新教材-人教A高中数学第二册全册各章测验及模块综合测验-习题含解析

人教A必修第二册各章综合测验1、平面向量及其应用 -1-2、复数 -11-3、立体几何初步 -17-4、统计 -30-5、概率 -41-模块综合测验 -52-1、平面向量及其应用(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·aA．6 B．5C．1 D．－6A[由向量数量积公式知，(2a＋b)·a2．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为()A．150° B．120°C．60° D．30°B[设向量a，b夹角为θ，|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，则cosθ＝－eq\f(1,2)，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B．]3．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为()A．1 B．2C．3 D．4A[a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b与a共线，∴3k－(k＋2)＝0，解得k＝1.]4．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b2＋c2－a2＝eq\f(6,5)bc，则sin(B＋C)的值为()A．－eq\f(4,5)B．eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5)D．eq\f(3,5)B[由b2＋c2－a2＝eq\f(6,5)bc，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(3,5)，则sin(B＋C)＝sinA＝eq\f(4,5).]5．已知点A，B，C满足|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up7(→))|＝5，则eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))的值是()A．－25 B．25C．－24 D．24A[因为|eq\o(AB,\s\up7(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|2＝9＋16＝25＝|eq\o(CA,\s\up7(→))|2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＝0＋eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\o(AC,\s\up7(→))2＝－25.]6．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝eq\f(1,2)ax与线段AB交于点C，且eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，则实数a等于()A．2 B．1C．eq\f(4,5) D．eq\f(5,3)A[设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up7(→))＝(x－7，y－1)，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(1－x,4－y)，∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝21－x，,y－1＝24－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3，))∴C(3,3)，又∵C在直线y＝eq\f(1,2)ax上，所以3＝eq\f(1,2)a×3，∴a＝2.]7．如图，在△ABC中，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up7(→))，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，则λ＋μ的值为()A．eq\f(4,9)B．eq\f(8,9)C．eq\f(2,3)D．eq\f(4,3)B[∵eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up7(→))，∴eq\o(AP,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，又eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，∴λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(2,9)，∴λ＋μ＝eq\f(8,9).]8．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))的取值范围是()A．[－1,0] B．[－1,2]C．[－1,3] D．[－1,4]C[建立如图所示坐标系，设M(x，y)，其中A(－1，－1)，B(1，－1)，易知x2＋y2≤1，而eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝(－1－x，－1－y)·(1－x，－1－y)＝x2＋(y＋1)2－1，若设E(0，－1)，则eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝|eq\o(ME,\s\up7(→))|2－1，由于0≤|eq\o(ME,\s\up7(→))|≤2，所以eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝|eq\o(ME,\s\up7(→))|2－1的取值范围是[－1,3]，故选C．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2ACD[|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|≤|a|·|b|，故A正确；由向量的运算法则知C，D正确；当b＝－a≠0时，|a－b|＞||a|－|b||，故B错误．故选ACD．]10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝eq\f(π,6)，a＝2，c＝2eq\r(3)，则角C的大小是()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6) D．eq\f(2π,3)BD[由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以sinC＝eq\f(c,a)sinA＝eq\f(\r(3),2)，而a＜c，所以A＜C，所以eq\f(π,6)＜C＜eq\f(5,6)π，故C＝eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π.]11．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足B＝eq\f(π,3)，a＋c＝eq\r(3)b，则eq\f(a,c)＝()A．2 B．3C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)AC[∵B＝eq\f(π,3)，a＋c＝eq\r(3)b，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2，由余弦定理可得，a2＋c2－2accoseq\f(π,3)＝b2，②联立①②，可得2a2－5ac＋2即2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(2)－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))＋2＝0，解得eq\f(a,c)＝2或eq\f(a,c)＝eq\f(1,2).故选AC．]12．