无锡市2021学年高二数学上学期期末考试卷附答案解析

无锡市2021学年高二数学上学期期末考试卷

一、单选题

1.已知直线乙：a广2y=0与直线乙：2A+（2a+2）产1=0垂直，则实数a的值为（）

A.-2B.—C.1D.1或-2

3

2.在平行六面体/戈力-4?q2中，然与切的交点为M设丽=万，布=5,不=^，则丽=（）

A.-^d+-^b+cB.a-^b+cC.^a+^b+cD.-^a-^b+c

3.在平面直角坐标系x%中，点（0,4）关于直线X-尸1=0的对称点为（）

A.（-1,2）B.（2,-1）C.（1,3）D.（3,1）

4.已知点8是4（3,4,5）在坐标平面x密内的射影，则I而|=（）

A.衣B.向C.5D.5&

5.已知圆G：（x—5）2+（y—3）~=9,圆。2：x?+y~—4x+2y—9=0,则两圆的位置关系为（）

A.外离B.外切C.相交D.内切

6.已知必是2与8的等比中项，则圆锥曲线片=1的离心率是（）

m

A.也或BB.73C.好D.G或好

222

22

7.椭圆三+2L=1的一个焦点为尸，过原点。作直线（不经过焦点尸）与椭圆交于力，8两点,若△力协

4520

的面积是20,则直线的斜率为（）

4345

A.i—B.±-C.士—D.士-

3454

8.1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中收录了一些有意思的问题，其中

有一个关于兔子繁殖的问题：如果1对兔子每月生1对小兔子（一雌一雄），而每1对小兔子出生后的第

3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，如果用月7表示第〃个月的兔子的总对数，则

有行=Ei+4一2（〃>2）,耳=乙=1.设数列｛a〃｝满足：a〃=:二工方典，则数列仿〃｝的前36项和为（）

A.11B.12C.13D.18

二、多选题

9.关于无穷数列｛a〃｝,以下说法正确的是（）

A.若数列仿〃｝为正项等比数列，则｛反｝也是等比数列

B.若数列｛a〃｝为等差数列，贝收,｝也是等差数列

an

C.若数列仿〃｝的前〃项和为S〃，且｛底｝是等差数列，则｛四｝为等差数列

D.若数列｛a〃｝为等差数列，则依次取出该数列中所有序号为7的倍数的项，组成的新数列一定是等差数列

10.关于曲线C：x2+y2=2\x\+2\y\,下列说法正确的是（）

A.曲线C围成图形的面积为47+8

B.曲线C所表示的图形有且仅有2条对称轴

C.曲线C所表小的图形是中心对称图形

D.曲线C是以（1,1）为圆心，2为半径的圆

11.正四棱锥尸-43CQ所有棱长均为2,。为正方形A3CD的中心，E,F分别为侧棱的中点，则

（）

A.OF//AP

B.直线BE与尸。夹角的余弦值为立

6

C.平面QEF〃平面PDC

D.直线与平面P8C所成角的余弦值为且

3

12.已知点尸在双曲线鸟-4=1上，Ft,居分别是左、右焦点，若的面积为20,则下列判断正确

169

的有（）

A.点一到x轴的距离为gB.归周+|「用=三

C.为钝角三角形D.2F,PFT

三、填空题

13.己知"=（3,a+6,a-b）（a,b^R）是直线/的方向向量，月=（1,2,3）是平面。的法向量，

若。，则5尹6=—.

14.已知抛物线Gy=2px（p>0）上的点2（1,%）（盟>0）到焦点的距离为2,则P=_.

15.已知F„月是双曲线C；J--/=1（a>0）的左、右焦点，点尸是双曲线C上的任意一点（不是顶点），

过E作/尸,根的角平分线的垂线，垂足为。是坐标原点.若旧以=6|阳，则双曲线。的方程为一.

四、双空题

16.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.用一点（或一个小石子）代表1,两

点（或两个小石子）代表2,三点（或三个小石子）代表3,…他们研究了各种平面数（包括三角形数、正

方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）.如前四个四棱锥

数为第〃个四棱锥数为1+4+9+…+//=〃（〃+1,2〃+1）.中国古代也有类似的研究，如图的形状出现在南宋

O

数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二

层有3个球，第三层有6个球，…若一个“三角垛”共有20层，则第6层有一个球，这个“三角垛”

共有个球.

2

五、解答题

17.定义：设是空间的一个基底，若向量％=R+y3+z&,则称有序实数组(x,y,z)为向量力在

基底下的坐标.已知,,反"｝是空间的单位正交基底，,+反3-反£+22｝是空间的另一个基底，

若向量方在基底｛£+瓦］反£+2"｝下的坐标为(1,2,3).

