新教材人教A版高中数学必修一对数的运算 同步练习（含解析）

4.3.2对数的运算

【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）

一、单选题

1.下列等式成立的是（）

21

A.log23-Iogz3=6B.log2-=痴^

C.log2V3=|log23D.log26-log23=log23

2.logs6-log67-log78-log89•logCO的值为（）

A.1B.1g5C.AD.1+1g2

3.已知3a=5〃=M,且3+：=2,则M的值为（）

A.15B.V15C.3D.5

4.计算（logJO•（logi625）=（）

A.2B.1C.；D.7

5.已知ab=M（a>0,b>0,MH1）,且log^b=%，则log”。的值为（）

A.

1—xB.1+%C.~XD.x—1

6.若3a=2,则10g38-210936的值为（）

A.a—2B.5a—2C.3a—（1+a）2D.3a—a2

7.设函数/（x）=logax（a>0且a丰1）,若f=8,则f（好）+f（玲+/（诏）的值为（）

A.4B.8C.16D.2loga8

8.若方程（均%）2+（均5+仞7）・炉+仞5」97=0的两根为心/?,贝！|印的值为（）

A.Ig7-lg5B.Ig35C.35D.2

9.已知Iogm27,log94=6,则加的值为（）

A.4B.3C.2D.V2

10.若lg2=a,lg3=b,则logsl2的值为（）

A2a+bBQ+2bQ2a+b口Q+2b

*1+a•1+a•1-a*1-a

11.设log34-log48-log8m=log416,则m的值为（）

A.2B.9C.18D.27

12.若实数a,b,C满足2a=3"=6^=2020,则下列式子正确的是（）

1,121,12

AB.~+l=~C.-+^=-=一

A・门，abcabcD.-2-a---1---2-b-c

二、多选题

13.若a>0,aHl,x>0,y>0,x>y,下列式子错误的为()

A.logax-logay=loga(x+y)B.logax-logay=loga(x-y)

C.loga：=logaX+logayD.loga(xy)=logax♦logay

14.(多选)设x,y为非零实数，a>0且aK1,则下列式子正确的是()

22

A.logax=2logaxB.logax=2loga\x\

C.loga|xy|=loga|x|-loga|y|D.loga用=loga|x|-loga|y|

三、填空题

15.已知log??=a,log37=b,则log??=(用a,人表示).

16.设/gx+Igy=21g(x-2y),贝ijlogj的值为.

17.计算：Ig24+lg225+8，g2仞5=.

18.计算：

⑴9声g34

(2)51+10gs2=

（3）21叫3=

19.(1)计算：(log23+Iog427)(k)g34+log98)=

（2）计算：。咤25+1咤4125）济=

20.已知f(3如)=4以。如3+233,则f(2)+f(4)+/(8)+f(16)=

四、解答题

21.化简下列各式.

(l)41g2+31g5-lg1;

l+ilg9-lg240

⑷1-婚7+喏

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22.计算.

5

(l)|log28-ilog39+log232；

(2)log7^+log2128；

(3)logv59+log927+(］叫近

2

23.⑴设lg〃i,lg〃是方程x2-3x+l=0的两根，求（lg；）的值.

(2)已知a+b=(02)3+(05)3+3lg2-IgS,求3ab+a3+户的值.

24.设x,y,z均为正实数，且3x=4，=6z.

(1)试求x,y,z之间的关系.

(2)求使2x=py成立，且与p的差的绝对值最小的整数.

(3)比较3x,4y,6z的大小.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查对数的运算性质，本题解题的关键是熟练应用对数的性质.根据对数的运算性质依次判断可得答案.

【解答】

2

A.log23-log23=(log23),故A错误;

s.log2-=log22-log23=1-log23,故B错误；

C.log2-\/3=log232=^log23>故C正确；

£>.log26-log23=log2(6+3)=log22=1,故。错误.

故选C

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查换底公式的应用，关键是利用换底公式1。8£^=瞿?(，>0,。力1)把题中对数换为以10为底的对

数，然后通过约分即可.是容易题.

