矩阵二次型课件

第八章二次型一、二次型及其标准形的概念称为二次型.（我们仅讨论实二次型）例如：都是二次型。不是二次型。只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如为二次型的标准形.1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法则（1）式可以表示为二次型用和号表示则其中为对称阵：.——二次型的矩阵表示式说明对称阵与二次型一一对应；若，二次型的矩阵满足：⑴的对角元是的系数；⑵的元是系数的一半.

则对称阵称为二次型的矩阵；二次型称为对称阵的二次型；三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．解例１练习求二次型的矩阵解：解：解：例2：求对称矩阵所对应的二次型。解：例3：已知二次型的秩为2，求参数c。解：四、化二次型为标准形设对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．系数矩阵则线性变换可记作：是可逆矩阵，则称线性变换（2）是非退化线性变换是正交矩阵，则称线性变换（2）是正交线性变换二次型研究的主要问题是：寻找可逆变换，使

这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形(法式).

特别地，如果标准形中的系数只在三个数中取值，那么这个标准形称为二次型的规范形.标准形的矩阵是对角阵.经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：因为有所以与的关系为：则因为以上说明：矩阵的合同关系定义设和是阶矩阵，

若有可逆矩阵，使则称矩阵与合同.说明

合同关系是一个等价关系.

设与合同，若是对称阵，则也对称阵.

对称阵一定合同,相似与一个对角阵.

若与合同，则.

经可逆变换后，二次型的矩阵由变为与合同的矩阵,且二次型的秩不变.注释：2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的）“合同”定义中，矩阵A、B为一般方阵，但实际中，多针对对称矩阵考虑合同关系任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它合同与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵

化二次型为标准形

对二次型作可逆变换，相当于对对称阵作合同变换；

把二次型化成标准形相当于把对称阵用合同变换化成对角阵(称为把对称阵合同对角化)，即寻找可逆阵,使.定理任给二次型,总其中是的矩阵的特征值.即任何二次型都可用正交变换化为标准形.存在正交变换，使化为标准形用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组4．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为解例3化为标准型，并指出表示何种二次曲面.求一正交变换，将二次型作业思考题解答定理任给二次型,总其中不一定是的矩阵的特征值.存在满秩变换，使化为标准形初等变换化二次型为标准型而任意可逆矩阵是可以分解为若干初等矩阵的乘积定理任给二次型,总其中可能是的矩阵的特征值.存在满秩变换，使化为标准形用阶单位矩阵及矩阵，构造每次对矩阵做初等行变换后，立即对做同类型初等列变换。经过若干次这样的变换后，当化为对角阵时，而就化为变换矩阵。练习：用初等变换法化二次型为标准型，并求出相应的可逆线性变换。惯性定理(InertiaTheorems)一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．定理

(惯性定理)设有二次型，它的秩为，有两个可逆变换及使及则正数的个数相等.中正数的个数与中注意定理任给二次型，总有可逆变换，使为规范形.

即任何二次型都可用可逆变换化为规范形.证设有二次型由定理知，存在正交变换，使

设二次型的秩为，则特征值中恰有个不为0，不妨设不等于0，于是，令其中则可逆，且变换把化为记，则可逆变换能把化为规范形练习:由以上讨论不难得到以下结论:(1)对于任何n阶实二次型,都存在非退化线性变换,化为规范型二次型,即其中r为f的秩,P为f的正惯性指数.(2)任一n阶实对称矩阵A都合同于对角矩阵(3)n阶实对称矩阵A合同于B的充要条件为r(A)=r(B),且A和B的正惯性指数相同.例下列矩阵中，与矩阵合同的矩阵是哪一个？为什么？解析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性定理解题.容易求得的特征值，于是可知，所对应的二次型的正惯性指数为；负惯性指数为.合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，故选(B).应选(B)，理由是:正定Positivedefinite二次型的概念定义设有二次型，⑴如果对任何，都有⑵如果对任何，都有，则称为负定二次型，并称对称阵是负定的；阵是正定的；(显然0)，则称为正定二次型，并称对称为正定二次型为负定二次型例如说明按定义，当变量取不全为零的值时，二次型若是正定()二次型，则它的对应值总是正数().负定负数若是正定二次型，则就是负定二次型.三、正(负)定二次型的判别证已知，有可逆变换，使先证充分性：设，任给，则，故再证必要性:用反证法.假设有，取(单位坐标向量)，这与为正定相矛盾.这就证明了.则有，且推论1正定二次型(正定矩阵)的秩为.推论2对称阵为正定矩阵的充要条件是：

的特征值全为正.这个定理称为霍尔维茨定理(Hurwitz)．定理3

对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即正定二次型的判定：正定的正惯性指数的个特征值全为正的规范形为合同于单位阵可逆的各阶主子式全为正正定矩阵具有以下一些简单性质解：使用配方法化二次型为标准型，然后判断练习判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.练习判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，练习判别二次型的正定性.解2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结

1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．

3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．思考题思考题解答矩阵的三大关系：⑴它们的定义存在阶可逆阵和阶可逆阵，使

与等价

与相似

与正交相似

与合同

存在可逆阵，使存在正交阵，使存在可逆阵