点P是△ABC所在平面内一点，满足|eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(PC,\s\up7(→))|－|eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))－2eq\o(PA,\s\up7(→))|＝0，则△ABC的形状不可能是()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形ACD[∵P是△ABC所在平面内一点，且|eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(PC,\s\up7(→))|－|eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))－2eq\o(PA,\s\up7(→))|＝0，∴|eq\o(CB,\s\up7(→))|－|(eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→)))＋(eq\o(PC,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→)))|＝0，即|eq\o(CB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))|，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))|，两边平方并化简得eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))，∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形．故选ACD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．与向量a＝(1,2)平行，且模等于eq\r(5)的向量为________．(1,2)或(－1，－2)[因为所求向量与向量a＝(1,2)平行，所以可设所求向量为(x,2x)，又因为其模为eq\r(5)，所以x2＋(2x)2＝5，解得x＝±1.因此所求向量为(1,2)或(－1，－2)．]14．已知向量a＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，点P(m，n)在圆x2＋y2＝5上，则m＋n＝________，|2a＋b3eq\r(,34)[因为向量a＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，P(m，n)在圆x2＋y2＝5上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋2n＝0，,m2＋n2＝5，))解得m＝2，n＝1，即m＋n＝2＋1＝3.∴2a＋b＝(3,5)，∴|2a＋b|＝eq\r(,34).]15．在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，b＝1，a＝eq\r(2)，则c＝________.1[∵S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，∴eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，∴a2＋b2－c2＝2absinC．由余弦定理得，2abcosC＝2absinC，∴tanC＝1，∴C＝45°，∴c＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)＝eq\r(3－2)＝1.]16．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→)))·eq\o(PC,\s\up7(→))的最小值是________．－eq\f(1,2)[因为点O是AB的中点，所以eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))，设|eq\o(PC,\s\up7(→))|＝x，则|eq\o(PO,\s\up7(→))|＝1－x(0≤x≤1)，所以(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→)))·eq\o(PC,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))·eq\o(PC,\s\up7(→))＝－2x(1－x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2).所以当x＝eq\f(1,2)时，(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→)))·eq\o(PC,\s\up7(→))取到最小值－eq\f(1,2).]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．[解](1)因为(2a－3b)·(2a＋所以4|a|2－4a·b－3|b|2因为|a|＝4，|b|＝3，所以a·b＝－6，所以|a＋b|＝eq\r(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝eq\r(42＋32＋2×－6)＝eq\r(13).(2)因为a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，所以向量a在向量a＋b方向上的投影为eq\f(a·a＋b,|a＋b|)＝eq\f(10,\r(13))＝eq\f(10\r(13),13).18．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝2，∠OAB＝eq\f(2π,3)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(－1，eq\r(,3))．(1)求点B，C的坐标；(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．[解](1)连接OB(图略)，设B(xB，yB)，则xB＝|eq\o(OA,\s\up7(→))|＋|eq\o(AB,\s\up7(→))|·cos(π－∠OAB)＝eq\f(5,2)，yB＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|·sin(π－∠OAB)＝eq\f(\r(,3),2)，∴eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(,3),2)))＋(－1，eq\r(,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(,3),2)))，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(,3),2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(,3),2))).(2)证明：∵eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(,3),2)))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(,3),2)))，∴eq\o(OC,\s\up7(→))＝3eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(OC,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→)).又易知OA与BC不平行，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝2，∴四边形OABC为等腰梯形．19．(本小题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝eq\r(3)asinC－ccosA．(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为eq\r(3)，求b，c.[解](1)由c＝eq\r(3)asinC－ccosA，及正弦定理得eq\r(3)sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).又0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.20．(本小题满分12分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．[解](1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，①,sinα＋sinβ＝1，②))由①得，cosα＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α＞β，所以α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).21．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，eq\o(OP,\s\up7(→))＝x·eq\o(OA,\s\up7(→))＋y·eq\o(OB,\s\up7(→)).(1)若eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))，求x，y的值；(2)若eq\o(BP,\s\up7(→))＝3eq\o(PA,\s\up7(→))，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝2，且eq\o(OA,\s\up7(→))与eq\o(OB,\s\up7(→))的夹角为60°时，求eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))的值．