(1)求向量7在基底｛££"｝下的坐标;⑵求向量万在基底侮瓦同下的模.

18.已知圆C：x2+/-2x+2y-7=0,圆C与x轴交于46两点.

(1)求直线尸x被圆。所截得的弦长；

⑵圆"过点4B,且圆心在直线y=rH上，求圆"的方程.

19.已知等差数列｛a〃｝的前〃项和为如，数列｛加｝满足：点(〃，bn)在曲线y=不上，&=6”—，数

列｛g｝的前〃项和为Tn.

从①S'=20,②S,=2a”③3a「a,=Z＞?这三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上并作答.

(1)求数列｛a〃｝,｛加｝的通项公式；

(2)是否存在正整数上使得》＞母，且必＞：?若存在，求出满足题意的在值；若不存在，请说明理由.

168

20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E的焦点为片(-6,0),6(6,0),且过点(6,5),椭圆E的上、

下顶点分别为48,右顶点为。，直线/过点。且垂直于x轴.

(1)求椭圆E的标准方程;

3

⑵若点。在椭圆E上(且在第一象限)，直线AQ与/交于点N,直线B。与x轴交于点试问:

QM|+2|£)M是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.

21.如图，在平行四边形/版中，AB=1,BC=2,N48e60°,四边形北厮为正方形，且平面48a让平面

ACEF.

(1)证明：ABVCF,

(2)求点C到平面废尸的距离；

(3)求平面戚与平面｛小夹角的正弦值.

22.已知抛物线Gx?=4y的焦点为凡过厂的直线与抛物线C交于45两点，点"在抛物线C的准线上,

MFLAB,SXAFM=XSXBFM.

(1)当4=3时，求|/曲的值；

(2)当46［3,2］时，求|砺+丽］的最大值.

4

1.B

【分析】由题意，利用两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0,计算求得a

的值.

【详解】•.•直线乙：a户2尸0与直线心2户(2a+2)片1=0垂直，

2

，aX2+2X(2a+2)=0,求得a=-§,故选：B.

2.B

【分析】利用向量三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出.

【详解】如图所示，

D、M=RD+DM=RD+万DB=DQ+3(DA+℃),

又DQ=2,DA=­b»反=£，AD^M=^a-^b^c故选：B.

3.D

【分析】设出点(0,4)关于直线的对称点的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可.

【详解】解：设点(0,4)关于直线x—六1=0的对称点是(包⑸，

a6+4

------+1=0

a=3

〜，故选：D.

a

4.C

【分析】先求出6(3,4,0),由此能求出I而

【详解】解：•.•点5是点4(3,4,5)在坐标平面〃ry内的射影，...6(3,4,0),

WJIOBI=>/32+42+02=5.故选：C.

5.C

【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系.

【详解】圆G：(*-5)2+。-3)2=9的圆心为&(5,3),半径彳=3,

圆C?：X2+J2-4X+2J-9=0,即(x-2)2+(y+l)2=14,圆心G(2,T),半径弓=9，

5

两圆的圆心距|GCj=J(5—2)2+[3—(—l)]2=5,显然旧-3<5<g+3,即4一弓<《。2卜4+小

所以圆G与圆C2相交.故选：C

6.A

【分析】利用等比数列求出处然后求解圆锥曲线的离心率即可.

【详解】解：加是2与8的等比中项，可得加=±4,

当m4时，圆锥曲线为双曲线《=1,它的离心率为：e=£=逐，

4a

当犷-4时，圆锥曲线片一片=1为椭圆*2+匕=1,离心率：正，故选：A.

加42

7.A

【分析】分情况讨论当直线48的斜率不存在时，可求面积，检验是否满足条件，当直线4?的斜率存在时,

可设直线用的方程y=kx,联立椭圆方程，可求的面积为S=2S.呼代入可求k.

【详解】由椭圆二+广=1,则焦点分别为E(—5,0),4(5,0),不妨取尸(5,0).

4520

①当直线四的斜率不存在时，直线彼的方程为x=0,此时46=4后,

SAABF)=^•4?・5=gx4/'义5=106，不符合题意；

②可设直线四的方程

...△4即的面积为S=2S“”,=2X；X5X=20,；.〃=±金.故选：A.

2"4+9公3

8.B

【分析】由奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数可知，数列｛用｝中片，F〃,羯,F⑵L,为偶数，其余

为偶数

项都为奇数,再根据an—■即可求出数列｛a〃｝的前36项和.