【解答】

解：logs6-log67.log78log89.log*=魄x烁x署xjgx翳=等=表.

故选C.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查对数的运算性质，关键掌握性质，并学会对数式与指数式的互化，是基础题.

【解答】

fc

解：因为3a=5=M>0,则a=log3M,b=log5M,

则有:=logM3,i=logM5.

又;+"=2,故logM3+log“5=2.即log^lS=2,故M=

故选艮

4.【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了对数与对数运算的相关知识，试题难度容易

【解答】解：(logs4).(1。-25)=霏x霹=鬻x需=1.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查对数运算的基本性质，属于基础题，

可以直接求解.

【解答】

根据题意，WlogM(ab)=logMa4-logMb=logMM=1,

又log“b=x,于是得到log”。=1一x,

故本题选项为A.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数及其性质、对数与对数运算，先表示出a=log32,结合对数的运算性质，从而得到答

案.

【解答】

解：；3a=2,二a=log32,

•••log38—220g36=3log32-2(log32+1)=3a—2(a+1)=a-2.

故选A.

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7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查对数函数的基本运算性质，可以利用对数运算直接求解，属于基础题.

【解答】

根据题意，有f(X1X2X3)=loga(XiX2%3)=10gaXi+logaX2+logaX3=8,

于是根据对数运算性质容易得到/'(*)+f(据)+/(%3)=2(logax1+logax2+logax3)=2X8=16,

故选C.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题的考点是对数的运算性质，考查利用根与系数关系与对数的运算法则求值，属于基础题.

由题可得，ga,仞0二次方程/+(05+仞7)%+国5」97=0的两个根，得出对数关系,并化简即可.

【解答】

解：方程Qgx)2+(lg5+lg7)-Igx+IgS-lg7=0的两根为a、0,

Iga,匈夕是一元二次方程/+(仞5+lg7)x+lg5-lg7=0的两根,

Iga+lgB=7g5+lg7),

・•・IgaB=-Eg35,

・•・a・。的值是总

故选。.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了对数的运算，考查计算能力，属于基础题.

利用对数的运算法则，结合换底公式求解即可.

【解答】

解:logm27-logg4=6,

可得310gm3,1。。32=6,

即：logm3-log32=2,

可得logm3=210g23=log低3,

所以m=V2>

故选D.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了对数的运算，熟练掌握对数的换底公式和对数的运算性质是解题的关键.利用换底公式和对数

的运算性质即可算出.属于基础题.

【解答】

解：因为Ig2=a,lg3=b,

故选C.

11.【答案】B

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题主要考查了对数的运算，属于较易题.

利用对数的运算公式直接求解即可.

【解答】

解：因为log34•log48,log8nl=log4，16,

2

则log3nl=Iog44-2,

2

BPlog3m=log33»解得m=9,

故选B.

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12.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查对数与对数运算，根据对数运算的运算性质进行求解即可.

【解答】

解：a=log22020,b=log32020^=log62020,!=$=赢*=31=赢，

所以工+；=2

abc

13.【答案】ABCD

【解析】

【分析】本题考查了对数与对数运算的相关知识，试题难度较易

【解答】解：因为a>0,a彳1,x>0,y>0.x>y,

所以：对于A、取x=3,y=1,

5lijlogax-logay=loga3-logal=0,

而loga(x+y)=10ga(3+1)=21oga2丰0,因此A错误；

对于8、因为logM-logaV=bgaj因此B错误；

对于C、因为loga]=logaX-logay,因此C错误；

对于D、因为loga(xy)=10gaX+logay，因此。错误.

故选ABCD.

14.【答案】8。

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是对数的运算性质，熟练掌握对数的运算性质及及其推论是解答对数化简求值类问题的

关键.属于较易题目.

【解答】

解：对于AlogaX?=2,ogalx|，所以A不正确，显然8正确；

对于Cloga|xy|=loga|x|+loga|y|,所以C不正确；

对于。由对数的运算性质，正确;

故选30.