[解](1)∵eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))，∴eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(PO,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))，即2eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))，∴eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))，即x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).(2)∵eq\o(BP,\s\up7(→))＝3eq\o(PA,\s\up7(→))，∴eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OP,\s\up7(→))＝3eq\o(PO,\s\up7(→))＋3eq\o(OA,\s\up7(→))，即4eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋3eq\o(OA,\s\up7(→))，∴eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)Oeq\o(A,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→)).∴x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4).eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(OA,\s\up7(→))＋\f(1,4)\o(OB,\s\up7(→))))·(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)×22－eq\f(3,4)×42＋eq\f(1,2)×4×2×eq\f(1,2)＝－9.22．(本小题满分12分)如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为3eq\r(5)nmile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角，且sinA＝eq\f(3,5).(1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；(2)记小岛D对小岛B与C的视角为α，小岛B对小岛C与D的视角为β，求sin(2α＋β)的值．[解](1)∵sinA＝eq\f(3,5)，且角A为钝角，∴cosA＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2))＝－eq\f(4,5).在△ABD中，由余弦定理得：AD2＋AB2－2AD·AB·cosA＝BD2.∴AD2＋52－2AD·5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝(3eq\r(5))2⇒AD2＋8AD－20＝0.解得AD＝2或AD＝－10(舍)．∴小岛A与小岛D之间的距离为2nmile.∵A，B，C，D四点共圆，∴角A与角C互补．∴sinC＝eq\f(3,5)，cosC＝cos(180°－A)＝－cosA＝eq\f(4,5).在△BDC中，由余弦定理得：CD2＋CB2－2CD·CB·cosC＝BD2，∴CD2＋52－2CD·5·eq\f(4,5)＝(3eq\r(5))2⇒CD2－8CD－20＝0，解得CD＝－2(舍)或CD＝10.∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)AB·AD·sinA＋eq\f(1,2)CB·CD·sinC＝eq\f(1,2)×5×2×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×5×10×eq\f(3,5)＝3＋15＝18.∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方nmile.(2)在△BDC中，由正弦定理得：eq\f(BC,sinα)＝eq\f(BD,sinC)⇒eq\f(5,sinα)＝eq\f(3\r(5),\f(3,5))⇒sinα＝eq\f(\r(5),5).∵DC2＋DB2＞BC2，∴α为锐角，∴cosα＝eq\f(2\r(5),5).又∵sin(α＋β)＝sin(180°－C)＝sinC＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝cos(180°－C)＝－cosC＝－eq\f(4,5).∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3,5)＝eq\f(2\r(5),25).2、复数(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于()A．z－1 B．z＋1C．－10＋18i D．10－18iC[1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.]2.eq\f(3＋i,1＋i)＝()A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－iD[eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(3－3i＋i＋1,2)＝2－i.故选D．]3．若复数z满足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋iA[由已知得eq\x\to(z)＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A．]4．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A．(2,4) B．(2，－4)C．(4，－2) D．(4,2)C[z＝eq\f(2＋4i,i)＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C．]5．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1 B．0C．1 D．2B[∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝0，,a2－4＝－4.))解得a＝0.故选B．]6．若复数eq\f(2－bi,1＋2i)(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝()A．eq\r(2)B．eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．2C[因为eq\f(2－bi,1＋2i)＝eq\f(2－bi1－2i,5)＝eq\f(2－2b,5)－eq\f(4＋b,5)i，又复数eq\f(2－bi,1＋2i)(b∈R)的实部与虚部互为相反数，所以eq\f(2－2b,5)＝eq\f(4＋b,5)，即b＝－eq\f(2,3).]7．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在()A．实轴上 B．虚轴上C．直线y＝±x(x≠0)上 D．以上都不对C[设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi.∵z2为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,xy≠0.))∴y＝±x(x≠0)．]8．已知0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是()A．(1,5) B．(1,3)C．(1，eq\r(5)) D．(1，eq\r(3))C[由已知，得|z|＝eq\r(a2＋1).由0<a<2，得0<a2<4，∴1<a2＋1<5.∴|z|＝eq\r(a2＋1)∈(1，eq\r(5))．故选C．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为()A．(3,1) B．(－2,0)C．(0,4) D．(－1，－5)ACD[易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3＋i、－2、4i、－1－5i，因此A、C、D中的点对应的复数为虚数．]10．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，下列命题正确的是()A．z不可能为纯虚数B．若z的共轭复数为eq\x\to(z)，且z＝eq\x\to(z)，则z是实数C．若z＝|z|，则z是实数D．