四川省眉山市2021年中考数学试卷试题真题(含答案解析)

四川省眉山市2021年中考数学试卷

一、单选题（共12题；共24分）

1.6的相反数是（）

A.-JB.iC.-6D.6

【答案】C

【考点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】解：6的相反数为：一6；

故答案为：C.

【分析】只有符号不同的两个数才叫互为相反数，根据定义解答即可.

2.2020年7月23日，中国首次火星探测任务"天间一号"探测器在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载

火箭发射升空，每天基本飞行200万千米，并于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中

国的足迹.将200万用科学记数法表示为（）

A.2X102B.2x106C.2X109D.0.2X107

【答案】B

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：200万=2000000=2X106；

故答案为：B.

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为axion的形式，其中k|a|V10,n等于原数的

整数位数口

3.下列计算中，正确的是（）

A.a5xa3=a15B.a5H-a3=aC.（—a2b3）4=a8b12D.（a+h）2=a2+b2

【答案】C

【考点】同底数幕的乘法，同底数累的除法，完全平方式，积的乘方

【解析】【解答】解：A选项中，a5xa3=a8；

B选项中，a5a3=a2;

C选项正确；

D选项中，（a+b）2=a?+2ab+；

故答案为：C.

【分析】根据同底数幕乘法运算法则计算判断A；根据同底数基除法运算法则计算判断B；根据积的乘方

法则计算判断C；根据完全平方式计算判断D.

4.如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若/1=48°，则N2的度数为（）

【答案】A

【考点】余角、补角及其性质，平行线的性质，矩形的性质

【解析】【解答】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点D,

由矩形对边平行，可得N1=NBAC,

因为BCXAB,

ZBAC+Z2=90",

Z1+Z2=90°,

因为N1=48°,

Z2=42°；

故答案为：A.

【分析】延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点D,根据平行线的性质得出

N1=NBAC,然后根据直角三角形的性质求出N2即可.

5.正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）

A.1：3B.1：2C.2：1D.3：1

【答案】D

【考点】多边形内角与外角，正多边形的性质

【解析】【解答】解：正八边形中，每个外角=360°+8=45°,每个内角=180°-45°=135°,

，每个内角与每个外角的度数之比=135。：45°=3：1,

故答案为：D.

【分析】先根据正多边形的外角的性质求出每个外角，然后根据邻补角的性质求出每个内角，最后每个

内角与每个外角的度数之比即可.

6.化简（1+—的结果是（）

'a-lya2-l

【答案】B

【考点】分式的混合运算

【解析】【解答】解•：原式-■审XS+*T）=*X（a+】）,F=3

一a-1a6a-1a£a

故答案是：B.

【分析】先对括号内的分式进行计算，然后将各分式的分子和分母分解因式，再约分即可得出结果.

7.全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为

90,80,86,90,94,则这组数据的中位数和众数分别是（）

A.80,90B.90,90C.86,90D.90,94

【答案】B

【考点】分析数据的集中趋势

【解析】【解答】解：将这组数据按照从小到大排列：80,86,90,90,94；

位于最中间的数是90,所以中位数是90；

这组数据中，90出现了两次，出现次数最多，因此，众数是90；

故答案为：B.

【分析】将这组数据按照从小到大排列，则其出现次数最多的数为众数，再根据中位数的定义求中位数

即可.

8.我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单

位：平方米）是（）

A.7.2TTB.11.527TC.127rD.13.44TT

【答案】c

【考点】简单组合体的三视图，圆柱的侧面积和表面积

【解析】【解答】由图可知，运载火箭的上半部分为圆锥，底面圆的半径r为2.4+2=12,高为1.6,下

半部分为圆柱，底面圆的半径r=1.2,高为4.

圆柱的侧面积为：S1=2nr-4=2TT-1.2x4=9.6TT,

22

圆锥的侧面积为：S2=\lR=\x2n-1.2X（V1.6+1.2）=2.47r,

该整流罩的侧面积：5=S1+S2=9.67r+2.47r=127r.

故答案为：C.

【分析】根据几何体的三视图得出这个几何体上面为圆锥，下面为圆柱，再根据勾股定理求出圆锥的母

线长，然后分别求出圆柱和圆锥的侧面积，最后求侧面积之和即可.

9.已知一元二次方程/一3刀+1=0的两根为xi,切,贝IJ*一5/一2肛的值为（）

A.-7B.-3C.2D.5

【答案】A

【考点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：,••一元二次方程X2-3x+1=0的两根为X],&，

22

-3尤1+1=0,即：%1—3X]=­1,Xi+x2=3,

，2（）

xf—5Xj—2X2-Xi-3X]-2/+x2=-l-2x3=-7.

