小学奥数教程之-概率 教师版 全国通用（含答案）

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珊M昨藉目混

“统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，兼有应用性和趣味性，其内容及延伸

贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容.

1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题.

2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题.

3.理解和运用概率性质进行概率的运算.

一'概率的古典定义

如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；

⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的.

这样的试验，称为古典试验.对于古典试验中的事件A,它的概率定义为：P（A）=—,〃表示该试验中

n

所有可能出现的基本结果的总数目，机表示事件4包含的试验基本结果数.小学奥数中所涉及的概率都属于

古典概率.其中的，〃和“需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出.

二、对立事件

对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件

如果事件A和B为对立事件（互斥事件），那么A或3中之一发生的概率等于事件A发生的概率与事件3

发生的概率之和,为1,即：P（A）+P（B）=1.

三、相互独立事件

事件A是否发生对事件8发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.

如果事件A和8为独立事件，那么A和8都发生的概率等于事件A发生的概率与事件8发生的概率之

积，即：P（4.B）=尸（A>P（B）.

模块一、概率的意义

【例11气象台预报“本市明天降雨概率是80%”.对此信息，下列说法中正确的是

①本市明天将有80%的地区降水.②本市明天将有80%的时间降水.

③明天肯定下雨.④明天降水的可能性比较大.

【考点】概率的意义【难度】1星【题型】填空

【关键词】希望杯，决赛

【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间.80%的概率也不是指肯定

下雨，100%的概率才是肯定下雨.80%的概率是说明有比较大的可能性下雨.

【答案】④

［例2］约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次.......这样轮流掷下去.若约翰连

续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分.若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币

的正面向上，则记1分，否则记（）分.谁先记满1（）分谁就赢.赢的可能性较大（请填

汤姆或约翰）.

【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题

【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。约翰

扔的话，两种情况记1分，两种情况记。分；汤姆扔的话三种情况记1分，一种情况记。分。所以

汤姆赢得的可能性大。

【答案】汤姆

［例3］在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞

200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么

请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？

【考点】概率的意义【难度】2星【题型】解答

【解析】200尾鱼中有25条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为25+200=0.125,

所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0.125,池塘中鱼的数量约为100+0.125=800尾.

【答案】800

［例4］一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9,小光、小亮两人随意往桌面上扔

放这个木块.规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分.当小亮扔时，如果朝上的

一面写的是奇数，得1分.每人扔100次，得分高的可能性比较大.

【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空

【解析】因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较

大，即小亮得分高的可能性较大.

【答案】小亮得分高的可能性较大

［例5］一个骰子六个面上的数字分别为0,1,2,3,4,5,现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依

次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是.

【考点】概率的意义【难度】4星【题型】填空

【解析】掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）.当总点数是8时，

再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大.当总点数在9至12之间时，再掷一次，

总点数是13的可能性不比总点数是14,15,16,17的可能性小.

例如，总点数是11时，再掷一次，出现0〜5的可能性相同，所以总点数是11〜16的可能性相同，即

总数是13的可能性不比总数点数分别是14,15,16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性

最大.

【答案】总点数是13的可能性最大.

【例6］从小红家门口的车站到学校，有1路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆.小

红到车站后，只要看见1路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后3分钟就来

9路车，而9路车过去以后7分钟才来1路车.小红乘坐______路车的可能性较大.

车的可能性较大.

【答案】1路车的可能性较大

模块二、计数求概率

［例7］如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿制轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______.

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】填空

【解析】每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为,、

1648

11

~~、•

416

【答案】左至右落到底部的概率依次为工、3、

1648416

［例8］一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2、3、5、7、9

五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五

个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是.

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】填空

【解析】警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是2、3、5、7、9中的任何一个，有5种可能，

第二位数字有4种可能，……，第五位数字有1种可能，所以一共有5x4x3x2x1=120种可能，则

输入正确车牌号的可能性是.

120

［例9］分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少？

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答

【解析】根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有6x6=36.

将点数为6的情况全部枚举出来有：

（1,5）（2,4）（3,3）（4,2）（5,1）

点数之积为6的情况为：

（1,6）（2,3）（3,2）（6,1）

两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是▲;

36

41

点数之积为6的概率为3.

369

【答案】（1）—,（2）-

369

【例10］甲、乙两个学生各从0〜9这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的

差不超过2的概率，⑵两个数字的差不超过6的概率.

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答

【解析】⑴两个数相同（差为0）的情况有10种，

两个数差为1有2x9=18种，

两个数的差为2的情况有2x8=16种，

所以两个数的差不超过2的概率有1°+>+16=〃.

10x1025

（2）两个数的差为7的情况有2x3种.

两个数的差为8的情况有2x2=4种.

两个数的差为9的情况有2种.

所以两个数字的差超过6的概率有4生2=a.

10x1025

322

两个数字的差不超过6的^率有

2525

1172

【答案】(1)—,(2)—

2525

【例11】工厂质量检测部门对某一批次的10件产品进行抽样检测，如果这10件产品中有两件产品是次品，

那么质检人员随机抽取2件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是

次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答

［解析］从10件产品中选择2件一共有=45种情况.