|z|可以等于eq\f(1,2)BC[当a＝0时，b＝1，此时z＝i为纯虚数，A错误；若z的共轭复数为eq\x\to(z)，且z＝eq\x\to(z)，则a＋bi＝a－bi，因此b＝0，B正确；由|z|是实数，且z＝|z|知，z是实数，C正确；由|z|＝eq\f(1,2)得a2＋b2＝eq\f(1,4)，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，无解，即|z|不可以等于eq\f(1,2)，D错误．故选BC．]11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是()A．P0点的坐标为(1,2)B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为eq\f(\r(2),2)ACD[复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即eq\r(x－12＋y2)＝eq\r(x2＋y－12)，整理得，y＝x，即Z点在直线y＝x上，C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合平面几何知识知D正确．故选ACD．]12．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是()A．当m，n∈N*时，有zmzn＝zm＋nB．当z1，z2∈C时，若zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，则z1＝0且z2＝0C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|eq\x\to(z)|2＝|z|2＝z·eq\x\to(z)D．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|AC[由复数乘法的运算律知A正确；取z1＝1，z2＝i，满足zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，但z1＝0且z2＝0不成立，B错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；由z1＝z2能推出|z1|＝|z2|，但|z1|＝|z2|推不出z1＝z2，因此z1＝z2的必要不充分条件是|z1|＝|z2|，D错误．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．21[复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.]14．a为正实数，i为虚数单位，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝2，则a＝________.eq\r(3)[eq\f(a＋i,i)＝eq\f(a＋i·－i,i·－i)＝1－ai，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝|1－ai|＝eq\r(a2＋1)＝2，所以a2＝3.又a为正实数，所以a＝eq\r(3).]15．设a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．8[a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.]16．设z的共轭复数是eq\x\to(z)，若z＋eq\x\to(z)＝4，z·eq\x\to(z)＝8，则|z|＝________，eq\f(\o(z,\s\up7(－)),z)＝________(本题第一空2分，第二空3分)．2eq\r(2)±i[设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq\x\to(z)＝x－yi，由z＋eq\x\to(z)＝4，z·eq\x\to(z)＝8得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋yi＋x－yi＝4，,x＋yix－yi＝8，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,x2＋y2＝8，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±2.))∴|z|＝2eq\r(2).所以eq\f(\x\to(z),z)＝eq\f(x－yi,x＋yi)＝eq\f(x2－y2－2xyi,x2＋y2)＝±i.]四、简答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当(1)z是实数？(2)z是纯虚数？[解](1)要使复数z为实数，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2>0，,m2＋3m＋2＝0，))解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．(2)要使复数z为纯虚数，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,m2＋3m＋2≠0，))解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z1＝1－i，z1·z2＋eq\x\to(z)1＝2＋2i，求复数z2.[解]因为z1＝1－i，所以eq\x\to(z)1＝1＋i，所以z1·z2＝2＋2i－eq\x\to(z)1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i.设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i，得(1－i)(a＋bi)＝1＋i，所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,b－a＝1，))解得a＝0，b＝1，所以z2＝i.19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数eq\x\to(z).[解]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi且|z|＝eq\r(a2＋b2)＝1，即a2＋b2＝1.①因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)所以3a－4b＝0，且3b＋4a由①②联立，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,5)，,b＝\f(3,5)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,5)，,b＝－\f(3,5).))所以eq\x\to(z)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i，或eq\x\to(z)＝－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i.20．(本小题满分12分)复数z＝eq\f(1＋i2＋31－i,2＋i)，若z2＋eq\f(a,z)＜0，求纯虚数a.[解]由z2＋eq\f(a,z)＜0可知z2＋eq\f(a,z)是实数且为负数．z＝eq\f(1＋i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(2i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(3－i,2＋i)＝1－i.因为a为纯虚数，所以设a＝mi(m∈R，且m≠0)，则z2＋eq\f(a,z)＝(1－i)2＋eq\f(mi,1－i)＝－2i＋eq\f(mi－m,2)＝－eq\f(m,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－2))i＜0，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)＜0，,\f(m,2)－2＝0，))所以m＝4，即a＝4i.21．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z.[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，C(x，y)，因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)＝\f(y－6,x＋2)，,\r(x2＋y2)＝\r(32＋42)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－5，,y1＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－3，,y2＝4.))因为|OA|≠|BC|，所以x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.22．