15.【答案】ab

【解析】

【分析】

本题考查对数的运算性质，关键是利用对数的换底公式.是容易题.

【解答】

解：log27==log7Xlog3=ab.

*°63Z32

故答案为ab.

16.【答案】I

【解析】

【分析】本题考查了对数与对数运算的相关知识，试题难度一般

【解答】

解：由，gx+=2/g(x—2y),得

lg(xy)=lg(x—2y)2,因此孙=(x-2y)2,

即产-5xy+4y2=0,得,=4或,=1,

又rx>0,y>0,x-2y>0,二，K1,；•log；=L

17.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查了对数的运算，是基础题.直接根据对数的运算性质可得答案.

【解答】

解：lg24+lg225+81g21g5=lg24+lg2254-21g41g25

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=(lg4+lg25)2=(IglOO)2=22=4

故答案为4.

18.【答案】(1)4

(2)10

2

⑶5

【解析】

【分析】

本题考查了指数与指数基的运算、对数与对数运算，属于基础题.

【解答】

解：(1)原式=31^34=4.

(2)原式=5logsSx2=5logsl0=10.

(3)原式=2log25=

故答案为(1)4,(2)10,(3)|.

19.【答案】手；

44

【解析】

【分析】

本题考查对数的运算性质，(1)根据对数的运算性质，即可得到结果；(2)根据时数的运算性质，即可得到

结果。

【解答】

解：(l)(log23+log427)(log34+log98)=(log23+|log23)(2Zo532+|log32)

5735

=,log23--log32=—;

(2)。唯5+1叫125)蹲=(1哈5+|1唯5)•慝=|log52-ilog25=：

20.【答案】972

【解析】

【分析】

本题考查了用换元法求函数的解析式问题，是基础题.

设t=3x,用/表示x,求出/(t),即是f(x)的解析式.

【解答】

解：•••函数/(3乂)=4xlog23+233,

X

设t=3,则x=log3t,

•••/(t)=4log3tlog23+233

lotlg3

=4x为XN+233

lg3lg2

lot

=4x1+233

ig2

=410g2t+233,

即/'(t)=4log2t+233；

则f(2)+f(4)+/(8)+/(16)=4(log22+log24+log28+log216)+233x4=972.

故答案为972.

21.【答案】解：(1)原式=Ig24+lg53-lg(=lg(16x125+J=1g10000=4.

IglO+lg3Tg240=is-i，

(2)原式:=

lgl0-lg9+lgylg8

【解析】本题考查指数的运算，对数的运算性质，即对logaM-logaN=loga^,logaM+loga/V=

n

\ogaMN,\ogaM=nlogaM的考查.是基础题.

32

22.【答案】解：(I)^^=|log22-ilog33+|=|x3-ix2+|=l-i+|=^.

37

(2)原式=log7(7X7-3)+log22=3-|+7=拳

23-1log44

(3)原式=21og33+log323+(4)i6=4+1+4”'鼠)=4+1+16=合

【解析】本题考查对数的运算性质，解决问题的关键是熟练掌握各个性质，并学会合理使用.

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23.【答案】(1)解：根据题意，lg/n,1g〃是方程%2一3%+1=0的两根，利用一元二次方程根与系数的关

系，得到

pgm+Ign=3

(Igm-Ign=1，

2

于是有(lg；)=(Igm—Ign)2=(Igm+Ign)2—41gm-Ign=32-4=5:

(2)解：利用立方和公式(a+b>=a3+3a2b+3ab2+b3,

得到a+b=(lg2+lg5)3-31g2-Ig5(lg2+lg5-1)=1,

因此3ab4-a3+&3=(a+b)3—3ab(a+b-1)=1.

【解析】(1)本题主要结合一元二次方程根与系数关系，对数的化简运算，是基础题.

根据题意和一元二次方程根与系数的关系，容易得到Sm+，gn=3,Igm-Ign=1,再结合平方和公式有

(1g；)--(Igm—Ign)2=(Igm+Ign)2—