故答案为：A.

2

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与％-3xx=-1,然后将其代入变形后

的代数式求值即可.

10.如图，在以AB为直径的。。中，点C为圆上的一点，"=3立，弦CDJ.48于点E,弦

AF交CE于点H,交BC于点G.若点”是力G的中点，则ZCBF的度数为（）

A.18°B.21°C.22.5°D.30°

【答案】C

【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：：AB为。。的直径，

NACB=NAFB=90°,

=3AT,

.，•4BC=22.5。，/BAC=67.5。，

•••点”是4G的中点，

CE=AH,

•••NCAH=ZACH,

CDLAB,

△AECsxGCA,

又「ZCAF=NCBF,ZCGA=NFGB,

△AECGCAGFB,

ZACE+NECB=NABC+ZECB=90"，

・•・/ABE=/ABC，

△AECGCA~&GFB〜匕ACB,

••・/ABC=ZACE=ZGAC=NGBF=22.5°,

・•・^CBF=22.5°,

故答案为：c.

【分析】由圆周角的定义得出NACB为90。，结合弧长的关系求出NABC和NBAC,然后证明△AECs4

GCAfGFBACB,于是根据相似三角形的对应角相等即可求出NCBF.

11.在平面直角坐标系中，抛物线丫=/一4》+5与丫轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对

称的抛物线的表达式为（）

A.y=-x2-4%+5B.y=x2+4x+5

C.y=-x2+4x-5D.y=-x2-4x-5

【答案】A

【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答］解:当x=0时，y=5,

C（0,5）；

设新抛物线上的点的坐标为（x,y）,

V原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，

由2x0—x=—X,2x5—y=10—y；

••・对应的原抛物线上点的坐标为（-x,10-y）；

代入原抛物线解析式可得：10-y=（—x）2—4-（-x）+5,

•••新抛物线的解析式为：y=-/一4x+5；

故答案为：A.

【分析】先求出抛物线与y轴交点C的坐标，设新抛物线上的点的坐标为（x,y）,根据中心对称的特点

求出对应的原抛物线上点的坐标，再代入原抛物线的解析式整理即得结果.

12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,AB=6,ZDAC=60°，点?在

线段AO上从点A至点。运动，连接OF,以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位

于DF两侧，下列结论：①/BDE=NEFC;②ED=EC；③ZADF=/ECF;④点E运动

的路程是2b，其中正确结论的序号为（）

A.①④B.①②③C.②③④D.①②③④

【答案】B

【考点】三角形全等的判定，等边三角形的性质，矩形的性质，四边形-动点问题

【解析】【解答】解：连接0E并延长交DC于点H,

矩形ABCD,

OA=OD=OC,

•••ZDAC=60°,

…ADO为等边三角形，

Z2=NDAF=60",

・•,ADEF为等边三角形,

Zl=60°=N5,

r.Z1=N2,

•1.D、F、0、E四点共圆，

z3=Z4,①正确；

Z5=Z6=60°,

Z7=Z6=60°,

,/OD=OC,OE=OE,

/.△DOEM△COE,

/.Z3=Z8,

ZCDE=ZDCE,

「.ED二EC,②正确；

,/ZADO=ZFDE=60°,

ZADF=Z3,

ZADF=Z8,即NADF=ZECF,③正确；

,.1△DOE合&COE,

点E在NDOC的角平分线上与CD的交点为H,即点E在。H上运动,

OH=-BC,

2

OH=V3,④错误.

故答案为：B.

【分析】连接OE并延长交DC于点H,利用矩形的性质，结合NDAC=60。证明△AD。为等边三角形，得出

N2=NDAF=60。，再根据△DEF为等边三角形，然后证出D、F、0、E四点共圆，由四点共圆的性质得出

①正确；利用SAS证明△DOE=Z\COE,推出ED=EC,得出②正确；求出NADF=N3,推出NADF=NECF,得

出③正确；根据△DOE合ACOE,得出点E在OH上运动，根据含30。角的直角三角形的性质求出0H,可

得④错误.

二、填空题(共6题；共6分)

13.分解因式：x3y—xy=.

【答案】xy(x+1)(x-1)

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】解：x3y-xy=xy(x2-1)=xy(x+l)(x-1)；

故答案为:xy(x+1)(x-1).

【分析】先提取公因式xy,再根据平方差公式继续分解即可.

14.一次函数y=(2a+3)x+2的值随x值的增大而减少，则常数a的取值范围是.

【答案】a<­l

【考点】一次函数的性质

【解析】【解答】解：•••一次函数y=(2a+3)x+2的值随x值的增大而减少，

・•・2Q+3Vo,

解得：QV-|,

故答案是：(I<—|.

