自动控制原理与系统（第四版）课件 第三章 自动控制系统的数学模型

第三章自动控制系统的数学模型第一节系统的微分方程第二节传递函数第三节系统框图第四节典型环节的传递函数和功能框第五节自动控制系统的框图第六节框图的变换、化简和系统闭环传递函数的求取主要内容第一节系统的微分方程描述系统的输入量和输出量之间的关系的最直接的数学方法是列写系统的微分方程。

当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。它是系统的最基本数学模型。一、系统微分方程式的建立建立微分方程式的一般步骤是：①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统运动的物理规律，确定系统的输入量和输出量。②一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。③将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。二、微分方程建立举例[例3-1]直流电动机的微分方程。1.直流电动机(Direct-CurrentMotor)各物理量间的关系。直流电动机有两个独立的电路：一个是电枢(Armature)回路，有关物理量的角标用a表示，为直观起见，现将电枢的电阻Ra和漏磁电感La单独画出；另一个电路便是励磁回路,有关物理量的角标F用表示。直流电动机的电路图如图3-1所示。

图3-1直流电动机电路图

（3-3）’

（3-5）（3-6）（3-7）

（3-8）（3-9）第二节传递函数

（3-11）

（3-12）

④传递函数的分母多项式，即为微分方程的特征方程。⑤传递函数是一种数学模型，因此对不同的物理模型，它们可以有相同的传递函数（如后面的图3-4～图3-8所示）。反之，对同一个物理模型(系统和元件)，若选取不同的输入量和输出量，则传递函数将是不同的（如后面的式3-39与式3-40所示）。第三节系统框图（结构图）1．功能框(BlockDiagram)如图a）所示。2．信号线(SignalLine)如图b）所示。3．引出点(又称分点)(PickoffPoint)如图b）所示。4．比较点(ComparingPoint)(又称和点)(SummingPoint)如图c所示。图3-2框图的图形符号图3-3典型自动控制系统框图第四节典型环节的传递函数和功能

a)功能框图

b)阶跃响应（3-13）图3-4比例环节c)实例

（3-15）（3-16）图3-5积分环节

a)功能框图b)阶跃响应c)实例4.实例

积分环节的特点是它的输出量为输入量对时间的积累。因此，凡是输出量对输入量有储存和积累特点的元件一般都含有积分环节。例如水箱的水位与水流量，烘箱的温度与热流量(或功率)，机械运动中的转速与转矩，位移与速度，速度与加速度，电容的电量与电流等等。积分环节也是自动控制系统中遇到的最多的环节之一。

图3-6理想微分环节a)功能框b)阶跃响应c)实例（3-19）

（3-20）

（3-21）（3-22）惯性环节的阶跃响应曲线如图3-7b所示。由图可见，当输入量发生突变时，输出量不能突变，只能按指数规律逐渐变化，这就反映了该环节具有惯性。此环节的阶跃响应，在第2章［例2-5］已作了详细的分析。图3-7惯性环节a)功能框b)阶跃响应4．实例【阅读材料】实例分析图3-8惯性环节实例a)电阻、电感电路b)电阻、电容电路c)惯性调节器d)弹簧阻尼系统

（3-23）

（3-24）

（3-25）

（3-26）

图3－9比例加微分环节

（3-27）（3-28）

（3-29）其阶跃响应曲线如图3-10b所示。图3-10振荡环节a)功能框(0≤ζ<1)b)阶跃响应4.实例【实例11】图3-11为一RLC串联电路。若以电源电压作为输入电压，以电容器两端电压作为输出电压，求此电路的传递函数。并分析此为振荡电路的条件。图3-11

RLC串联电路

（3-31）图3－12延迟环节a)功能框b)阶跃响应c)钢板轧制厚度测量延迟示意图4．实例①液压油从液压泵到阀控油缸间的管道传输产生的时间上的延迟。②热量通过传导因传输速率低造成的时间上的延迟③晶闸管整流电路，当控制电压改变时，由于晶闸管导通后即失控，要等到下一个周期开始后才能响应，这意味着，在时间上也会造成延迟(对单相全波

图3-13运算放大器电路图由上式可见，若选择不同的输入回路阻抗和反馈回路阻抗，就可组成各种不同的传递函数。这是运放器的一个突出的优点。应用这一点，可以组成各种调节器(Regulator)和各种模拟电路(AnalogSimulator)。

图3-9c比例微分环节实例（3-33）

图3-14比例加积分调节器电路图第五节自动控制系统的框图一、系统框图的画法①首先是列出系统各个环节的微分方程，然后进行拉氏变换，根据各量间的相互关系，确定该环节的输入量和输出量，得出对应的传递函数，再由传递函数画出各环节的功能框。②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节，直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量间的关系。③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。④这样就可以得到整个控制系统的框图。

下面通过直流电动机来说明系统框图的画法：①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列于表3-1中。②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动机的角位移θ为输出量。于是可由开始，按照电动机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。

图3-15直流电动机的系统框图

图3-16当负载转矩增加时，电动机内部的自动调节过程图3-16为负载转矩增加时，直流电动机内部的自动调节过程。由图可见，当负载转矩TL增加时，Te<TL(平衡运行时，Te=TL)，这将使转速n下降，它将导致电枢电势e下降、电流ia增加，电磁转矩Te增加，这一过程要一直延续到电磁转矩Te达到TL值时，电动机才重新处于新的平衡状态为止。从以上分析可以清楚看到，这个过程主要是通过电动机内部电动势e的变化来进行自动调节的。一、框图的等效变换规则框图等效变换的原则是变换后与变换前的输入量和输出量都保持不变。第六节框图的变换、化简和系统闭环传递函数的求取

图3-17框图串联变换（3-36）

图3-18框图并联变换（3-37）

图3-19反馈联接变换

（3-38）4.引出点和比较点的移动规则移动规则的出发点是等效原则，即移动前后的输入量与输出量保持不变。移动前后框图的对照表3-2所示。图3-20闭环系统的开环传递函数的意义

图3-15直流电动机的系统框图

（3-39）

图3-15直流电动机的系统框图（3-40）

（3-39）’

图3-21直流电动机框图（3-40）’【例3-6】化简图3-22a所示的多回环系统。图3-22交叉多回环系统的简化

（3-41）

图3-23自动控制系统的典型结构

（3-42）

（3-43）（3-44）a)仅考虑给定量r(t)作用b)仅考虑扰动量d(t)作用图3-24仅考虑一个作用量时的系统框图

（3-45）

图3-25

交叉反馈系统的化简

（3-46）小结1．微分方程是系统的时间域模型，也是最基本的数学模型。对一个实际系统，一般是从输入端开始，依次根据有关的物理定律，写出各元件或各环节的微分方程，然后消去中间变量，并将方程整理成标准形式。2．传递函数是系统(或环节)在初始条件为零时的输出量的拉氏变换式和输入量的拉氏变换式之比。传递函数只与系统本身内部的结构、参数有关，而与给定量、扰动量等外部因素无关。它代表了系统

(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也是自动控制系统最常用的数学模型。3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数也不相同。4．典型环节的传递函数有对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统的分析。

它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是理解和分析系统的重要方法。建立系统框图的一般步骤是：

①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和输出量(被控量)。

②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。放大环节→控制环节(含