专题09 抛物线性质归类（解析版）

专题09抛物线综合性质归类一、巩固提升练【题型一】抛物线轨迹【题型二】定义基础【题型三】定义：点点距离与点线距离最值【题型四】定义：中点弦型（梯形中位线）【题型五】角度型【题型六】焦点弦定值【题型七】中点型比值最值【题型八】定比分点型【题型九】抛物线切线【题型十】面积最值二、能力培优练热点【题型一】抛物线轨迹知识点与技巧：求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.1.已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为______．【答案】【分析】先设出，的坐标，，根据重心坐标公式可得出关系式，再利用顶点A在抛物线上运动，代入即可得到轨迹方程。【详解】设，．由点G为的重心，得，所以．又在抛物线上，所以，即．又点A不在直线BC上，所以，即，所以所求轨迹方程为．故答案为：2.已知的顶点、，若顶点在抛物线上移动，则的重心的轨迹方程为_______【答案】【分析】设的重心为，设点，可得出，将点的坐标代入抛物线的方程，化简可得出的重心的轨迹方程，再利用、、三点不共线，可得出，综合可得出答案.【详解】设的重心为，设点，则，可得，因为点在抛物线上，则，即，可得.因为点不能在轴上，则，因此，的重心的轨迹方程为.故答案为：.3.已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为________．【答案】，（注：也算对）【分析】根据题意将问题转化为几何语言，再转化为代数语言后再化简即可.【详解】由题意，若时，问题等价于，则，化简得，若，也满足题意.所以动点的轨迹方程为，.或者根据题意有，则，化简整理得：.所以动点的轨迹方程为.故答案为：，（注：也算对）4.若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹方程是__________．【答案】【分析】根据题意，将条件转化为点到直线的距离与它到点的距离相等，结合抛物线的定义即可求解点的轨迹方程．【详解】点到直线的距离比它到点的距离小，点到直线的距离与它到点的距离相等，点的轨迹是以为焦点、直线：为准线的抛物线，因此，设的轨迹方程为，，可得，解得，，动点的轨迹方程为．故答案为：．5.已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是__．【答案】y2＝﹣8x【分析】设，由两圆位置关系、直线与圆位置关系列式化简即可得．【详解】设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y），由题意可得PC＝1+r，即＝1+1﹣x，化简可得y2＝﹣8x.故答案为：y2＝﹣8x．【题型二】定义基础知识点与技巧：标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下1..已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则______．【答案】2023【分析】设，由求出，再利用抛物线的定义求解.【详解】解:设，因为是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，所以，因此，因为，所以，即．又由抛物线的定义，可得，所以．故答案为：20232.（2020·山东泰安·统考模拟预测）已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p=（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由题意，，在抛物线上，代入抛物线方程可得，即可求出的值．【详解】解：由题意，，在抛物线上，代入抛物线方程可得，，，故选：B．3..（江苏省无锡市江阴市第一中学2021-2022学年高二下学期寒假开学测试数学试题）我们知道，二次函数的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数的图象的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将抛物线化为抛物线的标准方程形式，再根据平移左加右减上加下减原则判断该抛物线是由怎样平移形成的.【详解】由抛物线知可以看做时抛物线(焦点坐标)先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，故的焦点坐标为故选：C4.（2023上·陕西汉中·高二统考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则.【答案】【分析】根据抛物线方程得，根据轴得，，再代入抛物线方程可求出结果.【详解】由得，，故，因为轴，所以，，又，所以，得，又，所以.故答案为：.【题型三】定义：点点距离与点线距离最值知识点与技巧：抛物线定义的两种应用：（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.1.（2012·安徽·统考模拟预测）已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为A． B． C． D．【答案】A【解析】根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到和三点共线且点在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解．【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，所以焦点，过点作准线的垂线，垂足为，由,依题意可知当和三点共线且点在中间时距离和最小，如图所示，故点的纵坐标为，代入抛物线的方程，求得，所以点，故选A．2.（2023上·浙江嘉兴·高二嘉兴高级中学校考期中）已知定点，点为抛物线上一动点，点到直线的距离为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】抛物线的焦点为，设点，则，可得出，分析可知，当点为线段与抛物线的交点时，取最小值，即可得解.【详解】抛物线的焦点为，设点，则，则，当且仅当点为线段与抛物线的交点时，等号成立，故的最小值为.故选：C.3.（2023上·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】先求得点的坐标，求得关于直线的对称点，根据三点共线求得的最小值.【详解】抛物线的焦点，准线，，则，不妨设，关于直线的对称点为，由于，所以当三点共线时最小，所以的最小值为.故选：A

4.．（2023·全国·高二课堂例题）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为，则的最小值为（

）A．4 B．3 C． D．【答案】A【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点，过点A作于点H，结合抛物线的定义可得，从而可求得答案.【详解】由拋物线知，则，准线l方程为．如图所示，点A在抛物线内，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点，过点A作于点H．