【分析】根据一次函数的性质可知，当一次项系数2a+3<0时，y随x的值增大而减小，解此不等式即

可.

15.如图，△4BC中，AB=AC=5,BC=6,AD平分ZBAC交BC于点D,分别以点A

和点C为圆心，大于\AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N,作直线MN,交AD于点

E,则DE的长为.

【答案】三

O

【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理

【解析】【解答】解:△4BC中，AB=AC=5,BC=6,4。平分4c

.DC=”C=3，且ADIBC,(等腰三角形"三线合一")

AD^y/AC2-CD2=V52-32=4

由分别以点A和点C为圆心，大于\AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N,作直线

MN,可知，MN垂直平分AC,

如图，连接CE,

AE=CE,

・•.CE=AE=AD-DE=4-DE,

222

在RtAEDC中，CE=DE+CD,

222

(4-DE)=DE+3,

解得：DE=1；

•1■DE的长为|；

o

故答案为：g.

o

【分析】根据等腰三角形的性质求出CD,再根据勾股定理求出AD,由作图过程可知MN为AC的垂直平

分线，连接CE,由垂直平分线的性质求出CE,最后在RtAEDC中，利用勾股定理求DE即可.

16.若关于x的不等式x+m<1只有3个正整数解，则m的取值范围是.

【答案】-3Sm<-2

【考点】解一元一次不等式，一元一次不等式的特殊解

【解析】【解答】解：解不等式x+m<l,

得：x<1—m,

由题意x只有3个正整数解，则分别为：1,2,3,

A.L,,1-m>3

故：｛•1/“，

*-1-m<4

解得：-3VmV-2,

故答案是：-34m<-2.

【分析】先解含m的不等式，由于不等式只有三个正整数解，则可得出这三个正整数为1,2,3,推出

关于m的一元一次方程组求解即可.

17.观察下列等式：勺=/+*+*=|=1+*；

亚=J1+2+京="1+2；

%3=J1+J+]=H=1+高；

根据以上规律，计算/+不+%3+…+%2020-2021=.

【答案】]

2016

【考点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：由题意可知，小+1+11+点,

%2020=1

NUNU2020X2021

%]+%2+%3+*'*+%2020—2021

—+1-+...+1---------2021

6122020X2021

11

=2。2。+1-i+1+...+-2021

20152016

=2020+1-募-2021

2016

故答案为：一与.

【分析】首先根据前三项总结出规律：Xn=l+而品，然后代入原式再裂项计算即可.

18.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=10,对角线AC、BD相交于点。，点M在线段AC

上，且4M=3,点P为线段BD上的一个动点，则MP+3PB的最小值是.

【答案】|V3

【考点】垂线段最短，菱形的性质，锐角三角函数的定义，四边形-动点问题

【解析】【解答】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时MP+^PB的长度最小

•.,菱形4BCD中，AB=AC=10

AB=BC=AC=1O,△ABC为等边三角形

二NPBC=3O°,NACB=60°

•••在直角APBH中,ZPBH=30°

-PB

PH=2

止匕时MP+^PB得到最小值，MP+^PB=MP+PH=MH

,/AC=10,AM=3,

MC=7

又ZMCH=60°

MH=MCsin60°=1V3

故答案为：|V3

【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，根据垂线段最短可知此时MP+^PB=MH

的长度最小，根据菱形的性质，结合AB=AC求出△ABC为等边三角形，根据线段间关系求出MC,解

RtAMHC,求出MH即可.

三、解答题(共8题；共83分)

19.计算：(4-V3)°-3tan60°-+V12.

【答案】解：原式=1-3x^3-(-2)+273

=1-373+2+273

=3-V3

【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值

【解析】【分析】先进行零指数累和负整数指数塞的运算、代入三角函数的特殊值、进行二次根式的化简,

然后合并同类二次根式和进行有理数的加减混合运算即可得出结果.

3%—2y+20=0

20.解方程组｛

2x+15y—3=0

【答案】解:由强能口可得覆;篇瑞

②x3-①x2得3(2x+15y)-2(3%-2y)=3x3—2x(-20),

即49y=49,

解得y=i,

将y=l代入①式得3x-2x1=-20,解得x=-6.

故该方程组的解为｛:，:二6.

【考点】解二元一次方程组

【解析】【分析】通过观察，利用加减消元法解此二元一次方程组即可.

21.吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定.为了解同学们对禁毒

知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为："了解

较少"，"基本了解"，"了解较多"，"非常了解"四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统

请根据统计图回答下列问题：

(1)本次抽取调查的学生共有人，其中"了解较多”的占%;

(2)请补全条形统计图：

(3)估计此校"非常了解"和"了解较多”的学生共有人；

(4)"了解较少"的四名学生中，有3名学生a,A2,A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为

了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行

检测.请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率.