(本小题满分12分)已知复数z满足(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i.(1)求复数z；(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．[解](1)∵(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，∴z＝2＋i.(2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a＋12＞0，,4a＋1＞0，))解得－1＜a＜1，即实数a的取值范围为(－1,1)．3、立体几何初步(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，能确定一个平面的条件有()A．3个 B．2个C．1个 D．0个D[①当空间三点共线时不能确定一个平面；②点在直线上时不能确定一个平面；③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面.故以上4个条件都不能确定一个平面．]2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1A．30° B．45°C．60° D．90°D[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.]3．已知a，b，c是直线，则下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等．其中真命题的个数为()A．0 B．3C．2 D．1D[异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确．]4．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6cm,4cm，则该棱柱的侧面积为()A．24cm2B．36cm2C．72cm2D．C[棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则四面体OA．与x，y都有关 B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关B[因为VO­AEF＝VE­OAF，考察△AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值，因为BB1∥平面ACC1A1所以点E到平面AOF的距离为定值，又AO∥A1C1所以OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，即△AOF的面积是定值，所以四面体O­AEF的体积与x，y都无关，故选B．]6．如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB的中点，则EF的长是()A．1 B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(1,2)B[取CB的中点D，连接ED，DF，则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角，即∠EDF＝90°.在△EDF中，ED＝eq\f(1,2)SB＝1，DF＝eq\f(1,2)AC＝1，所以EF＝eq\r(ED2＋DF2)＝eq\r(2).]7．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为eq\r(2)，其余各棱长都为1，则二面角A­CD­B的余弦值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),3)C[取AC的中点E，CD的中点F，连接BE，EF，BF，则EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(2),2)，BF＝eq\f(\r(3),2)，因为EF2＋BE2＝BF2，所以△BEF为直角三角形，cosθ＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(3),3).]8．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A．eq\f(5π,12)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)B[如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝eq\r(3)，则S＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2＝eq\f(3\r(3),4)，VABC­A1B1C1＝S×PO＝eq\f(9,4)，∴PO＝eq\r(3).又AO＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(3)＝1，∴tan∠PAO＝eq\f(PO,AO)＝eq\r(3)，∴∠PAO＝eq\f(π,3).]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题为真命题的是()A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直BD[A错，两个平面相交时，也有无数个公共点；C错，比如a⊥α，b⊂α，c⊂α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故选BD．]10.如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论中正确的是()A．AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥平面CEBD．平面ADE⊥平面BCEABD[由AB是底面圆的直径，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB．∵圆柱的轴截面是四边形ABCD，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB．∴BE⊥AD．又AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥DE.同理可得，AE⊥CE，易得平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正确．∵AD∥BC，∴∠ADE(或其补角)为DE与CB所成的角，显然∠ADE≠90°，∴DE⊥平面CEB不正确，即C错误．故选ABD．]11．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是()A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P­BC­A的大小为45°D．BD⊥平面PACABC[如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确．对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P­BC­A的平面角，设AB＝1，则BM＝eq\f(\r(3),2)，PM＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝eq\f(PM,BM)＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P­BC­A的大小为45°，故C正确．对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误．故选ABC．]12．如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为()AD[如图所示，正方体ABCD­A′B′C′D′.连接AC，BD．∵M、P分别为其所在棱的中点，∴MP∥AC．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC，∵AC⊥BD，BD∩BB′＝B，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MP∥AC，∴DB′⊥MP，同理，可证DB′⊥MN，DB′⊥NP，∵MP∩NP＝P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，∴DB′⊥平面MNP，即l垂直平面MNP，故A正确．故D中，由A中证明同理可证l⊥MP，l⊥MN，又∵MP∩MN＝M，∴l⊥平面MNP.故D正确．故选AD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________．