0,居为奇数

【详解】由奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数可知，数歹I」｛为｝中%F«,&F,2,L,Em为偶数,其余

6

项都为奇数，.•.前36项共有12项为偶数,

数列｛an｝的前36项和为12X1+24X0=12.故选:B.

9.AD

【分析】利用等比数列的定义可判断A,利用特例可判断B,利用5“与勺的关系可判断C,利用等差数列的

性质可判断D.

【详解】对于A,若数列｛a〃｝为正项等比数列，则&=(?,则有咨=&,即｛&“｝也是等比数列，A

正确；

对于B,设即?=〃，数列｛四｝为等差数列，但｛'｝不是等差数列，B错误；

an

对于C,数列｛a〃｝的前〃项和为且｛疯｝是等差数列，不妨设E=p〃+q,则S“=p2〃2+2pw+g2,

当2时，a“=Sn-S“_\=p2n2+2pqn+q2-^p2(n-\)2+2pq(n-\)+q2^=2p2n+2pq-p2,

当〃=1时，＜1)=S,=p2+2pq+q~,二当“22时，«„-«„-i=2/?2,

222

Xa2=3p+2pq,=p+2pq+q,a,-《=2p?-q?不一定等于2P?,

；・｛a〃｝不一定为等差数列，C错误；

对于D,若数列｛a〃｝为等差数列，设其公差为d,依次取出该数列中所有序号为7的倍数的项，组成的新数

列为｛%“｝，

有%,,一%(“f=7d,则组成的新数列一定是等差数列，D正确；故选：AD.

10.AC

【分析】根据曲线解析式特征画出图形，逐一判断各选项即可.

【详解】曲线C：9+9=2国+2例如图所示：

对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以(1,1)为圆心，夜为半径的圆的一半加一

个直角三角形所得，5,=1乃x(&『+；x2x2=%+2,所以曲线C围成图形的面积为S=41=4万+8,故

A正确；

对于B,由图可知，曲线c所表示的图形对称轴有X轴，y轴，直线y=x,直线y=-x四条，故B错误;

对于C,由图可知，曲线C所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；

7

对于D,曲线C的图形不是一个圆，故D错误.故选：AC

11.BCD

【分析】对于A和C运用立体几何相关性质和定理直接判断；对于B和D运用空间向量法结合相关公式即

可判断.

【详解】对于A,因为OFIIPD,PDHPA=P,所以。尸不会平行于AP,故A错误；

对于B,以。为坐标原点，为x轴，08为）'轴，。尸为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

贝|J8（O,及,0）,A（>/2,0,0）,尸（0,0,0）,q中,0,，，D（0,-V2,0）,

（22）

丽=（¥，-四，4],PD=（0,-72,-72）,

\BEPD\173

所以直线BE与尸。夹角的余弦值为\cos^BE,PD)|=故B正确;

\BE\-\PD\~>/3->/4~6

对于C,由题意得a7/AB〃CD,

因为EFu平面。所，CD（Z平面。琦"所以C。〃平面。以"

同理可得PD〃平面OEF,又因为C£>,P£>u平面HX?,CD[}PD=D

所以平面OEF〃平面尸DC,故C正确；

对于D,由已知得序=（（）,"-&）,注=（-&,0,-⑹，而=（0,-⑹

n-PB=y/2y-42z=01

设平面P8C的一个法向量。=（x,y,z）取x=l,得〃=(1,-1,-1),

n-PC=_&x->/2z=0

设直线P。与平面PBC所成角为凡由图可知。则sin6=43!=咋=坐，

I2；|PD|-|n|2A/33

所以直线尸。与平面23（7所成角的余弦值为8$。=/-（立）2=乎，故D正确.故选：BCD.

12.BC

8

【解析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率

公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.

【详解】由双曲线方程得4=4,b=3,则c=5,

由△P6K的面积为20,得;x2cx|yp|=；xlO|力|=20,得|%|=4,即点尸到x轴的距离为4,故A错误，

将1»1=4代入双曲线方程得|x,|=g,根据对称性不妨设P(g,4),则|尸鸟|=得不:?=?,

由双曲线的定义知IP用T%l=2a=8,则|P4|=8+13=当37，

133750

则|「甲+|「鸟|=1+可=§,故B正确，

4-0^12

在△WK中，IP/-|=^>2c=10>|P/-|=^,则以L亓二=NP//为钝角，

33----J

3

则△2耳鸟为钝角三角形，故C正确，

1337

cosNFPF=1"『+11玛『一|耳十|2=(|Pf；|-|P旦|)2+2|Pf；||PK]-100=64Top+2**

2~

'_2\PF\\\PF-.\2\PK\\PK\2X13X37

33

_36_18x9I

*2xl3x37=l-U757，,则错误，故正确的是BC,故选：BC.