由抛物线的定义得，所以，当且仅当点P是线段AH与抛物线的交点（即A，P，H三点共线）时取等号．故的最小值为．故选：A5.（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意得到，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【详解】解：如图，

因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点，所以.当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.故选：A【题型四】定义：中点弦型（梯形中位线）1.（2020·高二课时练习）P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（）A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|【答案】B【解析】根据题意可得PP1是梯形AA1B1B的中位线，利用梯形的性质以及抛物线的焦半径公式即可求解.【详解】根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.故选：B2.（2020上·福建莆田·高二校联考期末）已知直线与抛物线相交于两点，是的中点，则点到抛物线准线的距离为（

）A． B．4 C．7 D．8【答案】B【分析】根据数形结合分析可知点到抛物线准线的距离，再根据弦长公式求.【详解】由题意可知直线过抛物线的焦点，如图，都和准线垂直，并且垂直分别是，由图象可知，根据抛物线的定义可知，，联立得，，，.故选：B3.（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（

）A． B．抛物线的方程为C．直线的方程为 D．【答案】ACD【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；，所以从而判断D正确.【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确故抛物线的方程为，焦点，故B错误则，．又是的中点，则，所以，即，所以直线的方程为．故C正确由，得．故D正确故选：ACD．4.（湖南省邵阳市第二中学2021-2022学年高二下学期入学考试数学试题）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．【答案】【详解】分析：求出抛物线焦点为，准线为，设，直线方程为，由与抛物线方程消去得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系算出的坐标，根据，利用两点间的距离公式解出，进而得到结论.详解：抛物线方程为，抛物线焦点为，准线为，设，因为在第一象限，所以直线的斜率，设直线方程为，代入抛物线方程消去，得，，过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，设点的坐标为，可得，，，得到，可得，，，解之得，所以，直线方程为，即,，故答案为.【题型五】角度型1.（河南省安阳市2022-2023学年高二上学期阶段性测试（一）数学试题）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若，则F到l的距离为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.【详解】如图，不妨令在轴上方，准线l与轴交点为，因为点在C上，根据抛物线定义可得，且，则，所以为等腰三角形，且，在中，，即解得，即F到l的距离为.故选:C.2.（广东省广州大学附属中学2023届高二上学期第二次月考数学试题）已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求解抛物线焦点和准线方程，设，由，根据余弦定理可得，根据抛物线定义和梯形中位线定理可得，代入，运用基本不等式计算即可求解最小值.【详解】抛物线，即，则焦点为，准线为，设，由，可得，由抛物线定义可得到准线的距离为，到准线的距离为，由梯形的中位线定理可得，由，可得，，得，当且仅当取最小值.故选：D3.（江苏省徐州市睢宁县第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如图所示，过点作，垂足为.先证明是等边三角形，再求出，求出的值即得解.【详解】解：如图所示，过点作，垂足为.由题得,所以.因为，所以是等边三角形.因为是的中点，所以，所以，所以.所以.所以所以抛物线的方程是.故选：C4.在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（

