小学奥数数论模块-余数问题

模块一化除为乘

田3知识剖析，毋涉.

在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。当不能整除时，就会产生余数。

余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一

起了。余数有如下一些重要性质：

被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数；

除数=（被除数一余数）一商；

商=（被除数一余数）邛余数；

余数小于除数。

理解这些性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能

够被除数整除了。在一些题目中，因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我

们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。

“4例1

・—一

完成下列填空：

17^5=0LL□

□+6=13LL4

79+d=9LL7

113+[]=12LL□

Z4例2

■_一・

两个数相除，商是7,余数是5；如果两个数相加，和是69,那么这两个数分别是多少？

W练一练

两个自然数相除，商是7,余数是3,已知被除数、除数、商与余数之和为53,则被除数

是多少？

亍金）模块二余数的特征

>----------------——海。.知识剖析飞

我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整

除特性。这些数的整除特性稍加改造，即可成为求解余数的一类简便算法：

♦特性一：一个数除以2或5的余数，等于这个数的个位数字除以2或5的余数；

一个数除以4或25的余数，等于这个数的末两位数除以4或25的余数；

一个数除以8或125的余数，等于这个数的末三位数除以8或125的余数；

♦特性二：一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字和除以3或9的余

数；

一个数除以99（包括11、33）的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数。

♦特性三：（1）一个数除以11的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和所得的

差除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则加上若干个II再减即可；

（2）一个数除以7、11和13的余数，等于将它从个位开始三位截断之后，奇数段之和

减去偶数段之和所得的差除以7、11和13的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，

则加上若干个1001再减即可。

<------------------------------------------少

4、例3

-----

计算34567除以3、4、5、9、99的余数.

〃练一练

计算876543除以2、4、5、9、99的余数.

例4

计算123456789除以7、11的余数.

的练一练

计算87654321除以7、11的余数.

模块三余数的性质与应用

钱涿知识剖析

比较探索一些除法算式的结果，我们发现余数还有一些很好的性质:

和的余数等于余数的和

差的余数等于余数的差

积的余数等于余数的积

【例】计算33+37x15-80的结果除以7的余数。

每个数都用它除以7的余数替换，用这些数字的计算

结果除以7得到的余数就是答案。

需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时

还需要注意：

(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数。

例如：在计算423+317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和“，结果就变成了

3+5=8,

8>6,所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423+317除以6最后的余数。再比如

在计算423x317除以6的余数时，也会遇到3x5=15>6的情况，同样的还需要计算15除以

6的余数是3,才是最终的结果；

(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即

可。例如：在计算423-317除以6的余数时，会发现结果变成了3-5不够减。此时，只要

再加上6,用6+3-5=4来计算即可。

£\例5

・一

(1)求23456789+3456789的结果除以9的余数；

(2)求23456789x3456789的结果除以9的余数；

(3)求36x37x38+39x40x41的结果除以7的余数.

伊练一练

(1)求4164『除以9的余数.

⑵求224468x6678除以7的余数.

ari例6

将假分数5°x51x52x53x54x55化成带分数后,真分数部分是多少？

7

4、

(1)若已知358除以7的余数是4,那么3”除以7的余数是,3即除以7的余数是

(2)分别求出3、32>3\3”、3\3\3\3s、3\对除以7的余数;

(3)发现规律，并求出3心除以7的余数.

C随堂练习

练习1.完成下列填空：

89+6=|jLL□

□+7=12LL5

95+[]=8LL7

330+|J=19LL□

练习2.两个数相除，商是9,余数是4,两个数如果相加，和是54,求这两个数的积.

练习3.求684597除以3、5、9的余数.

练习4.求587964除以7、11的余数.

练习5.求23x24x25x26x27x28x29x30x31的结果除以7的余数.

G思维提升

提升1.两数相除，商3余4,如果被除数、除数、商及余数相加的和是243,则被除数

是？

提升2.求24587x