微分方程复习题

常微分方程复习题一、填空题1．微分方程的阶数是____________.答：12．形如_的方程称为齐次方程.答：3．方程的根本解组是．答：.1.二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的根本解组充分必要条件是．答：线性无关〔或：它们的朗斯基行列式不等于零〕2.方程的根本解组是．答：3.假设和都是的基解矩阵，那么和具有的关系是。4.一阶微分方程是全微分方程的充分必要条件是。5.方程有只含的积分因子的充要条件是。有只含的积分因子的充要条件是。6.一曲线经过原点，且曲线上任意一点处的切线斜率为，那么曲线方程为。7.称为n阶齐线性微分方程。8.常系数非齐线性方程(其中是m次多项式)中，那么方程有形如的特解。9.二阶常系数线性微分方程有一个形如的特解。10.微分方程的一般解为。9.微分方程的阶数为。10.假设为齐次线性方程的n个线性无关解，那么这一齐线性方程的通解可表为.11.设为非齐次线性方程的一个特解,是其对应的齐次线性方程的一个根本解组,那么非齐线性方程的所有解可表为.12.假设是齐次线性方程的个解，为其朗斯基行列式，那么满足一阶线性方程。答：13.函数是微分方程的通解.14.方程的根本解组是．15.常系数方程有四个特征根分别为(二重根)，那么该方程有根本解组．16.一定存在一个基解矩阵，如果是的任一解，那么。17.假设是的基解矩阵，那么向量函数=是的满足初始条件的解；向量函数=是的满足初始条件的解。18.设分别是方程组，的解，那么满足方程的一个解可以为。19.设为非齐次线性方程组的一个特解,是其对应的齐次线性方程组的基解矩阵,那么非齐线性方程组的所有解可表为.20.方程组的个解线性无关的充要条件是.21.假设矩阵A具有n个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别是，那么矩阵=是常系数线性方程组的一个基解矩阵。二、单项选择题1．阶线性齐次微分方程根本解组中解的个数恰好是〔A〕个．〔A〕；〔B〕1；〔C〕+1；〔D〕+2.2．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差〔C〕．〔A〕不是其对应齐次微分方程组的解；〔B〕是非齐次微分方程组的解；〔C〕是其对应齐次微分方程组的解；〔D〕是非齐次微分方程组的通解.3．假设，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，那么该方程的通解可用这两个解表示为〔C〕．〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.4．以下方程中为常微分方程的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D)(c为常数〕.5.以下微分方程是线性的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).6.方程特解的形状为()(A)；(B)；(C)；(D).7.以下函数组在定义域内线性无关的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).8.以下方程中为常微分方程的是〔〕(A)；(B)；(C)(c为常数)；(D).9.以下微分方程是线性的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).10.方程特解的形状为()(A)；(B)；(C)；(D).11.以下函数组在定义域内线性无关的是〔〕(A);(B)；(C)；(D).12.以下方程中为常微分方程的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D)(c为常数).13.以下微分方程是线性的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).14.方程特解的形状为()(A)；(B)；(C)；(D).15.以下方程中为常微分方程的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D)y=c1cost+c2sint(c1,c2为常数).16.以下微分方程是线性的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).17.方程特解的形状为()(A)；(B)；(C)；(D).18.以下函数组在定义域内线性无关的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D)4t,2t3,6t+8.19.以下方程中为常微分方程的是〔〕(A)x3+1=0；(B)；(C)；(D).20.以下微分方程是线性的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D)xdx+ydy=0.21.方程特解的形状为()(A)；(B)；(C)；(D).22.以下函数组在定义域内线性无关的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).23.微分方程y''3y'+2y=2x2ex的特解y*的形式是()(A)(ax+b)ex(B)(ax+b)xex(C)(ax+b)+cex(D)(ax+b)+cxex24.微分方程的通解是y=()(A)；(B)；(C)；(D).25.设是线性非齐次方程的特解，那么()(A)是所给微分方程的通解；(B)不是所给微分方程的通解；(C)是所给微分方程的特解；(D)可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解.26.微分方程的特解的形式是y=〔〕(A)；(B)；(C)；(D).27.以下方程中为常微分方程的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).28.以下微分方程是线性的是〔〕(A)；(B);(C)；(D).29.设是二阶线性非齐次微分方程的三个线性无关解，是任意常数，那么微分方程的通解为()(A);(B);(C);(D).30.假设连续函数满足关系式，那么为〔〕(A);(B);(C)(D).31.假设，那么它们所满足的微分方程为〔〕(A);(B);(C);(D).32.设是二阶线性微分方程的三个不同的特解，且不是常数，那么该方程的通解为〔〕(A);(B);(C);(D).33.设是方程的两个特解，那么〔为任意常数〕〔〕(A)是此方程的通解;(B)是此方程的特解;(C)不一定是该方程的解;(D)是该方程的解.34.微分方程的一个特解形式为〔〕(A);(B);(C);(D).35.方程是全微分方程的充要条件是〔B〕(A);(B);(C);(D).36.表达式是某函数的全微分，那么〔〕(A);(B);(C);(D).37.方程是特解的形式为〔〕(A);(B);(C);(D).38.方程的特解的形式为〔〕(A);(B);(C);(D).39.与是微分方程的解,那么是〔〕(A)方程的通解;(B)方程的解,但不为通解;(C)方程的特解;(D)不一定是方程的解.40.方程的特解的形式为〔〕(A)；(B);(C);(D).41.方程特解的形式为〔〕(A);(B);(C);(D).42.方程特解形状为〔〕(A);(B);〔C);(D).43.方程的特解形状为〔〕(A);(B);(C);(D).44.方程的特解形状为〔〕(A);(B);(C);(D).45.方程的积分因子为〔〕(A);(B);(C);(D).46.方程的积分因子为〔〕(A);(B);(C);(D).47.方程的积分因子为〔〕(A);(B);(C);(D).48.方程的积分因子为〔〕(A);(B);(C);(D).49.方程的积分因子为〔〕(A);(B);(C);(D).50.方程的积分因子为〔〕(A);(B);(C);(D).51.方程的积分因子为〔〕(A);(B);(C);(D).52.方程的积分因子为〔〕(A);(B);(C);(D).53.方程的积分因子为〔〕(A);(B);(C);(D).54.方程的一个根本解组是().(A);(B);(C);(D).55.方程是().(A)可别离变量方程;(B)齐次方程;(C)全微分方程;(D)线性非齐次方程.三、证明题1.在方程中，在上连续，求证：假设恒不为零，那么该方程的任一根本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数．证明：设，是方程的根本解组，那么对任意，它们朗斯基行列式在上有定义，且．又由刘维尔公式，〔5分〕由于，，于是对一切，有或故是上的严格单调函数．〔10分〕2．设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数．证明:如果和是二阶线性齐次方程的解，那么由刘维尔公式有现在，故有3．设矩阵函数，在区间I上连续，试证明，假设方程组与在区间I上有相同的根本解组，那么，.证明：因为方程组与在区间I上有相同的根本解组，所以可设是其根本解矩阵。从而有：，，所以，又由于是其根本解矩阵，所以，即可逆，故，.4．设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点．证明：因和是两个线性无关解，故它们的朗斯基行列式(*)反证。假设它们有共同零点，那么存在一个点，使得于是这与(*)式矛盾．所以它们不能有共同的零点．5．给定方程,其中在上连续,设是上述方程的两个解,证明极限存在.证明:由条件知,是齐次线性方程的解,因为的特征方程是,特征根是,所以的根本解组为从而可由根本解组线性表示,即所以极限存在.6．设是n阶齐线性方程的任意n