中考数学模拟试题汇编 二次函数全套

【文库独家】二次函数一、选择题1．(浙江镇江·模拟)已知点E（2，1）在二次函数（m为常数）的图像上，则点A关于图像对称轴的对称点坐标是（）A．（4，1）B．（5，1）C．（6，1）D．（7，1）答案：C2．(浙江金华东区·4月诊断检测一条开口向上的抛物线的顶点坐标是（－1，2），则它有（）A．最大值1 B．最大值－1C．最小值2 D．最小值－2答案：C3．(浙江杭州萧山区·模拟)设函数y=x2+2kx+k﹣1（k为常数），下列说法正确的是（）A．对任意实数k，函数与x轴都没有交点B．存在实数n，满足当x≥n时，函数y的值都随x的增大而减小C．k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条直线上D．对任意实数k，抛物线y=x2+2kx+k﹣1都必定经过唯一定点【考点】二次函数的性质．【分析】A、计算出△，根据△的值进行判断；B、根据二次函数的性质即可判断；C、得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k得y=﹣x2﹣x﹣1，即可判断；D、令k=1和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证即可；【解答】解：A、∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）=4k2﹣4k+4=4（k﹣）2+3＞0，∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误；B、∵a=1＞0，抛物线的对称轴x=﹣=﹣k，∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小，即当x＜k时，函数y的值都随x的增大而减小，当n=﹣k时，当x≥n时，函数y的值都随x的增大而增大，故B错误；C、∵y=x2+2kx+k﹣1=（x+k）2﹣k2+k﹣1，∴抛物线的顶点为（﹣k，﹣k2+k﹣1），∴，消去k得，y=﹣x2﹣x﹣1由此可见，不论k取任何实数，抛物线的顶点都满足函数y=﹣x2﹣x﹣1，即在二次函数y=﹣x2﹣x﹣1的图象上．故C错误；D、令k=1和k=0，得到方程组：，解得，将代入x2+2kx+k﹣1得，﹣k+k﹣1=﹣，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点（﹣，﹣），故D正确．故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉函数和函数方程的关系、函数的性质是解题的关键．4、（2016泰安一模）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a＜0，此选项错误；B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，而y=﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣=﹣，故此选项错误；C、y=﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误；D、y=﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确．故选D．5.（2016枣庄41中一模）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选D．6、（2016枣庄41中一模）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+3，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选A．7．（天津北辰区·一摸）已知抛物线（是常数），点（，），（，）在抛物线上，若，，则下列大小比较正确的是（）.（A）（B）（C）（D）答案：A8．（天津南开区·二模）下列图形中阴影部分的面积相等的是（

）A．②③ B．③④ C．①② D．①④考点：二次函数的图像及其性质反比例函数与一次函数综合答案：A试题解析：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=×2×2=2；③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=×4=2；④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1；②③的面积相等，故选：A．9．（天津南开区·二模）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0;②2a+b=0;③当m≠1时，a+b＞am2+bm;④a﹣b+c＞0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（