所以这两件产品恰好都是次品的概率为」

45

两件产品中有一件次品的情况有C；x以=16种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为.

两件产品中都不是次品的概率有《=28种情况，所以两件产品都不是次品的概率为言.

【答案】(1)—,(2)—,(3)—

454545

【例12】一个班有女生25人，男生27人，任意抽选两名同学，恰好都是女生的概率是几分之几?

【考点】计数求概;率【难度】3星【题型】解答

【解析】从25名女生中任意抽出两个人有二^=300种不同的方法.

2

从全体学生中任意抽出两个人有红2.=1326种不同的方法.计算概率:300二50

21326~221

50

【答案】

22?

【例13】从6名学生中选4人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答

6x5x4X4

【解析】法一：从6名学生中选4人的不同组合有=15种.

4x3x2x1

其中，4人中包括甲的不同组合相当于在5名学生中选3人所以一共有上=10种.

3x2x1

in?

所以甲被选择上的概率为、=*.

153

法二：显然这6个人入选的概率是均等的.

即每个人作为一号选手入选的概率为！，作为二号入选的概率为L，作为三号入选的概率为,，

666

作为四号入选的概率为工，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是

6

互斥事件，所以他被入选的概率为工+,+,+!=2.

66663

2

【答案】-

3

［例14］一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点和半夜12点都显示为12:00.如

果在一天(24小时)中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是.

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级，1试，第8题

【解析】一天当中，手表上显示的时刻一共有12x60=720种.

其中冒号之前不出现1的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种，

冒号之后不出现1的情况有（6-1）x00-1）=45种，

所以不出现1的情况有45x8=360种.

所以至少看到一个数字“1”的情况有720-360=360种，

所以至少看到一个数字“1”的概率为驰=工种.

7202

【答案】-

2

【例15】从立方体的八个顶点中选3个顶点，你能算出：

⑴它们能构成多少个三角形？

⑵这些三角形中有多少个直角三角形？

⑶随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？

【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答

【解析】从8个顶点中任取3个顶点都能构成三角形，所以应该有8x7x6+（3x2xl）=56j.

如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有8个

不是直南三角形.

所以直角三角形共有56-8=48个.

构成直角三角形的可能性有史=9.

567

【答案】（1）56,（2）48,（3）-

7

【例16】一个标准的五角星（如图）由10个点连接而成，从这10个点随机选取3个点，则这三个点在同一

条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？如果选取4个点，则这四个点恰好

构成平行四边形的概率为多少？

【考点】计数求概率【难度】4星【题型】解答

（解析】10个点中任意取3个的情况为10x9x8=120种，

3x2x1

其中涉及到5条直线，每条直线上各有4个点，其中任意3点都共线，所以取这3点不能够成三

角形，这样的概率是垩所以3点构成三角形的概率为1-』=2.

120666

10个点中取4个点的情形为端J°X9X8X7=2]0种,10个点中平行四边形有10个，所以构

4x3x2x1

成平行四边形的概率为t=_L.

21021

【答案】（1）（2）（3）—

6621

【例17]如图9个点分布成边长为2厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为1厘米），在这9个点中任取

3个点，则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为工平方厘米的三角形的概

2

率为多少？构成面积为I平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为3平方厘米的概率为

2

多少？构成面积为2平方厘米的三角形的概率为多少？

【考点】计数求概率【难度】4星【题型】解答

［解析】从9个点中任取3个点一共有d=9x8x7=84种情况.

'3x2x1

三个点共线一共有3+3+2=8种情况.

«1Q

所以三个点能够成三角形的概率为1-上_=上.

8421

9个点中能构成面积为'的三角形一共有4x4+4x4=32种情况.

2

所以三个点能够成面积为-平方厘米的三角形的概率为—=—.

28421

9个点中能够成面积为1平方厘米的三角形的情况有4x6+8=32种情况.

所以三个点能够成面积为1平方厘米的三角形的概率为二=9.

8421

9个点中能够成面积为1平方厘米的三南形的情况有4种情况.

2

所以三个点能够成面积为3平方厘米的三角形的概率为巴

28421

9个点中能够成面积为2平方厘米的三角形的情况有8种情况.

所以三个点能够成面积为2平方厘米的三角形的概率为色=2.

8421

2

【答案】(1)—,(2)—,(3)—,(4)—,(6)

212121212?

【例18】甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中

选择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少？

【考点】计数求^率【难度】4星【题型】解答

【解析】对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有3种可能，

所以四次传球的总路线有34=81种可能，每一种之间都是互斥的等概率事件.

而恰好传回到甲的情况，以第一步为甲t•乙为例有如下7种情况：

'/一乙一甲

_＞甲＜_＞丙一甲

f丁一甲

f丁

〔一内f甲

3x77

所以第4次传回甲的概率为二二4.