）A．3

B．2

C．1

D．【答案】A【分析】求出的长，根据抛物线的定义可得．【详解】设准线与轴交于点，则，，∴，连接，则，又，所以是正三角形，∴，准线的方程是，∴点纵坐标为3.故选：A5.（安徽省安庆市第二中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，点在上，若，，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由抛物线对称性，不妨设点在第一象限，设，，由抛物线的定义得，再由已知条件得直线的倾斜角，斜率，由斜率公式可求得，从而得出点横坐标．【详解】设为坐标原点，由抛物线的对称性不妨设点在第一象限，由，可知，由抛物线的定义，可知，则有，即，.由抛物线的方程可知，，设，，则有，即，因为，故解得，，故选：B．【题型六】焦点弦定值：1.（四川省攀枝花市第三高级中学校2021-2022学年高二上学期第一次月考数学（文）试题）如图所示，已知抛物线过点，圆.过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件.【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)，由直线PQ过抛物线的焦点，则，圆C2：圆心为(2,0)，半径1，，当且仅当时等号成立，故的最小值为13.故选：D2.（内蒙古乌兰察布市北京八中分校2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题）如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为__________．【答案】【详解】，焦点，准线，由定义得，又，同理，当轴时，则，，当时，代入抛物线方程，得，，，综上所述，的最小值为，故答案为.3.（2021·重庆九龙坡·统考）如图，已知抛物线：和圆：，过圆圆心的直线与抛物线和圆依次交于A､C､D､B四点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用图形的特点将转化为，联立方程组求出，结合换元法即可得到，利用导函数判断出函数的单调性，求出最小值.【详解】设抛物线焦点为，圆心为，半径，，设，则，，.设AB所在直线方程为，联立抛物线方程得，解得求的最小值，即的最小值，令，那么，在上大于0，在上小于0，故，故的最小值为.故选：C4.（2023下·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直线方程代入抛物线方程，由根与系数的关系可得，然后由焦半径公式结合基本不等式可得.【详解】由题可知,所以有，带入得，整理得，判别式恒成立，设，则易知，点为抛物线的焦点，所以当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为.故选：B【题型七】中点型比值最值1.（2023·陕西西安·统考练习）点为抛物线上的两点，是抛物线的焦点，若中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】设，，由题意得与，的关系，在三角形中由余弦定理得与的关系，求出比值，由基本不等式求出最值即可.【详解】设，，则，，，当且仅当时取等号，取最大值1，则的最小值为1.故选：B.2.（2022上·河南·高二校联考阶段练习）是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】设出线段的长度，用余弦定理求得的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，将进行转化，再结合不等式即可求得其最小值.【详解】设，，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如下所示：则，，因为点为线段的中点，根据梯形中位线定理可得：点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故．所以的最小值为故选：C.3．（2022·湖北·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，以为直径的圆过点，则的最大值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】先设出，由抛物线定义求出，勾股定理求出，结合基本不等式求出的最大值即可.【详解】如图，以开口向右的抛物线为例，过作垂直于准线，垂足为，设，则，以为直径的圆过点，则，，则，则，当且仅当时取等，即的最大值为.故选：C.4.（2021·湖南·校联考模拟预测）抛物线的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N.则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】设，过A，B点分别作准的垂线AQ，BP，由抛物线定义，得，在中，利用余弦定理结合基本不等式、抛物线的定义可得，从而可求得结果【详解】设，过A，B点分别作准的垂线AQ，BP，由抛物线定义，得，在梯形ABPQ中，.由余弦定理得，，又.得到，即的最大值为1，故选:C.【题型八】定比分点型1.已知A，B两点在以F为焦点的抛物线上，并满足，过弦AB的中点M作抛物线对称轴的平行线，与OA交于N点，则MN的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知结合抛物线的性质，求得坐标，进而求得坐标，即可得解.【详解】由，利用抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，作垂直于抛物线准线，垂足分别为，作于C,如图所示，设，由抛物线的定义知,在中，，则,所以，所以直线AB的方程为,与抛物线的方程联立得，解得，,所以，，故AB的中点,直线OA的方程为，令，得，所以MN的长为故选：C2.．如图，过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，点是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，记，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设、，直线：，联立抛物线可得，再由中点坐标可得，从而可得，利用焦半径公式表示和即可得解.【详解】设、，直线：（斜率显然不为0）.，得，显然成立，，点是线段的中点，所以，所以，所以，，，所以.故选：B.3.已知点是拋物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，设，点为的中点，则到轴的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出抛物线的焦点以及准线方程，设出点，的坐标，再由已知向量关系求出，的坐标关系，再利用点，在抛物线上，联立即可求解．【详解】由抛物线的方程可得，准线方程为：，设，，，，则由可得：，所以，解得，则到轴的距离为，故选：B．4.已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，，设，为的中点，则到轴的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出抛物线的焦点以及准线方程，设出点，的坐标，再由已知向量关系求出，的坐标关系，再利用点，在抛物线上，联立即可求解．【详解】由抛物线的方程可得，准线方程为：，设，，，，则由可得：，所以，解得，则到轴的距离为，故选：C．【题型九】抛物线切线1.（2023·广东梅州·统考）已知抛物线的焦点为，点，线段与抛物线相交于点，若抛物线在点处的切线与直线垂直，则抛物线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设点的坐标为，利用导数求得抛物线在点处的切线斜率，利用直线垂直时斜率的关系求解即可．.【详解】抛物线的焦点为，设点的坐标为，抛物线方程变形为，由，所以抛物线在点处的切线斜率为，由抛物线在点处的切线与直线垂直，得，即，所以.因为点在线段上，所以，所以，解得，所以抛物线的方程为.故选：D2.（2022上·江苏连云港·高二校考期中）过抛物线上定点作圆的两条切线，分别交抛物线于另外两点、，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设过点且与圆相切的直线的方程为，根据该直线与圆相切求出的值，设点、，求出、的值，求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】圆的圆心为，半径为，易知轴，所以，直线、的斜率必然存在，设过点且与圆相切的直线的方程为，即，由题意可得，解得，设点、，不妨设直线、的斜率分别为、，则，可得，同理，可得，直线的斜率为，易知点的坐标为，所以，直线的方程为，即.故选：B.3.（2022·河南·校联考模拟预测）已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（