）A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤考点：二次函数的图像及其性质答案：D试题解析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为直线x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选：D．10．（天津市和平区·一模）将抛物线C：y=x2+3x﹣10，将抛物线C平移到C′．若两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（）A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】主要是找一个点，经过平移后这个点与直线x=1对称．抛物线C与y轴的交点为A（0，﹣10），与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．【解答】解：∵抛物线C：y=x2+3x﹣10=，∴抛物线对称轴为x=﹣．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣10）．则与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．故选C．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11．（天津市南开区·一模）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a﹣b=0；③a+b+c=0；④5a＜b．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x=﹣=﹣1可以判定②；由图象与x轴有交点，对称轴为x=﹣=﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，即可判定①；由x=1时y=0，即可判定③．把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理即可判定④．【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x=﹣=﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，正确；②∵对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a=b，∴2a﹣b=0，正确；③∵抛物线的一个交点为（﹣3，））对称轴为x=﹣1，∴另一个交点为（1，0），∴当x=1时，y=a+b+c=0，正确；④把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理得5a﹣b=﹣c＜0，即5a＜b，正确．故正确的为①②③④，故选D．【点评】解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．12．（天津五区县·一模）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＜0；③a=c﹣2；④方程ax2+bx+c=0的根为﹣1．其中正确的结论为（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①根据二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即b2﹣4ac＞0，据此判断即可．②根据二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，可得与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，所以x=1时，y＜0，据此判断即可．③首先根据x=﹣，可得b=2a，所以顶点的纵坐标是=2，据此判断即可．④根据x=﹣1时，y≠0，所以方程ax2+bx+c=0的根为﹣1这种说法不正确，据此判断即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴结论①正确；∵二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴结论②正确；∵x=﹣，∴b=2a，∴顶点的纵坐标是=2，∴a=c﹣2，∴结论③正确；∵x=﹣1时，y≠0，∴方程ax2+bx+c=0的根为﹣1这种说法不正确，∴结论④不正确．∴正确的结论为：①②③．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．yx13.(四川峨眉·二模）yx（，、、为常数）的图象如图所示，下列个结论：①；②；③；④；⑤（为常数,且）.其中正确的结论有个个个个答案：B14．(重庆巴蜀·一模）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x=1，且经过点（0，2）．有下列结论：①ac＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+c＜2﹣b；④a＜﹣；⑤x=﹣5和x=7时函数值相等．其中错误的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＞0，所以ac＜0；由于抛物线与x轴有2个交点，所以b2﹣4ac＞0；根据抛物线的对称轴为直线x=1，则x=1时，y最大，所以a+b+c＞2，即a+c＞2﹣b；由于x=﹣2时，y＜0，所以4a﹣2b+c＜0，由于﹣=1，c=2，则4a+4a+2＜0，所以a＜﹣；由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的对称性得到x=﹣5和x=7时函数值相等．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=1时，y最大，即a+b+c＞2，∴a+c＞2﹣b，所以③错误；∵x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，而﹣=1，c=2，∴4a+4a+2＜0，∴a＜﹣，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=﹣5和x=7时函数值相等，所以⑤正确．所以①③两个，故选B．15．(新疆乌鲁木齐九十八中·一模)若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）A．05 B．01 C．﹣45 D．﹣41【考点】二次函数的三种形式．【分析】把y=（x﹣2）2+k化为一般式，根据对应相等得出b，k的值．【解答】解：∵y=（x﹣2）2+k=x2﹣4x+4+k，∴x2+bx+5=x2﹣4x+4+k，∴b=﹣4，4+k=5，∴k=1．