小学六年级下册 数学《奥数》知识点讲解第14课 空间想象力的综合训练题 试题附答案

小学六年级下册数学奥数知识点讲解第14课《空间想象力的综合训练题》试题附答案

第十四讲关于空间想象力的综合训练题

L将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体.问这个正方

体的2号面的对面是几号面？

2.有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、

高都是质数，求这个长方体的体积.

3.有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2

的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？

4.有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成左图的形状,

表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.

5.如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2

厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘

米？

_____>

9厘米

IM初

*--------13厘米------->

6.一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体

（下图）.问纸盒的容积有多大？（圆周率取为3.14）.

7.一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其

中装有；容积的水.现在向桶中投入边长为2厘米X2厘米X3厘米的长方体石

块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？

8.有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形

纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1：2.用这些纸板做成一些竖式和横式

的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒

的总数之比是多少？

9.如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三

个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？

10.将边长为10的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为1的小正方

形木块1000块.问：这一千块小正方体木块中，没有涂红色的共有多少块？只

有一个面是红色的共有多少块？恰有两个面为红色的共有多少块？恰有三个面

为红色的共有多少块？

11.用三个大小一样的正方体积木和一把有刻度的直尺.请你设计一种方

法，不通过任何计算，直接量出每个正方体的体对角线的长.

12.如下图，把16个边长为2厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，求

这个立体图形的表面积.

13.2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，

长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？

14.一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成3片，每片

又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得大大小小的长方体60块.求这60块长方

体装面积的和是多少军方来?

15.如下图，是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中间向下

挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个

边长为9厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1厘米.求最

后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？

16.如下图，一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实

线粘）.这个多面体的面数，顶点数与棱数之和是多少？

△

"'V'VV

V

17.如下图是一个四面体，有六条棱，四个表面三角形，已知六条棱长恰

是六个连续的自然数.

如果某个表面三角形的周长是3的倍数，就将这个三角形染红色；反之，

周长不是3的倍数的三角形就染黄色.问：四个表面三角形是否能全染成黄色？

简述理由.

18.把正方体的六个表面都分成9个相等的正方形.现用红、黄、蓝三种颜

色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染的颜色不同，问：用红色染成

的正方形个数最多有几个？

///J

/////

19.有6个棱长分别是3厘米，4厘米，5厘米的相同的长方体，把它们的某

些面染上红色，使得一个长方体只有一个面是红色的，一个长方体恰有两个面

是红色的，一个长方体恰有三个面是红色的，一个长方体恰有四个面是红色

的，一个长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色.染色后

把所有长方体分割成棱长为1厘米的小立方体，分割完毕后，恰有一面是红色

的小立为本最多有几个？

20.给出一个立方体和六张同样大小的用五个相等小正方形组成的“十字

形”彩纸，每个十字形彩纸的面积恰等于立方体一个侧面的面积.试设计一种

方法，不剪开这六张彩纸，就可以把他们贴满立方体的六个侧面.

六年级奥数下册：第十四讲关于空间想象力的综合训练题解答

关于空间想象力的综合训练题参考解答

1.想象一个正方体，固定一个面为2号面，依次可排出2号面对面是6号面.

2.如下图可以看出，长方体的正面及上面之和恰等于:

长X（宽+高）=209=11X19

有两种可能：①长=11,宽+高=19.

②长=19,宽+高=11.

宽和高必是一个奇质数与一个偶质数2.

只有19=17+2合乎要求，11=9+2不符合要求.所以长=11,

长方体体积是11X17X2=374.

3.原立方体的表面积=5X5X6=150.减少的表面积是两块3X2长方形

的面积，即减少了3X2X2=12,所以减少的百分比是袅=8%.

4.三个小正方体拼接成图中的样子（见307页原题图），减少了小正方体

的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为16+

4=4平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积（即所成形体的体

积）是3X22=24立方厘米.

5.容器的底面积是

（13-4）X（9-4）=45平方厘米，高为2厘米，容器体积是45X2=90立方

厘米.

O

6.纸盒的容积与圆柱体积之比=熹.所以纸盒的容积为800立方厘米.

6.28

7.所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块:

（10X10X15）+（2X2X3）=125（块）.