93

【点睛】本题主要考查与双曲线性质有关的命题的真假判断.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，

同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖

掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命

题.

13.36

【分析】根据方向向量和平面法向量的定义即可得出"〃为，然后即可得出等=一=3,然后求出a,b

的值，进而求出5的值.

【详解】V7±a,：.iilln,

.a+ha-b-15,3.广，753”“公―、r…

.・一--=---=3,解得。=彳，〃=一7,..5a+h=———=36.故答案为：36.

232222

14.2

【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解.

【详解】解：•・•抛物线G/=2px(p>0)上的点尸(1,%)(%>0)到焦点的距离为2,

...由抛物线的定义可得，1+g=2,解得p=2.故答案为：2.

15.87-7=1

【分析】延长月〃与阴，交于《，连接阳由三角形的中位线定理和双曲线的定义、垂直平分线的性质,

结合双曲线的a,b,c的关系，可得双曲线方程.

9

【详解】解：延长Q〃与朋，交于人,连接。/,

由题意可得以为边伤的垂直平分线，则I阴1=1掰I,

且〃为"的中点，I如=gl相I,

由双曲线的定义可得I月/-I月初=|朗-祇1=1为m=2a,

则0H\=a,又归凡|=6|明，所以2c=6a,即c=3a,b=招_公=2板a,

又双曲线C-.—2~y~1，知b=1)所以a=2y/2所以双曲线的方程为8/-/=1.

故答案为：87-/=1.

16.211540

【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到%=l+2+3+L+〃=

*2,由此可求％的值，以及前20层的总球数.

【详解】由题意可知，4=1,。2=。1+2=1+2,。3=。2+3=1+2+3,…，

+〃=1+2+3+・一+71,

,..1CCI〃5+1)1)1LL

故fa”=l+2+3+L+〃=---=所。6

所以S0=a/+a2+a3+a“+……+a?0=/(1"+22+3-;+……+20")+/(1+2+3+……+20)

=：IX2——0x(2-0-+-1-)-x(2-x-2-0-4---1-)-+1-X20-(2-0--+-1)-=1540.乂故协答心案生为：21；1540.

2622

17.(1)(6)-1,6)(2)5/73

【分析】(1)根据向量,在基底M+54-5,£+22｝下的坐标为(1,2,3),得出向量,在基底｛£,£"｝下的坐

标；

(2)根据向量,在基底｛251｝下的坐标直接计算模即可.

(1)因为向量万在基底｛。+瓦〃-瓦。+2。｝下的坐标为(1,2,3),

则万=(£+5)+2(£-5)+3(£+2")=6方一5+6"所以向量万在基底｛£,及"｝下的坐标为(6,-1,6).

10

⑵因为向量方在基底,尻号下的坐标为(6,7,6),

所以向量7在基底忖石工｝下的模为例=162+(7)2+62=加.

18.(1)277;(2)(x-l)2+(y-2)2=12.

【分析】(1)根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解.

(2)根据己知圆的方程，令y=0,结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理,

即可求出半径.

(1)・.,圆Gx2+/-2x+2y-7=0,A(x-1)2+(y+l)2=9,即圆心为(一1,1),半径r=3,

•.•直线尸人即x一尸0,

I—1—11

，圆心(一1,1)到直线x-y=0的距离d=也

直线y=x被圆C所截得的弦长为2,尸_/=2>/^=I=2币.

（2）设/（X”%）,B5,%■）,

•.,圆GY+y2_2x+2y_7=0,圆。与x轴交于48两点，.•.V-2x—7=0,

2

则%,+x2=2,xlx2=-7,\x,—x2\=yl（xt+X2）-4X,X,=4夜，

.•.圆心的横坐标为x=a生=1,

2

•.•圆心在直线y=^l上，.•.圆心为(1,2),.•.半径7=^22+(罕了=2道,

故圆"的方程为(x-l)2+(y-2)2=12.

19.(1)条件选择见解析；an—2n,切=2,(2)不存在，理由见解析.