故选D．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，把一般式化为顶点式，或把顶点式化为一般式是解题的关键．16．(云南省曲靖市罗平县·二模)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a﹣b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．17．(云南省·二模)已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（）A．开口方向向上，y有最小值是﹣2B．抛物线与x轴有两个交点C．顶点坐标是（﹣1，﹣2）D．当x＜1时，y随x增大而增大【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数解析式化为顶点式，判断抛物线的开口方向，计算出对称轴顶点坐标以及增减性判断得出答案即可．【解答】解：y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，a=﹣1，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣2），△=4﹣12=﹣8＜0，抛物线与x轴没有交点，当x＜1时，y随x的增大而增大．故选：D．【点评】此题考查二次函数的性质，正确判定开口方向，求得对称轴与顶点坐标是解决问题的关键．二、填空题1．(浙江杭州萧山区·模拟)已知二次函数y=x2+bx+c（其中b，c为常数，c＞0）的顶点恰为函数y=2x和y=的其中一个交点．则当a2+ab+c＞2a＞时，a的取值范围是﹣1＜a＜0或a＞3．【考点】二次函数与不等式（组）．【专题】数形结合．【分析】只需先求出抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与直线y=2x的交点，然后结合函数图象就可解决问题．【解答】解：解方程组，得，．①当抛物线y=x2+bx+c顶点为（1，2）时，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2=x2﹣2x+3．解方程组，得，．结合图象可得：当a2+ab+c＞2a＞时，a的取值范围是﹣1＜a＜0或a＞3；②当抛物线y=x2+bx+c顶点为（﹣1，﹣2）时，抛物线的解析式为y=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1．∴c=﹣1＜0，与条件c＞0矛盾，故舍去．故答案为﹣1＜a＜0或a＞3．【点评】本题主要考查了直线与反比例函数图象的交点、抛物线的顶点坐标公式、直线与抛物线的交点等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键．2．（绍兴市浣纱初中等六校·5月联考模拟）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中CD的长为▲．答案：3.（绍兴市浣纱初中等六校·5月联考模拟）已知二次函数（其中b，c为常数，c＞0）的顶点恰为函数和的其中一个交点。则当＞＞时，a的取值范围是▲。答案：a＞3或-1＜a＜0;4、（2016枣庄41中一模）二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是5．【考点】二次函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．【解答】解：y=x2﹣2x+6=x2﹣2x+1+5=（x﹣1）2+5，可见，二次函数的最小值为5．故答案为：5．5、2016枣庄41中一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】直接根据二次函数的图象即可得出结论．【解答】解：∵由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方，∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．6.（天津市和平区·一模）某飞机着陆滑行的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为：s=60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行600米才能停止．【考点】二次函数的应用．【分析】飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．【解答】解：∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值．当t=﹣=20时，s最大值==600，即飞机着陆后滑行600米才能停止．故答案为：600．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．7.（天津市南开区·一模）若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点．符合条件的一个二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+5．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】由于二次函数的图象开口向下，所以二次项系数是负数，而图象还经过（2，﹣3）点，由此即可确定这样的函数解析式不唯一．【解答】解：∵若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点，∴y=﹣x2﹣2x+5符合要求．答案不唯一．例如：y=﹣x2﹣2x+5．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键根据图象的性质确定解析式的各项系数．8．(四川峨眉·二模）在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标相等的点称为“影子点”．例如点，，等．（1）若点是反比例函数（为常数，）图象上的“影子点”，则▲．（2）若二次函数（、是常数，）图象上存在两个不同的“影子点”，、，且满足，，令，则的取值范围是：▲．答案：9．(云南省·一模)在二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中：①b2﹣4ac＜0；②＞0；③abc＞0；④a﹣b﹣c＞0，说法正确的是②③④（填序号）．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①根据抛物线与x轴交点个数可判断；②根据抛物线对称轴位置可判断；③根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点可判断；④由③知a＞0，b＜0，c＜0，根据实数运算可判断．