专题12等比数列性质及应用归类 （原卷版）

专题12等比数列性质及应用归类一、巩固提升练【题型一】等比数列定义：构造等比【题型二】等比数列“高斯”积【题型三】“纠缠数列”【题型四】比值型不定方程【题型五】等比数列特性：前n项积【题型六】等比数列与1比较型不等式判断【题型七】插入数型等比【题型八】等比数列单调性【题型九】等比数列恒成立求参【题型十】等比数列下标数列【题型十一】等比数列求范围型【题型十二】等比数列与三角函数综合二、能力培优练热点【题型一】等比数列定义：构造等比知识点与技巧：.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：（1）（为常数）型递推式可构造为形如的等比数列.；（2）当出现时，用累乘法求解.（3）（为常数）可以取倒数，构造新的递推公式即型，解法回归到构造等比数列技巧中（4）（为常数，下同）型递推式，可构造为形如的等比数列1.（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为.2.（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，若，，则．3.（2021秋·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知数列满足，，则.4.．（2021春·江西抚州·高一统考阶段练习）数列的前项和满足，则数列的通项公式.5.（2020春·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校考阶段练习）数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为.【题型二】等比数列“高斯”积知识点与技巧：等比数列等比中项具有“高斯”积技巧若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.1.（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知等比数列的前项积为，若，则（

）A． B． C． D．2.（2010·全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=A． B．7 C．6 D．3.（2023·全国·高二专题练习）在等比数列中，，且，，则等于（

）A．6 B． C． D．4.（2023·全国·高二专题练习）设正项等比数列的前项和为，，，若数列的前项积有最大值，则当取得最大值时，的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．5或65.在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【题型三】“纠缠数列”知识点与技巧：纠缠数列等差数列某些项（包括复合型）成等比，或者等比数列某些项成等差，称之为“纠缠数列。纠缠数列处理思维1.如果是等差数列中某些项成等比，则设公差和首项，解方程2.如果是等比数列中某些项成等差，则设公比和首项，解方程1.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（

）A．29 B．31 C．33 D．362.已知数列为等比数列，且，数列为等差数列，为等差数列的前n项和，，则（

）A． B． C． D．﹣43.已知等比数列是递增数列，若，且，，成等差数列，则的前4项和（

）A．4 B．40 C．4或40 D．154.已知实数b为a，的等差中项，若，b，成等比数列，则此等比数列的公比为（

）A． B． C． D．5.等比数列，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前10项和（

）A． B． C． D．【题型四】比值型不定方程1.设等比数列的前项和为，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．42.已知数列为各项都是正数的等比数列，，则（

）A．3 B． C． D．3.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（

）A． B． C．3 D．44.等比数列的前项和为，若，则（

）A． B．8 C．1或 D．或5.设等比数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【题型五】等比数列特性：前n项积知识点与技巧：类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：1.n=1，得a12.n时，所以1..已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（

）A．10 B．8 C．6 D．42.等比数列的前项之积为，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．43.已知等差数列，等比数列的前n项和之积为，设等差数列的公差为d、等比数列的公比为q，则以下结论正确的个数是（

）①

②

③

④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.已知{}为等比数列，，公比.若是数列{}的前n项积，则取最大值时n为（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或65.已知{}为等比数列，，公比.若是数列{}的前n项积，则取最大值时n为（）A．3 B．4 C．3或4 D．4或5【题型六】等比数列与1比较型不等式判断1.（2023春·高二课时练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（

）A．q>1B．C．D．是数列中的最大项2.（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最小正整数的值为40423.（2022·高二课时练习）在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．64.（2023·全国·高二专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（

）A． B．C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值5.（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）设是公比为的等比数列，其前项的积为，并且满足条件：，，．给出下列结论：①；②；③；④使成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【题型七】插入数型等比1.将等比数列按原顺序分成1项，2项，4项，…，项的各组，再将公差为2的等差数列的各项依次插入各组之间，得到新数列：，，，，，，，，，，…，新数列的前项和为．若，，，则S200=（

）A． B． C． D．2.若在1和16中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比为（

）A． B．2 C． D．43.已知数列的通项公式为，在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…在和之间插入n个数，使成等差数列．这样得到一个新数列：，记数列的前项和为，有下列结论：①②③④其中，所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44.已知等比数列的首项是1，公比为3，等差数列的首项是-5，公差为1，把中的各项按如下规则依次插入的每相邻两项之间，构成新数列：，，，，，，，，，，…，即在和两项之间依次插入中n个项，则（

）A．1950 B．1951 C．1952 D．19535.在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是A． B． C． D．【题型八】等比数列单调性1..已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（

）A． B． C． D．2.若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．3.设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5.如果是公比为q的等比数列，为其前n项和，那么“”是“数列为单调数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【题型九】等比数列恒成立型求参1.（2021·江苏·高二专题练习）设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（

）A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列C．恒成立 D．2.（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3.（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，，是公比为的等比数列，记，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4.（2021·甘肃武威·武威第六中学校考模拟预测）已知等比数列中，，若恒成立，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．5.（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知是数列的前n项和，则“对恒成立”是“是公比为2的等比数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【题型十】等比型下标数列1.（2021·全国·高二专题练习）已知递增数列对任意均满足，记，则数列的前项和等于A． B． C． D．2.已知数列中，，且（），则（

）．A． B． C． D．3.已知数列是以1为首项，3为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，设，，当时，n的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．74.已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则A． B． C． D．【题型十一】等比数列求范围型1.（2020秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考开学考试）设，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的取值范围为（

）A． B．C． D．2. （2019·浙江·高二专题练习）设实数成等差数列，且它们的和为，如果实数成等比数列，则的取值范围为A． B． C． D．3.（2022·河北·高二阶段练习）在圆内，过点有三条弦的长度成等比数列.则其公比的取值范围（

）.A． B．C． D．4.（2019·浙江·高三校联考开学考试）设实数成等差数列，且它们的和为9，如果实数构成公比不等于的等比数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5.（2017秋·湖南岳阳·高二岳阳一中阶段练习）三个数成等比数列，若有成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【题型十二】等比数列与三角函数综合知识点与技巧：中，，，或，，三边成等比，意味着角，熟记此结论可以提高解小题的时间.1.（2022·安徽池州·高一阶段练习）△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为A． B． C． D．2.（2022·辽宁·高二练习）在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边a、b、c成等比数列.则的取值范围是.A．(0,+∞) B． C． D．3.（2023春·辽宁·高二辽师大附中校考阶段练习）设△ABC的内角的所对的边成等比数列，则的取值范围是A． B．C． D．4.（2022春·重庆·高二统考）设△ABC的内角的对边分别为，则角B的取值范围是A． B． C． D．5.（2022·全国·高二专题练习）已知中，，，成等比数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．培优练1.（2021·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，若，则数列的通项公式为．2.（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列满足，则（

）A． B． C． D．33..已知数列是等差数列，若，，依次构成公比为q的等比数列，则（

）A． B． C．1 D．24.正项等比数列满足，，成等差数列，则（

）A．或－1 B．或1 C． D．5.等比数列的前项和为，前项积为，，当最小时，的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．66.（2023春·辽宁·高二校联考期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项不正确的是（

）A．为递减数列 B．C．是数列中的最大项 D．7.在1和256中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比为（

）A．±2 B．2 C． D．48.已知数列满足，，设，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．9.（2021·高二课时练习）已知，数列为等比数列，，数列的前n项和为，若对