8.由于纸盒无盖，所以一个竖式纸盒有一个正方形和4个长方形，一个横

式纸盒有2个正方形和3个长方形，那么一个竖式纸盒和两个横式纸盒共有5个

正方形和10个长方形，这时所用的正方形纸板与长方形纸板的比恰是1：2,也

就是说按照每做一个竖式纸盒，再做两个横式纸盒的比例做纸盒，就可以把两

种不同形状的纸板用完.因此，在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒

的总数之比是1：2.

9.没打洞之前正方体表面积共6X3X3=54,打洞后，表面积减少6

又增加6X4（洞的表面积）.即所得形体的表面积是54-6+24=72.

10.没涂色的小正方块共有8x8X8=512块，只有一面涂色的共有8x8X6

=384块，恰有两个面为红色的共有8XI2=96块，恰有三个面为红色的，共有8

块.

11.将三个大小一样的立方体积木如下图堆放，则量得A、B两点距离就是

体对角线的长.

1/

12.从前、后、左、右、上、下六个方向分别看这堆积木形成的形体表面.

从前看有7个边长为2厘米的小正方形；

从后看有7个边长为2厘米的小正方形；

从左看有9个边长为2厘米的小正方形；

从右看有9个边长为2厘米的小正方形；

从上看有9个边长为2厘米的小正方形；

从下看有9个边长为2厘米的小正方形；

因此，这堆积木的表面积是：

2：X(T+7+9+9+9+9)=200(平方厘米).

13.长方体体积是2100立方米，高为10米，所以底面积为210平方米.

210=1X210=2X105=3x70=5X42=6X35=7X30=1QX21=14x15.可见,

长为15米，宽为14米，长宽之和是15+14=29米.

14.先前的正方体有6个面，每个面的面积是1平方米，共6平方米.无论后

来锯成多少块，这6个面的6平方米总是后来的小木块的表面积的一部分.

再考虑到每锯一刀就会得到两个一平方米的表面，现在一共锯了2+3+

4=9刀，一共得到18平方米的表面，因此总的表面积为：

6+(2+3+4)X2=24(平方米).

15.正方体在挖小洞之前的表面积为6X22,挖了小洞之后面积不但没有减

少，反还要加上三个小洞的侧面积的和.三个小洞各有四个侧面，每个侧面的

面积分别是：

尸,针，铲，

因此总的表面积为：

6X22+4X12+4X(1)2+4X(1)2=29"(平方厘米).

16.首先把这个多面体想清楚，把剪下的硬纸板片左、右相粘后，形成下

左图的样子，然后把上下两边的正方形和三角形分别粘好，应成为下图的样

子.

把多面体想清楚以后，就可以数面数、顶点数和棱数了.

硬纸片的每个正方形或三角形都是多面体的一个面，因此一共有20个面：

12个正方形和8个三角形；每个正方形有四条边，每个三角形三条边，共有12

X4+8X3=72条边，每两条边重合为多面体的一条棱，所以多面体共有72+2

=36条棱.

每个正方形有四个顶点，每个三角形有三个顶点，共有72个顶点.从上下

图可以看出，每四个顶点重在一起成为多面体的一个顶点，所以多面体共有72

+4=18个顶点.因此面数+棱数+顶点数=20+36+18=74.

17.不能将四个表面全染成黄色！理由如下：六个连续自然数被3除的余数

必有两个0,两个1,两个2,当且仅当一个面三角形三边分别被3除余0、1、2

时，这个面三角形周长被3整除，此面三角形染红色，我们设六个连续自然数

被3除的余数分别为两个a,两个b,两个c.任取面△ABC,如是黄色，必有两棱

（不妨设AB、AC）被3除余数同为a；设AD被3除余数为b（卢a）.这时

BD,CD中总有一个是被3除余c的，即AABD与4ACD中总有一个要染红色，因

此，四面体的四个表面三角形不可能全染成黄色.

18.很明显，一个面上最多有5个方格可以染成红色，如图（a）所示.当一

个面染成5个红色方格以、后，与这个面有公共边的四个面，就不能再有同样的

染法，但这个面的对面仍可染成5个红色方格，因此，至多有两个面可以架成5

个红色的方格，其余四个面，每一个面的四个拐角处的方格不能染红，一个面

至多如图（b）染上四个红格，但有公共边的两个面，不能都染成（b）,只能

有一组对面染成（b）,另一组对面染成（c）.采用以上步骤染成红色方格共

有：

红