【解答】解：由图可知，抛物线与x轴有2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故①错误；对称轴在y轴右侧，则x=﹣＞0，故②正确；抛物线开口向上，则a＞0，而对称轴在y轴右侧，则a、b异号，所以b＜0，其与y轴的交点（0，c）位于y轴的负半轴，则c＜0，所以abc＞0，故③正确；∵a＞0，b＜0，c＜0，∴a﹣b﹣c＞0，故④正确；故答案为：②③④．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．三、解答题1．(浙江杭州萧山区·模拟)已知y是关于x的函数，且x，y满足方程组，（1）求函数y的表达式；（2）若点P的坐标为（m，0），求以P为圆心、1为半径的圆与函数y的图象有交点时，m的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）把a作为已知数，分别得到x、y和a的数量关系即可求出函数y的表达式；（2）易求点A和点B的坐标，当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，求出此时P的横坐标即可得到函数y的图象有交点时，m的取值范围．【解答】解：（1），①×3，得3x+9y=12﹣3a③，②+③，得4x+8y=12，即x+2y=3，得，；（2）当y=0时，x=3，即函数y的图象与x轴交于点A（3，0），当x=0时，y=，即函数y的图象与y轴交于点B（0，），当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，此时∠PCA=90°∴∠PCA=∠BOA，且∠BAO=∠PAC，∴△ABO∽△APC，∴，即，∴AC=2，∴PA=此时，P的横坐标为3﹣或3+，∴当圆P与直线y有交点时，3﹣≤m≤3+．【点评】本题考查直线和圆的位置关系、一次函数和坐标轴的交点、相似三角形的判定和性质以及切线的性质，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题．2．(浙江杭州萧山区·模拟)设函数y=（kx﹣3）（x+1）（其中k为常数）．（1）当k=﹣2时，函数y存在最值吗？若存在，请求出这个最值．（2）在x＞0时，要使函数y的值随x的增大而减小，求k应满足的条件．（3）若函数y的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求能使△ABC为等腰三角形的k的值．（分母保留根号，不必化简）【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值．【分析】（1）把k=﹣2代入抛物线解析式得到y=﹣2x2﹣5x﹣3，根据顶点坐标公式即可解决．（2）分两种情形讨论当k=0时，y=﹣3x﹣3为一次函数，k=﹣3＜0，则当x＞0时，y随x的增大而减小；当k≠0时，y=（kx﹣3）（x+1）=kx2+（k﹣3）x﹣3为二次函数，由不等式组解决．（3）分三种情形讨论：当k＞0时①AC=BC，②AC=AB，③AB=BC分别列出方程解决；当k＜0时，B只能在A的左侧，只有AC=AB列出方程解决，当k=0时，不合题意．【解答】解：（1）当k=﹣2时，函数y=（﹣2x﹣3）（x+1）=﹣（2x+3）（x+1）=﹣2x2﹣5x﹣3，函数为二次函数，且二次项系数小于0，故函数存在最大值，当x=﹣=时，y最大==，（2）当k=0时，y=﹣3x﹣3为一次函数，k=﹣3＜0，则当x＞0时，y随x的增大而减小；当k≠0时，y=（kx﹣3）（x+1）=kx2+（k﹣3）x﹣3为二次函数，其对称轴为直线要使当x＞0时，y随x的增大而减小，则抛物线的开口必定朝下，且对称轴不在y轴的右边，故得，，解得k＜0综上所述，k应满足的条件是：k≤0．（3）由题意得，k≠0，函数为二次函数，由所给的抛物线解析式可得A，C为定值A（﹣1，0），C（0，﹣3）则，而，当k＞0时①AC=BC，则有，可得k=3，②AC=AB，则有，可得，③AB=BC，则有，可得，当k＜0时，B只能在A的左侧，只有AC=AB，则有，可得，当k=0时函数为一次函数，不合题意．综上所述，使△ABC为等腰三角形的k的值为3或或或﹣．【点评】本题考查二次函数的有关知识、一次函数的有关知识，掌握函数的性质是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．3．(浙江杭州萧山区·模拟)如图，△ABC和△DEF均是边长为4的等边三角形，△DEF的顶点D为△ABC的一边BC的中点，△DEF绕点D旋转，且边DF、DE始终分别交△ABC的边AB、AC于点H、G，图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称．连结HH′、HG、GG′、H′G′，其中HH′、GG′分别交BC于点I、J．（1）求证：△DHB∽△GDC；（2）设CG=x，四边形HH′G′G的面积为y，①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围．②求当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由等边三角形的特点得到相等关系，即可；（2）由相似三角形得到，再结合对称，表示出相关的线段，四边形HH′G′G的面积为y求出即可．【解答】证明：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠BHD+∠BDH=120°，在正△DEF中，∠EDF=60°，∴∠GDC+∠BDH=120°，∴∠BHD=∠GDC，∴△DHB∽△GDC，（2）①∵D为BC的中点，∴BD=CD=2，由△DHB∽△GDC，∴，即：，∴BH=，∵H，H′和G，G′关于BC对称，∴HH′⊥BC，GG′⊥BC，∴在RT△BHI中，BI=BH=，HI=BH=，在RT△CGJ中，CJ=CG=，GJ=CG=，∴HH′=2HI=，GG’=2GJ=x，IJ=4﹣﹣，∴y=（+x）（4﹣﹣）（1≤x≤4）②由①得，y=﹣（+x）2+2（+x），设=a，得y=﹣a2+2a，当a=4时，y最大=4，此时=4，解得x=2．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查相似三角形的性质和判定以及对称的性质，用x表示线段是解决本题的关键，也是难点．4.(浙江丽水·模拟)（本题10分）如图，足球运动员在O处抛出一球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求篮球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

