示的数是6,将点A沿数轴向左移动个单位长度得到点P,

...点P在原点左边，即点尸表示的数为负数故选：B.

【点睛】本题考查本题考查的是数轴，关键是熟悉数轴上的点左减右加的知识点.

变式2.（2023秋•四川成都・七年级统考期末）如果点A是数轴上表示T的点，将点A在数轴上向右移动6

个单位长度到点8,则点8表示的数为.

【答案】2

【分析】根据向右移加，向左移减进行求解即可.

【详解】解：•点A表示的数是-4,向右移动6个单位长度到点8,

，点8表示的数为：-4+6=2.故答案为.2.

【点睛】本题考查数轴和数轴卜一两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离的计算.

变式3.（2022秋•福建漳州•七年级统考期末）在数轴上，把原点记作点O,表示数1的点记作点4对于

数轴上任意一点P（不与点O,点A重合），将线段PA与线段尸。的长度之比定义为点尸的特征值，记作P，

即户=笥，例如：当点尸是线段的中点时，因为PO=P4,所以户=1.若数轴上的点P满足OP=2Q4,

则户的值是.

OA

I1111A

-2-1012

【答案】5或5

【分析】首先分类讨论?的位置，然后根据新定义，直接代值求解即可.

-2-1012

因为0P=20A,所以。在2或一2处，所以PO=2,尸A=3或1所以户=今=/或|故答案为：，或g

【点睛】此题考查坐标轴上的动点问题，解题关键是分类讨论可能在的位置.

分层练一练

A级（基础过关）

1.（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级校考阶段练习）下列各数中，负有理数有（）个

—1,2.5,+—,0»~~冗，120,—1.732,—

37

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【分析】根据负有理数的分为负整数和负分数，逐一进行判断即可得到答案.

2

【详解】解：负有理数有-1、-1.732、共3个，故选C.

【点睛】本题考查了有理数分类，解题关键是掌握负有理数包括负整数和负分数.

2.（2022秋•云南楚雄•七年级校考期末）下列说法正确的是（）

A.0不是正数，不是负数，也不是整数B.正整数与负整数包括所有的整数

C.-0.6是分数，负数，也是有理数D.没有最小的有理数，也没有最小的自然数

【答案】C

【分析】根据整数，可以判断A,B,根据有理数的意义，可以判断C,D.

【详解】解：A,0不是正数也不是复数，0是正数，故4错误；B,正整数和负整数不包括0,故B错误;

C,-0.6是分数，负数，有理数，故C正确；D,0是最小的自然数，故。错误.故选：C.

【点睛】本题考查的知识点有：正数，负数，整数，分数，有理数，