(本题第一空2分，第二空3分)3πeq\f(\r(3),3)π[设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr＝2π，解得r＝1，根据勾股定理，得圆锥的高为eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以圆锥的表面积S＝eq\f(1,2)×π×22＋π×12＝3π，体积V＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.]14.已知正四棱锥的侧棱长为2eq\r(3)，侧棱与底面所成的角为60°，则该四棱锥的高为________．3[如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，∴SO＝sin60°·SC＝eq\f(\r(3),2)×2eq\r(3)＝3.]15．如图，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F­ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC的体积为V2，则V1∶V1∶24[因为D，E分别是AB，AC的中点，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶4.又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍，即三棱柱A1B1C1­ABC的高是三棱锥F­ADE高的2倍，所以V1∶V2＝eq\f(\f(1,3)S△ADE·h,S△ABC·H)＝eq\f(1,24)＝1∶24.]16．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．36π[如图，连接OA，OB．由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC．由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB．设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥S­ABC的体积V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SC·OB))·OA＝eq\f(r3,3)，即eq\f(r3,3)＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm，求圆锥的母线长.[解]如图，设圆锥的母线长为l，圆台上、下底面的半径分别为r、R.因为eq\f(l－10,l)＝eq\f(r,R)，所以eq\f(l－10,l)＝eq\f(1,4)，所以l＝eq\f(40,3)cm.即圆锥的母线长为eq\f(40,3)cm.18．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB(1)求证：AC⊥B1C(2)求证：AC1∥平面CDB1.[证明](1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC．又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1而B1C⊂平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD．如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P­ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AC，M为PB的中点．(1)求证：PC⊥BC；(2)求二面角M­AC­B的大小．[解](1)证明：由PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC．(2)取AB中点O，连接MO，过O作HO⊥AC于H，连接MH，因为M是BP的中点，所以MO∥PA，又因为PA⊥平面ABC，所以MO⊥平面ABC，所以∠MHO为二面角M­AC­B的平面角，设AC＝2，则BC＝2eq\r(3)，MO＝1，OH＝eq\r(3)，在Rt△MHO中，tan∠MHO＝eq\f(MO,HO)＝eq\f(\r(3),3)，所以二面角M­AC­B的大小为30°.20．(本小题满分12分)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？[解](1)设圆柱的底面半径为r,则它的侧面积为S＝2πrx,eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，解得r＝R－eq\f(R,H)x，所以S圆柱侧＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2.(2)由(1)知S圆柱侧＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2，在此表达式中，S圆柱侧为x的二次函数，因此，当x＝eq\f(H,2)时，圆柱的侧面积最大．21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．[解](1)如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得AP＝eq\r(AD2＋PD2)＝eq\r(5)，所以cos∠DAP＝eq\f(AD,AP)＝eq\f(\r(5),5).所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).(2)因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC＝B，所以PD⊥平面PBC．(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF＝eq\r(CD2＋CF2)＝2eq\r(5)，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝eq\f(PD,DF)＝eq\f(\r(5),5).所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为eq\f(\r(5),5).22．(本小题满分12分)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②①②(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ[解](1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC．∵DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC．而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D∴A1F⊥平面BCDE，∵BE⊂平面BCDE∴A1F⊥BE(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC∴DE⊥A1C又∵P是等腰三角形DA1C底边A1∴A1C⊥DP，DE∩DP＝D∴A1C⊥平面DEP从而A1C⊥平面DEQ故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ4、统计(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3D[在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为eq\f(n,N)，所以p1＝p2＝p3，故选D．]2．某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2∶3∶2∶4，则该样本中D类产品的数量为()A．22 B．33C．40 D．55C[根据分层随机抽样，总体中产品数量比与抽取的样本中产品数量比相等，∴样本中D类产品的数量为110×eq\f(4,2＋3＋2＋4)＝40.]3．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中的一组．已知该组的频率为m，该组上的频率分布直方图的高为h，则|a－b|等于()A．mh B．eq\f(h,m)C．eq\f(m,h) D．m＋hC[在频率分布直方图中小长方形的高等于eq\f(频率,组距)，所以h＝eq\f(m,|a－b|)，|a－b|＝eq\f(m,h)，故选C．]4．我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度(单位：km/h)如下表：上班时间182021262728303233353640下班时间161719222527283030323637则上、下班时间行驶时速的中位数分别为()A．28与28.5 B．29与28.5C．28与27.5 D．29与27.5D[上班时间行驶速度的中位数是eq\f(28＋30,2)＝29，下班时间行驶速度的中位数是eq\f(27＋28,2)＝27.5.]5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为eq\x\to(x)，则()A．