（2）足球第一次落地距守门员多少米？（取）

（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）（第4题图）解：（1）由题意,该函数的顶点为（6,4）且过（0,1）设二次函数的解析式把（0,1）代入的36a+4=1,所以,这个函数解析式为（2）由题得，令y=0，则，解得x1=-1.x2=13,由图得，足球第一次落地距守门员13米（3）由题意得，两个函数的形状相同，且第二段抛物线的最高点为2，所以设第二段抛物线设为，把（13,0）代入函数得m1=13-5=8(舍去),m2=13+5=18则函数解析式为,令y=0,得x1=18-5=13,x2=18+5=23,23-6=17,所以运动员还需走17米5．(浙江金华东区·4月诊断检测（本题10分）为丰富农民收入来源，某区在多个乡镇试点推广大棚草莓的种植，并给予每亩地每年发放补贴150元补贴.年初，种植户蒋大伯根据以往经验，考虑各种因素，预计本年每亩的草莓销售收入为2000元，以及每亩种植成本y(元)与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象，求出y与x之间的函数关系式；第5题图（2）根据预计情况，求蒋大伯今年种植总收入w(元)与种植面积x（亩）之间的函数关系式.（总收入=销售收入－种植成本+种植补贴）.第5题图答案：（1）(4分)（2）销售收入：2000x；种植成本：；种植补贴：150x.w.（6分）6.（绍兴市浣纱初中等六校·5月联考模拟）“绿色出行，低碳健身”已成为广大市民的共识．某旅游景点新增了一个公共自行车停车场，6：00至18：00市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地．林华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y值表示7：00时的存量，x=2时的y值表示8：00时的存量…依此类推．他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．时段x还车数（辆）借车数（辆）存量y（辆）6：00-7：0014551007：00-8：0024311n……………根据所给图表信息，解决下列问题：（1）m=▲，n=▲（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；（3）已知9：00～10：O0这个时段的还车数比借车数的3倍少4，求此时段的借车数．解：(1）m=60，n=132，（2）n=100+43-11=132，设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（1，100），（2，132）、（0，60）代入得a+b+c=1004a+2b+c=132c=60，解得a=-4b=44c=60，所以二次函数的解析式为y=-4x2+44x+60（x为1-12的整数）；（3）设9：00～10：O0这个时段的借车数为x辆，则还车数为（3x-4）辆，把x=3代入y=-4x2+44x+60得y=-4×32+44×3+60=156，把x=4代入y=-4x2+44x+60得y=-4×42+44×4+60=172，即此时段的存量为172，所以156-x+（3x-4）=172，解得x=10，答：此时段借出自行车10辆．7.（绍兴市浣纱初中等六校·5月联考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90o，得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t，0）.（1）当t=4时，求直线AB的解析式；（2）当t>0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；（3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.··yOAx备用图MyOCABxD解：（1）当t=4时，B(4,0)设直线AB的解析式为y=kx+b.把A(0,6)，B(4,0)代入得：eq\b\lc\{(\a\al(b=6,4k+b=0)),解得：eq\b\lc\{(\a\al(k=－EQ\F(3,2),b=6)),∴直线AB的解析式为：y=－EQ\F(3,2)x+6.(2)过点C作CE⊥x轴于点EyOCABxDE由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABOyOCABxDE∴，∴BE=EQ\F(1,2)AO=3，CE=EQ\F(1,2)OB=EQ\F(t,2)，∴点C的坐标为(t+3，EQ\F(t,2)).S梯形AOEC=EQ\F(1,2)OE·(AO+EC)=EQ\F(1,2)(t+3)(6+EQ\F(t,2))=EQ\F(1,4)t2+EQ\F(15,4)t+9，S△AOB=EQ\F(1,2)AO·OB=EQ\F(1,2)×6·t=3t，S△BEC=EQ\F(1,2)BE·CE=EQ\F(1,2)×3×EQ\F(t,2)=EQ\F(3,4)t，∴S△ABC=S梯形AOEC－S△AOB－S△BEC=EQ\F(1,4)t2+EQ\F(15,4)t+9－3t－EQ\F(3,4)t=EQ\F(1,4)t2+9.yOCABxyOCABxDE①当t≥0时.Ⅰ.若AD＝BD.又∵BD∥y轴∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，∴∠OAB=∠BAD.又∵∠AOB=∠ABC，∴△ABO∽△ACB，∴，∴EQ\F(t,6)=EQ\F(1,2)，yOCABDEHyOCABDEHGxⅡ.若AB＝AD.延长AB与CE交于点G，又∵BD∥CG∴AG＝AC过点A画AH⊥CG于H．∴CH＝HG＝EQ\F(1,2)CG由△AOB∽△GEB，得EQ\F(GE,BE)＝EQ\F(AO,OB)，∴GE=EQ\F(18,t).又∵HE＝AO＝６，CE＝EQ\F(t,2)∴EQ\F(18,t)＋６＝EQ\F(1,2)×（EQ\F(t,2)＋EQ\F(18,t)）yOCABxDyOCABxDEF解得：t=12±6EQ\r(,5).因为t≥0，所以t=12＋6EQ\r(,5)，即B(12＋6EQ\r(,5)，0).Ⅲ.由已知条件可知，当0≤t<12时，∠ADB为钝角，故BD≠AB.当t≥12时，BD≤CE<BC<AB.∴当t≥0时，不存在BD＝AB的情况.②当－3≤t<0时，如图，∠DAB是钝角.设AD=AB，过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F.可求得点C的坐标为(t+3，EQ\F(t,2))，∴CF=OE=t+3，AF=6－EQ\F(t,2)，由BD∥y轴，AB=AD得，∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB∴∠BAO=∠FAC，又∵∠AOB=∠AFC=90°，∴△AOB∽△AFC，∴，∴，∴t2-24t-36=0解得：t=12±6EQ\r(,5).因为－3≤t<0，所以t=12－6EQ\r(,5)，即B(12－6EQ\r(,5)，0).AOxyCBDEF③当t<－3时，如图，∠ABDAOxyCBDEF过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，可求得点C的坐标为(t+3，EQ\F(t,2))，∴CF=－(t+3)，AF=6－EQ\F(t,2)，∵AB=BD，∴∠D=∠BAD.又∵BD∥y轴，∴∠D=∠CAF，∴∠BAC=∠CAF.又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，∴△ABC≌△AFC，∴AF＝AB，CF=BC，∴AF=2CF，即6－EQ\F(t,2)=－2(t+3)，解得：t=－8，即B(－8，0).综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为：B1(3，0)，B2(12＋6EQ\r(,5)，0)，B3(12－6EQ\r(,5)，0)，B4(－8，0).8.（浙江镇江·模拟)（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴、y轴相交于A、B两点，二次函数的图像经过点A．（1）试证明二次函数的图像与x轴有两个交点；（2）若二次函数图像的顶点D在直线AB上，求m，n的值；（3）设二次函数的图像与x轴的另一个交点为点C，顶点D关于x轴的对称点设为点E，以AE，AC为邻边作平行四边形EACF，顶点F能否在该二次函数的图像上？如果在，求出这个二次函数的表达式；如果不在，请说明理由？（1）A（﹣3，0），B（0，﹣3），二次函数的图像经过点C（-6，18-n），则n=3m﹣9，即.∵==，又，∴，则二次函数的图像与x轴有两个交点；（2）二次函数，即顶点坐标为（，），因为二次函数图像的顶点在直线AB上，所以，解得：，，则，；（3）抛物线过点B（0，-3），则m=2此时函数关系式为，易证点A在抛物线上.设点E的横坐标为t，则（-3+1）（t+1）=∴，求得点E的坐标为（，），则直线AE对应的函数关系式:，求得点P（-1，）.9、（2016齐河三模）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．AAPxyKO图1答案：（1）四边形OKPA是正方形．

