2022年高考数学二轮复习重难突破微专题(四)求代数式的最值

2022年高考数学二轮复习重难突破微专题(四)求代数式的最值汇报人：AA2024-01-26目录引言基础知识回顾代数式最值的求解方法典型例题解析高考真题链接备考策略与建议引言0101代数式最值是高考数学中的重要考点之一，涉及的知识点广泛，包括函数、导数、不等式等。02求解代数式最值能够培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。在高考中，代数式最值常常与其他知识点综合考查，如解析几何、数列等，因此掌握求解代数式最值的方法对于提高高考成绩具有重要意义。高考数学中代数式最值的重要性02代数式最值的常见类型及求解方法利用导数求最值通过求导数和判断函数的单调性来求解最值。利用基本不等式求最值通过运用基本不等式（如算术平均数-几何平均数不等式、柯西不等式等）来求解最值。一元二次函数的最值通过观察一元二次函数的开口方向和顶点坐标来求解最值。利用函数的单调性求最值通过判断函数的单调性，结合函数的定义域和值域来求解最值。利用数形结合思想求最值通过将代数式转化为几何图形，利用数形结合思想来求解最值。基础知识回顾0201代数式由数、字母和运算符号组成的数学表达式，如$ax^2+bx+c$。02代数式的值用数值代入代数式后得到的结果，如$x=2$时，$ax^2+bx+c=4a+2b+c$。03代数式的性质包括加法、减法、乘法和除法等基本性质，如交换律、结合律、分配律等。代数式的基本概念与性质代数式的四则运算01包括加法、减法、乘法和除法，需遵循相应的运算法则和运算顺序。02代数式的化简通过合并同类项、提取公因式等方法简化代数式，使其更易于计算和理解。03代数式的变形通过恒等变换等手段将代数式变形为另一种形式，以便更好地揭示其内在性质和规律。代数式的运算规则与技巧在一定范围内，代数式所能取到的最大值或最小值。代数式的最值最值的性质最值的求解方法包括存在性、唯一性、对称性等，这些性质有助于我们更好地理解和求解代数式的最值问题。通过求导、配方、基本不等式等手段求解代数式的最值，具体方法因题而异，需灵活掌握和运用。030201代数式最值的定义与性质代数式最值的求解方法03通过配方，将原式转化为完全平方的形式，从而利用非负性求最值。完全平方当原式无法直接配方时，可以尝试部分平方，即先对部分项进行配方，再整体处理。部分平方在配方的基础上，结合基本不等式（如均值不等式）求最值。配方与不等式结合配方法

判别式法一元二次方程判别式通过构造一元二次方程，利用判别式与最值的关系求解。多元二次方程判别式对于多元二次方程，可以通过消元法转化为一元二次方程，再利用判别式求解。判别式与不等式结合在利用判别式求最值时，可以结合不等式进行放缩处理。通过代数变换，将原式中的某些项用新变量代替，从而简化问题。代数换元对于含有根号或平方的式子，可以尝试用三角函数进行换元。三角换元当单一换元无法解决问题时，可以尝试复合换元，即同时引入多个新变量。复合换元换元法123利用基本不等式（如均值不等式、柯西不等式等）求最值。基本不等式通过构造新的不等式，将问题转化为更容易求解的形式。构造不等式在利用不等式求最值时，可以结合函数的单调性、奇偶性等性质进行综合分析。不等式与函数性质结合不等式法典型例题解析04解析首先，将函数$f(x)$化为顶点式$f(x)=(x-1)^2+2$，由此可知函数的对称轴为$x=1$。在区间$[-1,3]$上，函数的最小值出现在对称轴上，即当$x=1$时，$f(x)_{min}=f(1)=2$。题目求函数$f(x)=x^2-2x+3$在区间$[-1,3]$上的最小值。一元二次函数的最值问题求函数$f(x)=frac{x^2+2x+5}{x+1}$在区间$[0,+infty)$上的最小值。首先，对函数$f(x)$进行变形，得到$f(x)=x+1+frac{4}{x+1}$。利用基本不等式$(a+b)geq2sqrt{ab}$，得到$f(x)geq2sqrt{(x+1)cdotfrac{4}{x+1}}=4$。当且仅当$x+1=frac{4}{x+1}$，即$x=1$时，等号成立。因此，函数在区间$[0,+infty)$上的最小值为4。题目解析分式函数的最值问题题目已知$a>0$，求函数$f(x)=x^2-ax+a^2-2a+2$在区间$[0,a]$上的最小值。解析首先，将函数$f(x)$化为顶点式$f(x)=(x-frac{a}{2})^2+frac{3}{4}a^2-2a+2$。由此可知，函数的对称轴为$x=frac{a}{2}$。当$frac{a}{2}leq0$，即$aleq0$时（与题目条件矛盾，舍去），函数在区间$[0,a]$上单调递增，最小值为$f(0)$；当$frac{a}{2}geqa$，即$ageq0$时（符合题目条件），函数在区间$[0,a]$上单调递减，最小值为$f(a)$；当$0<frac{a}{2}<a$，即$0<a<2$时，函数在区间$[0,frac{a}{2}]$上单调递减，在区间$[frac{a}{2},a]$上单调递增，最小值为$f(frac{a}{2})$。综合以上三种情况，得到函数在区间$[0,a]$上的最小值为$min{f(0),f(frac{a}{2}),f(a)}$。含参数代数式的最值问题高考真题链接05历年高考真题回顾与解析（2021年全国卷I）已知函数$f(x)=x^2+ax+b$，若$f(x)$在区间$[-1,2]$上的最大值为$4$，最小值为$-1$，求$a,b$的值。解析：本题考查二次函数在给定区间上的最值问题。根据二次函数的性质，我们可以通过配方或者对称轴的方法求解。首先，将函数$f(x)$配方为$f(x)=(x+\frac{a}{2})^2+b-\frac{a^2}{4}$，然后根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，结合最值条件求解$a,b$的值。（2020年全国卷II）已知正实数$a,b$满足$a+b=1$，求$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值。解析：本题考查利用基本不等式求最值的方法。根据题意，我们可以将$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$转化为$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{4}{b})=5+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$，然后利用基本不等式$\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}$求解最小值。趋势分析从历年高考真题来看，求代数式的最值问题一直是高考数学的重点和难点之一。这类问题往往涉及到函数的性质、不等式、导数等多个知识点，综合性强，对学生的数学素养和思维能力要求较高。预测在未来的高考中，求代数式的最值问题仍然会占据重要的地位。预计会结合函数的性质、不等式、导数等知识点进行综合考查，同时可能会涉及到一些新的题型和解题方法。因此，学生在备考过程中需要加强对这些知识点的理解和掌握，同时注重培养自己的思维能力和创新意识。高考命题趋势分析与预测备考策略与建议0601熟练掌握代数式的基本概念和性质，如代数式的定义、代数式的值、代数式的相等与不等关系等。02熟练掌握代数式的基本运算，如加、减、乘、除、乘方和开方等，以及运算的优先级和结合律等。03提高运算速度和准确性，通过大量的练习和训练，达到熟练掌握代数式运算的程度。熟练掌握基础知识，提高运算能力加强代数思维训练，如代数式的变形、因式分解、配方、换元等，以及代数方程和不等式的解法等。提高分析问题和解决问题的能力，通过分析问题的本质和规律，运用代数知识和方法解决问题。培养创新意识和实践能力，通过探究性问题、开放性问题等，激发创