8127

7

【答案】—

27

模块三、对立事件与相互独立事件

［例19］一张圆桌旁有四个座位，A、B、C、。四人随机坐到四个座位上，求A与B不相邻而坐的概率.

【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答

【解析】四人入座的不同情况有4x3x2x1=24种.

4、8相邻的不同情况，首先固定A的座位，有4种，安排3的座位有2种，安排C、。的座位有2

2

种，一共有4x2x2=16种，所以A、3相邻而座的概率为16+24=—，那么A、3不相邻而座的概

3

率为1—42」1

33

【答案】-

3

【例20】某小学六年级有6个班，每个班各有40名学生，现要在六年级的6个班中随机抽取2个班，参加电

视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，将抽取4名幸运观众，那么六年级学生小宝成为幸

运观众的概率为多少？

【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答

「15I

【解析】小宝所在班级被抽中参加娱乐活动的概率为m=二=-,如果小宝参加了娱乐活动，那么小宝成为

Q153

幸运观众的概率为」一=」-,所以小宝成为幸运观众的概率为

40x22032060

【答案】—

60

【例21】从装有3个白球，2个黑球的口袋中任意摸出两球，全是白球的概率.

【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答

c5x4

【解析】法一：5个球任意取出两个有=10种情况，互相之间都是互斥事件，且由现概率均等，而

2x1

a》,a

两个球都是白球有C；=~=3种情况，全是白球的概率为

32x110

3

法二：将摸出两个球视作两次行为，摸出第一个球是白球的概率为g,再摸出一个白球的概率为

—=-,所以两次摸出两个白球的概率为3x^=2.（建议讲完独立事件再讲这一方法）

5-125210

3

【答案】—

10

【例22】A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只

有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表,

那么这六人被抽中的概率分别为多少？

【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答

【解析】A抽中的^率为工，没抽到的概率为之，如果A没抽中，那么8有」的概率抽中，如果A抽中，那

665

么8抽中的概率为0,所以8抽中的概率为3x1='.

656

同理，c抽中的概率为9x±x，=J_,。抽中的概率为2xgx3x!=L,

654665436

543211543211

£（抽中的概率为二x—x二x—x—=—,产抽中的概，率为二x—x二x—x—xl=—.

654326654326

由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.

【答案】六个人抽中的概率相同为1

6

【巩固】如果例题中每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概

率为多少？

【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答

51111511111

【解析】抽中的概率依次为：—>—X—>—X—X—>—X—X—X——X—X—X—X—、—X-X—X—X—X—,

666666666666666666666

在这种情况下先抽者，抽中的概率大.

51111

【答案】抽中的概率依次为：-X-.-X-X-.—X—X—X—X—、—X—X—X—X—X—

666666666666666666666

在这种情况下先抽者，抽中的率大.

【例23］在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀(互不影响)的概率为，，，考试结束后，最容易出现几个

人优秀？

【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答

【解析】注意他们的优秀率是互不影响的.

三人都优秀的概率是0.5x0.4x0.2=0.04,

只有甲乙两人优秀的概率为0.5x0.4x(l-0.2)=016,(或0.5*0.4—0.(M=0.16).

只有甲丙二人优秀的概率0.5x(l-0.4)x0.2=0.06,

只有乙丙二人优秀的概率(1-0.5)x04x0.2=0.04,

所以有两人优秀的概率为0.16+0.06+0.04=0.26,

甲一人优秀的概率0.5x(l-0.4)x(l-0.2)=0.24,

乙一人优秀的概率(1-0.5)x04x(1-0.2)=0.16,

丙一人优秀的概率(l-0.5)x(l-0.4)x0.2=0.06,

所以只有一人优秀的概率为0.24+0.16+0.06=0.46

全都不优秀的概率为(1-0.5)(1-04)(1-0.2)=0.24,

最容易出现只有一人优秀的情况.

【答案】1个人优秀

【巩固】在某次的考试中，甲、乙两人优秀(互不影响)的概率为,，考试结束后，只有乙优秀的概率为多少？

【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答

【解析】只有乙优秀的概率为0.4x(l-0.5)=0.2.

【答案】0.2

【例24】某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为40%,如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部

射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少？

【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答

【解析】⑴全部射中靶心的概率为0.4x0.4x0.4=0.064.

(2)第一箭射中，其他两箭射空的概率为0.4x(l-0.4)x(1-0.4)=0.144.

第二箭射中，其他两箭射空的概率为0.4x(l-0.4)x(l-0.4)=0.144.

第三箭射中，其他两箭射空的概率为0.4x(l-0.4)x(l-0.4)=0.144.

有一箭射中的概率为0.144+0.144+0.144=0.432.

(3)第一箭射空，其他两箭射中的概率为(1-0.4)x0.4x0.4=0.096.

第二箭射空，其他两箭射中的概率为(1-0.4)x0.4x0.4=0.096.

第三箭射空，其他两箭射中的概率为(1-0.4)x04x0.4=0.096.

有