证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，

∴PA⊥OA，PK⊥OK．

∴∠PAO=∠OKP=90°．

又∵∠AOK=90°，

∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．

∴四边形OKPA是矩形．

又∵AP=KP，

∴四边形OKPA是正方形．（2分）（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．过点P作PG⊥BC于G．∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC．∴△PBC为等边三角形．在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=．sin∠PBG=，即．解之得：x=±2（负值舍去）．∴

PG=，PA=BC=2．易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．∴

A（0，），B（1，0）

C（3，0）．设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．据题意得：解之得：a=，

b=，

c=．∴二次函数关系式为：．②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：

解之得：u=，

v=．∴直线BP的解析式为：．过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：．解方程组：得：

；

．过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：．

∴0=．

∴．∴直线CM的解析式为：．解方程组：得：

；

．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．解法二：∵，∴A（0，），C（3，0）显然满足条件．延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴．∴点M的纵坐标为．又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．∴点M（4，）符合要求．点（7，）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴．∴点M的纵坐标为．即．解得：（舍），．∴点M的坐标为（4，）．点（7，）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．10、2016青岛一模）如图，一座抛物线型拱桥，桥面CD与水面平行，在正常水位时桥下水面宽OA为30米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到OC的水平距离和它到水面OA的距离都为5米．（1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；（2）求在正常水位时桥面CD距离水面的高度；（3）一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计）．若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设抛物线解析式为：y=ax2+bx，将点B（5，5）、点A（30，0）代入求得a、b的值即可得抛物线解析式；（2）将抛物线解析式配方可得其最大值，即最大高度；（3）使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥则y=7，求得x的值，即可的货箱的最大宽度．【解答】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：y=ax2+bx，将点B（5，5）、点A（30，0）代入，得：，解得：．故抛物线解析式为：y=﹣x2+x；（2）∵y=﹣x2+x=﹣（x﹣15）2+9，∴当x=15时，y取得最大值，最大值为9，故在正常水位时桥面CD距离水面的高度为9米；（3）根据题意，当y=7时，有﹣x2+x=7，解得：x1=15+5，x2=15﹣5，则货箱最宽为：15+5﹣（15﹣5）=10米．答：若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为10米．11、（2016青岛一模）问题情境：我们知道若一个矩形的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？探究方法：用两条直角边分别为a、b的四个全等的直角三角形，可以拼成一个正方形，若a≠b，可以拼成如图①的正方形，从而得到a2+b2，即a2+b2＞2ab；若a=b，可以拼成如图②的正方形，从而得到a2+b2，即a2+b2=2ab．于是我们可以得到结论：a，b为正数，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论．∵（a﹣b）2﹣2ab+b2≥0，a2+b2≥2ab，∴对于任意实数a，b，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．仿照上面的方法，对于正数a，b试比较a+b和2的大小关系．类比应用利用上面所得到的结论，完成填空：（1）x2+≥2x•，代数式x2+有最小值为2．（2）当x＞0时，x+≥2，代数式x+有最小值为6．（3）当x＞2时，x+≥2+2，代数式x+有最小值为2+2．问题解决：若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论？【考点】二次函数综合题．【分析】探究方法：仿照给定的方法，即可得出a+b≥2这一结论；类比应用：（1）根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；（2）根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；（3）代数式中先﹣2再+2，根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；问题解决：设该矩形的长为a，宽为b（a≥b＞0），根据a+b≥2，结合矩形的周长和面积公式，即可得出结论．【解答】解：探究方法：∵当a，b均为正数时，=a+b﹣2≥0，∴a+b≥2．类比应用：（1）结合探究方法中得出的结论可知：x2+≥2x•=2，代数式x2+有最小值为2．故答案为：2x•；小；2．（2）结合探究方法中得出的结论可知：当x＞0时，x+≥2=6，代数式x+有最小值为6．故答案为：2；小；6．（3）结合探究方法中得出的结论可知：当x＞2时，x+≥2+2=2+2，代数式x+有最小值为2+2．故答案为：2+2；小；2+2．问题解决：设该矩形的长为a，宽为b（a≥b＞0），根据题意知：周长C=2（a+b）≥4=4，且当a=b时，代数式2（a+b）取得最小值为4，此时a=b=．故若一个矩形的面积固定为n，它的周长是有最小值，周长的最小值为4，此时矩形的长和宽均为．12、（2016泰安一模）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）易得c=3，故设抛物线解析式为y=ax2+bx+3，根据抛物线所过的三点的坐标，可得方程组，解可得a、b的值，即可得解析式；（2）易由顶点坐标公式得顶点坐标，根据图形间的关系可得四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE，代入数值可得答案；（3）根据题意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且，即可判断出两三角形相似．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0）根据题意，得，解得．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图，设该抛物线对称轴是DF，连接DE、BD．过点B作BG⊥DF于点G．