第三章线性系统状态方程的解

PAGE19第三章系统的分析——状态方程的解§3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：线性定常连续系统：初始条件：２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为。其中称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：。若初始条件为，则状态转移矩阵记为：对于线性时变系统，状态转移矩阵写为，它是时刻t，t0的函数。但它一般不能写成指数形式。（１）幂级数法——直接求解设的解是t的向量幂级数式中都是n维向量，是待定系数。则当时，为了求其余各系数，将求导，并代入，得：上式对于所有的都成立，故而有：且有：故以上系数完全确定，所以有：定义（矩阵指数或矩阵函数）：则。（２）拉氏变换解法将两端取拉氏变换，有拉氏反变换，有则由微分方程解的唯一性可知：【例3.1.1】已知系统的状态方程为，初始条件为，试求状态转移矩阵和状态方程的解。解：（１）求状态转移矩阵此题中：，所以（２）状态方程的解【例3.1.2】已知系统状态方程为，初始条件为，试求状态方程的解。解：故而二、状态转移矩阵的性质（1）（2）（3）证明：（4），证明：（5）证明：，代入上式∴证毕。（6）证明：……….…(1)……………(2)…………….(3)比较（1）、(3)式，有成立。证毕。（7）证明：（8）若，则若，则（9）设为的状态转移矩阵，引入非奇异变换后的状态转移矩阵为：证明：将代入中，有∴。证毕。（10）两种常见的状态转移矩阵①设，即A为对角阵，且具有互异元素。则②设A为约当阵，则【例3.1.3试求和A。解：（1）根据状态转移矩阵的性质4，可知（2）根据状态转移矩阵的性质2，可知【例3.1.4试求状态转移矩阵。解：根据状态转移矩阵的性质10，可知【例3.1.5解：利用性质（1），所以该矩阵不是状态转移矩阵。【例3.1.6】当时，当时，试求系统矩阵A和状态转移矩阵。解：由性质（2）可知：由已知，有∴∴§3-2线性连续定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程：，求。1、直接积分法左乘，有由于所以，两端同时积分，有∴注意：若取作为初始时刻，积分可得：2、拉氏变换法，两边同时取拉氏变换（当时刻的状态为）则由拉氏变换卷积定理：在此视为，视为。则（与直接求解结果相同！）【例3.2.1】已知系统状态方程为，输入初始条件为，试求解此非齐次状态方程。解：由已知有（1）先求，由前面例题（例3.1.2）（2）求故而特别说明：若，则其状态轨迹图可以MABLAB绘出：%Example3.grid;xlabel('时间轴');ylabel('x代表x1，*代表x2');t=0:0.1:10;x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);x2=exp(-t)-exp(-2*t);plot(t,x1,'x',t,x2,'*')end§3-3状态转移矩阵的计算1、直接幂级数法2、拉氏变换法3、利用性质，采用对角化的方法【例3.3.1】已知系统状态方程为，试利用对角化的方法求解：，解出特征值，。选用变换阵P，使对角化。由于A为友矩阵，故P可选为：，根据可推出：而∴4、利用Caylay-Hamilton定理计算（待定系数法）（1）Caylay-Hamilton定理设n阶矩阵A的特征多项式为：则A满足其特征方程，即（2）推论1矩阵A的k（）次幂，可表示为A的阶多项式，【例如】已知，求解：A的特征多项式为：根据Caylay-Hamilton定理，有，∴故依次归纳，有：所以有：（3）推论2状态转移矩可表示为A的阶多项式式中，均为幂函数。【例3.3.2】试利用Caylay-Hamilton定理求。解：（1）求系统矩阵A的特征值，解出，（2）一般情况下，对于n个互异的特征值，写出如下方程组：并解出即可。对于本例：解出，（3）对于系统具有n个互异的特征值的情况，按下式计算：对于本例有：§3-4离散系统状态方程的解一、由差分方程建立动态方程线性离散系统的动态方程可以充分利用差分方程建立，也可以利用线性连续动态方程的离散化得到。SISO线性定常离散系统的差分方程一般形式为：式中，k表示kT时刻；T为采样周期；y(k)、u(k)分别为kT时刻的输出量和输入量；、（，且）为表征系统特征的常数。考虑初始条件为零时的Z变换关系有：，对上边式子两边取Z变换，并整理为：按连续系统的方法，对做串联分解，最后可得到离散系统状态空间表达式的一种形式：简记为：MIMO线性定常离散系统的动态方程为：离散系统的一般结构图【例3.4试写出系统的状态空间表达式。解：离散系统的状态空间表达式为：其中：，，，二、线性定常连续系统动态方程的离散化线性定常非齐次状态方程在及作用下的解为：或令，则，则，于是记令，则代换后有故离散化状态方程为：输出方程为：【例3.4采样周期为T的离散化状态方程。解：先求所以：例3.4%Example3.4A=sym('[0,1;0,-2]')B=sym('[0;1]')T='T'[G,H]=c2d(A,B,T)%example3.4symsstT;A=sym('[0,1;0,-2]');B=sym('[0;1]');I=eye(2);L=inv(s*I-A)lap=ilaplace(L)G=subs(lap,'T')H=int(symmul(lap,B),0,T)三、离散系统状态方程的解两种解法：递推法和Z变换法。递推法：又称迭代法，对于定常和时变系统都适用。Z变换法：只适用于定常系统。1、递推法依次令，从而有…………依此类推。递推公式为：其中称为线性定常离散系统的状态转移矩阵，记为。（满足：；）【例3.4，，初始状态，，试用递推法求解。解：显然，用递推法求解所得到的不是一个封闭的解析形式，而是一个解序列。采用MATLAB语言，求解例3.%Example3.G=[0,1;-0.16,-1];H=[1;1];U=1;X1=[1;-1];holdon;fork=1:400X1=G*X1+H*Uplot(X1(1),X1