）A． B．1 C．16 D．【答案】B【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设，然后求出并化简，然后求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4，则，即抛物线，则.设，则.由，则，所以，，因为点在这两条直线上，所以，于是点A,B都在直线上，即，代入抛物线方程并化简得：，由根与系数的关系可知.于是.故选：B.4.（2022·四川凉山·统考）抛物线，直线与交于（左侧为，右侧为）两点，若抛物线在点处的切线经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直线与抛物线方程联立可求得点坐标，利用导数可求得抛物线在点处的切线斜率，由切线斜率可构造方程求得.【详解】联立，解得：或，，由抛物线方程得：，，，，解得：.故选：D.5.（2022下·山西运城·高二统考阶段练习）过点P作抛物线的切线，切点分别为，若的重心坐标为，且P在抛物线上，则D的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数求出切线方程，联立方程求出，再由重心坐标公式的得出，最后由求出D的焦点坐标.【详解】设，，由可得故，即①，同理②联立①②可得，则所以，即，解得故，则，D的焦点坐标为故选：A【题型十】面积最值1.（2021上·福建南平·高二统考阶段练习）直线与抛物线相交与两点，若(是坐标原点），则面积的最小值为（

）A．32 B．24 C．16 D．8【答案】C【分析】由题意，设直线的方程，与抛物线方程联立求出点的坐标，同理求出点的坐标，再根据三角形的面积公式及基本不等式即可求解．【详解】解：由题意，设直线的方程为，联立，解得，因为是坐标原点），所以设直线的方程为，同理可得，所以面积，当且仅当时取等号，所以面积的最小值为16.故选：C．2.（2022上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知抛物线，过的直线与抛物线交于两点，则(其中为坐标原点）面积的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】设，，当斜率存在时，设直线方程为，与抛物线方程联立得，，利用弦长公式和距离公式得到的面积，求面积的最小值即可，注意讨论不存在的情况.【详解】当直线的斜率不存在时，此时的方程为，所以，，当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线方程可化为，设，，则，，所以，又因为点到直线的距离，所以，综上所述（其中为坐标原点）面积的最小值是1，故选：B3.（2022·全国·高二专题练习）如图所示，过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦,交抛物线于A、B两点．则△AOB面积的最小值为．【答案】4p2【分析】第一步设出直线AB，会得到恒过定点，第二步面积拆分：，就会得到面积的最小值.【详解】解：设设出直线AB的方程，联立得根与系数的关系得：，代入直线因为所以得得所以直线，恒过由题意画图如下：AB恒过定点M．所以又，所以因为，于是.故S△AOB的最小值为4p2．故答案为：4p2.4.（2020·全国·高二假期作业）已知、为抛物线上异于原点的两点，且满足(为抛物线的焦点)，延长、分别交抛物线于点、，则四边形面积的最小值为【答案】【解析】设、，直线的斜率一定存在，有对称性不妨设，方程，代入抛物线方程后应用韦达定理得，由弦长公式求得弦长，同理求得弦长（直线斜率为），计算四边形面积为，用基本不等式求得最小值．【详解】设、，则直线的斜率一定存在，有对称性不妨设，过焦点，则直线方程，代入抛物线化简得，，，，∵，则直线的斜率，从而的方程为，同理，，当时等号成立，∴四边形面积的最小值为.故答案为：321.（上海市松江二中2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题）动点P在曲线上移动，则点P和定点连线的中点的轨迹方程是________．【答案】【分析】设，且点P和定点连线的中点为，由，且，消去参数即可求出结果.【详解】设，且点P和定点连线的中点为，则，且，所以，因此，即，所以点P和定点连线的中点的轨迹方程是，故答案为：.2.2.（2021上·黑龙江大庆·高二铁人中学校考阶段练习）若抛物线的焦点到准线的距离为，则实数.【答案】【分析】先把抛物线的方程化成标准方程，运用a表示出p，进而求得结果.【详解】抛物线，即，∴，∴当时，，当时，，∵焦点到准线的距离为2，∴或，解得，故答案为：.3.（2023·浙江·校联考）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】根据抛物线的定义可得，结合图象分析求解.【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线，设动点直线的距离分别为，点到直线的距离分别为，则，可得，当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立，动点到直线直线的距离之和的最小值是3.故选：B.4.（内蒙古赤峰二中2022届高二上学期第三次月考数学（文)试题）抛物线的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为__________．【答案】1【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【详解】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|。在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab。配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故答案为：1．5.（湖北省孝感市部分校2022-2023学年高二上学期联考数学试题）已知拋物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，于点B，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图示，求出抛物线的准线和焦点，利用抛物线定义可知，可推出，从而求得，解直角三角形即可求得答案.【详解】设抛物线准线与x轴交点为D，焦点，由于点A在C上，，故,因为，所以，而x轴，所以,而,所以，故选：B6.（四川省广安市2021-2022学年高二下学期“零诊”考试数学（理）试题）已知O为坐标原点，F是抛物线的焦点，P为抛物线上一点，且，则（

）A