由顶点坐标公式得顶点坐标为D（1，4）设对称轴与x轴的交点为F∴四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE=AO•BO+（BO+DF）•OF+EF•DF=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9；（3）相似，如图，BD=；∴BE=DE=∴BD2+BE2=20，DE2=20即：BD2+BE2=DE2，所以△BDE是直角三角形∴∠AOB=∠DBE=90°，且，∴△AOB∽△DBE．13、（2016枣庄41中一模）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x销售玩具获得利润w（元）﹣10x2+1300x﹣30000（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【专题】优选方案问题．【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）×10=1000﹣10x，利润=（1000﹣10x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．【解答】解：（1）销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x销售玩具获得利润w（元）﹣10x2+1300x﹣30000（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（3）根据题意得解之得：44≤x≤46，w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，∴当44≤x≤46时，w随x增大而增大．∴当x=46时，W最大值=8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．14、（2016枣庄41中一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由点B的坐标为（3，0），OB=OC，即可求得点C的坐标，又由tan∠ACO=，即可求得点A的坐标，然后设两点式y=a（x+1）（x﹣3），将点C代入，即可求得这个二次函数的解析式；（2）分别从当直线MN在x轴上方时与当直线MN在x轴下方时去分析，然后由所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上，即可求得点的坐标，又由点在二次函数的图象上，即可求得该圆的半径长度；（3）首先过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，然后求得点G的坐与直线AG得方程，然后由S△AGP=S△APQ+S△GPQ=PQ•（G横坐标﹣A横坐标），利用二次函数的最值问题，即可求得此时点P的坐标和△AGP的最大面积．【解答】解：（1）由OC=OB=3，可知点C坐标是（0，﹣3），连接AC，在Rt△AOC中，∵tan∠ACO=，∴OA=OC×tan∠ACO=3×=1，故A（﹣1，0），…设这个二次函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入得：﹣3=a（0+1）（0﹣3），解得：a=1，∴这个二次函数的表达式为：y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．…（2）①当直线MN在x轴上方时，设所求圆的半径为R（R＞0），设M在N的左侧，∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上，∴N（R+1，R）代入y=x2﹣2x﹣3中得：R=（R+1）2﹣2（R+1）﹣3，解得R=．…②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为r（r＞0），由①可知N（r+1，﹣r），代入抛物线方程y=x2﹣2x﹣3，可得﹣r=（r+1）2﹣2（r+1）﹣3，解得：r=．…（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，把G（2，y）代入抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3，得G（2，﹣3）．…由A（﹣1，0）可得直线AG的方程为：y=﹣x﹣1，…设P（x，x2﹣2x﹣3），则Q（x，﹣x﹣1），∴PQ=﹣x2+x+2，S△AGP=S△APQ+S△GPQ=PQ•（G横坐标﹣A横坐标）=（﹣x2+x+2）×3=﹣（x﹣）2+，…当x=时，△APG的面积最大，…此时P点的坐标为（，﹣），△APG的面积最大值为．…15．（天津北辰区·一摸）（本小题10分）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点（，），点（，）.沿轴向右平移Rt△，得Rt△，直线与或的延长线相交于点.设（，）（），以点，，，为顶点的四边形面积记为.（Ⅰ）求与的函数关系式；（Ⅱ）用含（）的式子表示；（Ⅲ）当，求点的坐标（直接写出结果）.BOBOA图（2）图（1）BOAD第（15）题.解：（Ⅰ）当点与点不重合时，∵∥，∴△∽△.∴.图（1）BOAD图（1）BOAD有.∴.即.如图（2），点D在BA延长线上，有.∴.即.当点与点重合时，与重合，此时，，.∴与的关系是：.（Ⅱ）①如图（1），当时，点D在AB上，图（2）B图（2）BOAD∴把，代入，得.∴（）.②如图（2），当时，点D在BA延长线上，∵平移△得到△，∴，.∵∴.把代入，得.综上，（Ⅲ）D（，）.把代入，得，，舍.把，代入，得.代入，得(舍)，（舍）.16．（天津北辰区·一摸）已知抛物线（，，是常数，），与轴交于点，，与轴交于点，点为抛物线顶点.（Ⅰ）若点（，），（，），求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点（，），且△是直角三角形，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若抛物线与直线相交于、两点.①用含的式子表示点的坐标；②当∥轴时，求抛物线的解析式.解：（Ⅰ）∵抛物线与交于点（，），（，），∴根据对称性，有.∴.把（，）代入，有.得.∴.（Ⅱ）∵抛物线与轴交于A，B两点，顶点M在直线上，∴.由，得.∴.设对称轴交轴于点，则.∵△是直角三角形，∴.∴.解得，.把（，）代入，有.解得，，.∴或.（Ⅲ）①∵点（，）在直线上，∴.解得，.此时，=.∴C（0，）.由，即.解得.∴，.把代入，得.∴D（，）.②∵∥轴，∴点C与点D关于直线对称.∴.∴.∵.∴.∴抛物线的解析式为.MM-2DCOM-2BAOB17．（天津南开区·二模）如图，二次函数y=﹣x2+mx+m+的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．（1）当m=时，求tan∠ADH的值；（2）当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；（3）设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC的距离．考点：二次函数与几何综合答案：见解析试题解析：（1）∵当m=时，y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴顶点D（，），与x轴的交点A（﹣1，0），B（4，0），∴DH=，AH=﹣（﹣1）=，∴tan∠ADH===；（2）y=﹣x2+mx+m+=﹣（x﹣m）2+，∴顶点D（m，），令y=﹣x2+mx+m+=0，解得：x=﹣1或2m+1则与x轴的交点A（﹣1，0），B（2m+1，0），∴DH=，AH=m﹣（﹣1）=m+1，∴tan∠ADH==．当60°≤∠ADB≤90°时，由对称性得30°≤∠ADH≤45°，∴当∠ADH=30°时，=，∴m=2﹣1，当∠ADH=45°时，=1，∴m=1，∴1≤m≤2﹣1；（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．设过点B（2m+1，0），C（0，m+）的直线解析式为；y=kx+b，则，解得，即y=﹣x+m+．当x=m时，y=﹣m+m+=，∴M（m，）．∴DM=﹣=，AB=（2m+1）﹣（﹣1）=2m+2，又，∵S△DBC=S△ABC，∴•（2m+1）=（2m+2）•（m+），又∵抛物线的顶点D在第一象限，∴m＞0，解得m=2．当m=2时，A（﹣1，0），B（5，0），C（0，），∴BC==，∴S△ABC=×6×=．设点D到直线BC的距离为d．∵S△DBC=BC•d，∴וd=，∴d=．答：点D到直线BC的距离为．