me＝mo＝eq\x\to(x) B．me＝mo＜eq\x\to(x)C．me＜mo＜eq\x\to(x) D．mo＜me＜eq\x\to(x)D[由条形图可知，中位数为me＝5.5，众数为mo＝5，平均值为eq\x\to(x)≈5.97，所以mo＜me＜eq\x\to(x).]6．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为()A．4∶3∶1 B．5∶3∶1C．5∶3∶2 D．3∶2∶1B[体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.3，体重在[55,60]内的频率为0.02×5＝0.1，∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1，故选B．]7．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为()A．64 B．54C．48 D．27B[前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38.所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.故选B．]8．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是()A．85,85,85 B．87,85,86C．87,85,85 D．87,85,90C[∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为eq\f(1,10)(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是()A．建设后，种植收入减少B．建设后，其他收入增加了一倍以上C．建设后，养殖收入增加了一倍D．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半BCD[设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a种植收入第三产业收入养殖收入其他收入建设前经济收入0.60.060.30.04建设后经济收入0.740.560.60.1根据上表可知B、C、D结论均正确，结论A不正确，故选BCD．]10．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是()A．成绩在[70,80)分的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D．考生竞赛成绩的中位数为75分ABC[由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4000×0.25＝1000，故B正确；由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40,70)内的频率为0.45，[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×eq\f(0.05,0.3)≈71.67，故D错误．故选ABC．]11．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是()A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数ABC[甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，∴A正确；seq\o\al(2,甲)＝191>110＝seq\o\al(2,乙)，∴甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，∴B正确；甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，∴C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，∴D错误．]12．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是()A．平均数eq\x\to(x)≤3B．平均数eq\x\to(x)≤3且标准差s≤2C．平均数eq\x\to(x)≤3且极差小于或等于2D．众数等于1且极差小于或等于4CD[A错，举反例：0,0,0,0,2,6,6，其平均数eq\x\to(x)＝2≤3，不符合指标．B错，举反例：0,3,3,3,3,3,6，其平均数eq\x\to(x)＝3，且标准差s＝eq\r(\f(18,7))≤2，不符合指标．C对，若极差等于0或1，在eq\x\to(x)≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且eq\x\to(x)≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标．D对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标．故选CD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．下列数据的70%分位数为________．20,14,26,18,28,30,24,26,33,12,35,22.28[把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35，因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数28.]14．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为________．0.5[小李这5天的平均投篮命中率eq\x\to(y)＝eq\f(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4,5)＝0.5.]15．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是________．5[x2－5x＋4＝0的两根是1,4.当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4，当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.∴a＝1，b＝4.则方差s2＝eq\f(1,4)×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.]16．从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10；乙：3,3,4,7,9,10,11,12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲：________，乙：________.(本题第一空2分，第二空3分)众数中位数[甲、乙两个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．对甲分析：该组数据8出现的次数最多，故运用了众数；对乙分析：该组数据最中间的是7与9，故中位数是eq\f(7＋9,2)＝8，故运用了中位数．]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求下列数据的四分位数．13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20，[解]把12个数据按从小到大的顺序排列可得：12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31，计算12×25%＝3,12×50%＝6,12×75%＝9，所以数据的第25百分位数为eq\f(15＋18,2)＝16.5，第50百分位数为eq\f(20＋22,2)＝21，第75百分位数为eq\f(27＋28,2)＝27.5.18．(本小题满分12分)如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18)内的频数为8.(1)求样本在[15,18)内的频率；(2)求样本容量；(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06，求在[18,33)内的频数．[解](1)由样本频率分布直方图可知组距为3.由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于eq\f(4,75)×3＝eq\f(4,25).(2)∵样本在[15,18)内频数为8，由(1)可知，样本容量为eq\f(8,\f(4,25))＝8×eq\f(25,4)＝50.(3)∵在[12,15)内的小矩形面积为0.06，故样本在[12,15)内的频率为0.06，故样本在[15,33)内的频数为50×(1－0.06)＝47，