【分析】(1)把点(〃，加)代入曲线尸彳可得到物=吸"，进而求出a“设等差数列｛a〃｝的公差为d,

选①£=20,利用等差数列的前〃项和公式可求出4从而得到a〃；

若选②S=2a3,利用等差数列的前〃项和公式可求出4从而得到a〃；

若选③3a,-a,=",利用等差数列的通项公式公式可求出d,从而得到a〃；

(2)由(1)可知S〃=(1+加,-^=-再利用裂项相消法求出。=1-一］，不

2，〃〃+1〃+1

115

----->一

k+l16无解，即不存在正整数上使得看>与且必

等式

168

25'*>-

8

3232一

（1）解：1,点（〃，bn）在曲线y=¥■上，/./?„=—=2J/?,C.ai—b4—Tl=2,

11

设等差数列｛a〃｝的公差为d,

4x3

若选①2=20,则2=4x2+——-d=20,解得〃=2,.*.<?/?=2+2(〃-1)=2〃；

2

若选②S=2a?,则S?=&+a升a.?=2a：?,•,*2+电=a,,

.•・2+2+〃=2+2d,解得d=2,/.an=2+2(/?-1)=2/?；

若选③3a3-函='则3(©+2d)-(&+4d)=25'2=8,

・・・2©+2d=8,艮|J2X2+2d=8,:・d=2,：.an=2+2(/?-!)=2/7；

⑵解：由⑴可知s〃=贴押=或产=〃。+加

・Snn(l+〃)n〃+1

।115

1-------->—Q>15

假设存在正整数k使得窗>与，且必>：,.♦."I*,即:>；,此不等式无解，

1682“*>1〔"<8

8

...不存在正整数上使得心与，且独二.

168

20.⑴:+丁=1(2)|。叫+2|£>及为定值，该定值为2

【分析】(D先根据焦点形式设出椭圆方程和焦距，根据椭圆经过和半焦距为3易得椭圆的标准

方程；

(2)设。(灯％),分别表示出直线AQ,8Q方程，进而求得点N的纵坐标，点M横坐标，即可表示出

\OM\+2\DN\,即可求得答案.

(1)由焦点坐标可知，椭圆的焦点在x轴上，

22

所以设椭圆E：\+方=l(a>—>0),焦距为2c(c>0),

因为椭圆E经过点,焦点为耳(-6,0),鸟(73,0)

所以\+，=1,。2=/-〃=(石『=3,解得“2=4,从=1,所以椭圆E的标准方程为1+丁=1；

⑵设。5,为),由椭圆的方程可知?•+巾=1(%>0,%>0),

因为。(2,0),则直线/:x=2,

由己知得，直线AQ8Q斜率均存在，则直线AQ:y=四二x+1,令人=2得%二^+1，

与不

12

直线BQ:y=为土L-1,令〉，=0得%=—

因为点。在第一象限，所以|。叫=2()'。-1)+],|0必=一替，

则|OM|+21ON|=—+%%二—+2=跖+4芯_-4+2

1111%+1M/(%+1)

又因为'+火=1,即片+4y；-4=0,所以|OM+2|©V|=2.所以|0切+2]。7|为定值，该定值为2.

21.(1)证明见解析；⑵且；(3)五.

24

【分析】(1)利用余弦定理计算4C,再证明AB_LAC即可推理作答.

(2)以点/为原点，射线48,AC,分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算

点。到平面庞户的距离.

(3)利用(2)中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.

(1)在QABC。中，月氏1,除2,N/吐60°,由余弦定理AC2=AB2+8C2—2AB-8CcosZA8c得，

AC2=12+22-2X1X2COS60=3,即AC=6，AC2+AB2=4=BC2,则NB4C=90',即A8_LAC,

因平面4及力_L平面〃ES平面ABC£>n平面ACE/=AC,A8i平面ABC。，

于是得平面ACEF,又CFu平面ACEF,所以A8_LCF.

(2)因四边形力呼为正方形，即AFLAC,由(1)知A3,AC,AF两两垂直，

以点/为原点，射线48,AC,4尸分别为x,八z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

A(0,0,0),8(1,0,0),C(0,瓜0),F(0,0,后),0(-1,瓜0),E(0,瓜6),

丽=(0,6,0),游=(-1,0,6),设平面的'的一个法向量5=(3,y,zj,

n-FE=^y.=0_「

则｛—厂，令4=1,得〃=(6,0,1),

n-BF=-尤|+J3Z|=0

—l_\n-BC\l-lx^lG

而8c=(-1,6,0),于是得点C到平面啊•的距离4==](6)2+,=5'

13

所以点C到平面应尸的距离为也.

2

（3）由（2）知，标=（0,0,6）,标=（-1,行,0）,设平面仞F的一个法向量正=（9,当，Z2），

ffi-AF=JJz,=0__

则〈一一广，令％=1,得碗=（石,1,0）,

m-AD=-x2+y/3y2=0

.一,一、m'nxx/3