18．（天津市和平区·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，A为x轴正半轴上的动点，经过点A（t，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在第一象限，AB=4，直线OB：y1=kx（k为常数）．（1）当t=2时，求k的值；（2）经过O，A两点作抛物线y2=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），直线OB与抛物线的另一个交点为C．①用含a，t的式子表示点C的横坐标；②当t≤x≤t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式并直接写出t的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）找出当t=2时，B点的坐标，将其代入直线OB：y1=kx中即可；（2）①用t表示出直线OB的关系式，令y1=y2即可用含a，t的式子表示点C的横坐标；②找出y1﹣y2的关系式，发现为一个开口向下的抛物线，结合给定条件能够得知，抛物线的对称轴不超过x=t，且抛物线与x轴的另一个交点为（t+4，0），由此可得出a与t的关系式并能知道t的取值范围．【解答】解：（1）当t=2时，点A的坐标为（2，0），∵经过点A（t，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在第一象限，AB=4，∴点B的坐标为（2，4）．∵点B在直线OB：y1=kx（k为常数）上，∴有4=2k，解得：k=2．（2）①点B（t，4）在直线OB：y1=kx上，∴有4=kt，解得：k=，∴y1=x．令y1=y2，即=ax（t﹣x），解得：x=0，或者x=t﹣．故点C的横坐标x=t﹣．②y1﹣y2=x﹣ax（x﹣t）=﹣ax2+（at+）x．∵a＞0，∴﹣a＜0，函数图象开口向下，函数图象大体如下图．∵当t≤x≤t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而增大，∴二次函数y1﹣y2的对称轴在x=t的左侧或者重合，而且二次函数y1﹣y2与x轴的另一个交点为（t+4，0）．∵y1﹣y2=﹣ax2+（at+）x=﹣ax（x﹣t﹣），∴有t+=t+4，解得：a=．二次函数对称轴≤t，即at2≥4，∵at=1，∴t≥4．故当t≤x≤t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而增大时，a与t的关系式a=（t≥4）．【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是：（1）找出B点坐标代入直线OB关系式；（2）由B点坐标表示出直线OB关系式，利用直线与抛物线交点是C可找出C点坐标；（3）由二次函数的图象的性质可以分析得知抛物线与x轴交点为原点和（t+4，0），结合单调性可得出t的取值范围．19．（天津市南开区·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m2+m+4，将m=代入y=﹣m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．【解答】解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2，∴点B的坐标为（0，2）．（2）延长EA，交y轴于点F，∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，∴△AFC≌△AED，∴AF=AE，∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m），∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，∴△ABF∽△DAE，∴=，即：=，∴DE=4．（3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m），∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4），∴x=2m，y=﹣m2+m+4，∴y=﹣•++4，∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4，②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：m+4=﹣m2+m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．【点评】本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．20.（天津五区县·一模）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可；（2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由所给函数图象可知，，解得．故y与x的函数关系式为y=﹣x+180；（2）∵y=﹣x+180，∴W=（x﹣100）y=（x﹣100）（﹣x+180）=﹣x2+280x﹣18000=﹣（x﹣140）2+1600，∵a=﹣1＜0，∴当x=140时，W最大=1600，∴售价定为140元/件时，每天最大利润W=1600元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于k、b的关系式是解答此题的关键．21.（天津五区县·一模）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）根据二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，应用待定系数法，求出二次函数的解析式即可．（2）首先根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点Q的坐标各是多少；然后分两种情况：①当∠QPB=90°时；②当∠PQB=90°时；根据等腰直角三角形的性质，求出t的值各是多少即可．（3）首先延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所在的直线的解析式，然后根据PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点N即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得．∴二次函数的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．（2）∵y=x2﹣2x﹣3，∴点C的坐标是（0，﹣3），∴BC==3，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，则，解得．∴BC所在的直线的解析式是：y=x﹣3，∵经过t秒，AP=t，BQ=t，∴点P的坐标是（t﹣1，0），设点Q的坐标是（x，x﹣3），∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，则y=×sin45°=×=t，则Q点纵坐标为﹣t，∴x=3﹣t，∴点Q的坐标是（3﹣t，﹣t），①如图1，，当∠QPB=90°时，点P和点Q的横坐标相同，∵点P的坐标是（t﹣1，0），点Q的坐标是（3﹣t，﹣t），∴t﹣1=3﹣t，解得t=2，即当t=2时，△BPQ为直角三角形．②如图2，，当∠PQB=90°时，∵∠PBQ=45°，∴BP=，∵BP=3﹣（t﹣1）=4﹣t，BQ=，∴4﹣t=即4﹣t=2t，解得t=，即当t=时，△BPQ为直角三角形．综上，可得当△BPQ为直角三角形，t=或2．（3）如图3，延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，，设PQ所在的直线的解析式是y=px+q，∵点P的坐标是（t﹣1，0），点Q的坐标是（3﹣t，﹣t），∴，解得．∴PQ所在的直线的解析式是y=x+，∴点M的坐标是（0，），∵，=﹣，∴PQ的中点H的坐标是（1，﹣），假设PQ的中点恰为MN的中点，∵1×2﹣0=2，﹣=，∴点N的坐标是（2，），又∵点N在抛物线上，∴=22﹣2×2﹣3=﹣3，∴点N的坐标是（2，﹣3），解得t=或t=，∵t＜2，∴t=，∴当t＜2时，延长QP交y轴于点M，当t=时在抛物线上存在一点N（2，﹣3），使得PQ的中点恰为MN的中点．【点评】（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明