【答案】⑴50；30

(2)解：50-24-4-15=7(人)，

补全条形统计图如下：

⑶780

共有12种等可能结果，恰好抽到初一、初二学生各1名的结果数有6种,

・•・恰好抽到初一、初二学生各1名的概率=6+12=之

【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率的简单应用

【解析】【解答】解：（1）44-8%=50（人），15+50xl00%=30%,

故答案是：50,30；

（3）1000x=780（人）,

故答案是：780；

【分析】⑴根据了解较少的人数及其所占百分比求出总人数即可；用“了解较多”的人数除以总人数即可得

出其所占的百分比；

（2）用总人数减去其它三类的人数，求出基本了解的人数，然后补全统计图即可；

⑶用总人数乘以“非常了解"和"了解较多”的学生所占的百分比即可；

⑷画出树状图表示出所有等可能结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

22.“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进

行拍摄和观测，如图，无人机从4处测得该建筑物顶端C的俯角为24。，继续向该建筑物方向水平飞行

20米到达B处，测得顶端C的俯角为45。，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多

少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°«|,cos24°2V,tan240^）

【答案】解：过点C作CE_L2B交AB的延长线于点C,作CFLAD于点F,如图所示:

在Rt^cEB中'Nf8E=45")

CE=EB,

在R〃CEA中，tan/CAE=第，

.CE9

..----〜—

CE+2020f

解得：CE=詈,

FD=AD-CE=60--=—^43.6m

1111

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】过点C作CEL4B交AB的延长线于点C,作CF，力。于点F,由于△BCE是等腰直

角三角形，得出BE=CE,在R&CEA中，根据正切三角函数列式求出CE,然后根据线段间的和差关系即

可求出FD.

23.为进一步落实"德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一

次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动.每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同.已

知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍.

(1)足球和篮球的单价各是多少元？

(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500

元，学校最多可以购买多少个篮球？

【答案】(1)解：设每个足球x元，每个篮球(2X-30)元，

根据题意得：典=2X鼻，

解得x=60,

经检验x=60是方程的根且符合题意，

2x-30=90,

答：每个足球60元，每个篮球90元

(2)解：设买篮球m个，则买足球(200-m)个，

由题意得：90m+60(200-m)<15500,

解得m<116|.

Vm为正整数，J.最多购进篮球116个

【考点】分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用

【解析I分析】(1)设足球的单价是x元，则篮球的单价是(2x-30)元，由于"数量=总价+单价"，结合用"1200

元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍"列出方程求解，再经检验即可得出结论；

(2)设学校可以购买m个篮球，则买(200-m)个足球，利用"总价=单价x数量"，结合购买足球和篮球的总

费用不超过15500元得出关于m的一元一次不等式求解，取其中的最大整数值即可.

24.如图，直线y=[x+6与%轴交于点4,与y轴交于点B.直线MN“AB，且与AAOB的外

接圆OP相切，与双曲线y=一弓在第二象限内的图象交于c、D两点.

(1)求点A,B的坐标和0P的半径;

(2)求直线MN所对应的函数表达式;

(3)求XBCN的面积.

【答案】(1)解：令y=0代入y=[x+6,得0=：x+6,解得：x=-8,即：A(-8,0),

令x=0代入y=|x+6,得y=6,即：B(0,6),

AB=<62+82=10，

.1■OP的半径为：5

•.,直线MN“AB,且与aZOB的外接圆OP相切,

AG=5,ZAMG=ZOAB,

sinzAMG=sinZOAB,即：—=—,

AMAB

»解得：AM=g,即：OM=+8=?,

AM10333

,49、

-e-M-,0),

同理：BN=—,ON=6+—=—,N(0,—),

4444

设直线MN所对应的函数表达式为：y=kx+b,

0=--k+bk=-

则｛493,解得：｛j,

——=bb=——

44

直线MN所对应的函数表达式为：y=：X+r

44

__30

40

(3)解：联立｛3”49，得：一三二；%+?，解得：X1=-3

X2=-T

V=-%+—

,44

・•・C(-3,10),

・•.ABCN的面积=三BNx\xc\=|xyx乂|='X)x3=g

【考点】坐标与图形性质，三角形的面积，圆的综合题，锐角三角函数的定义

【解析I分析］(1)先求出直线y=x+6与坐标轴的交点A、B的坐标，然后勾股定理求出AB的长，则。P的

半径可求；

(2)过点A作AGJLMN于点G,先由切线的性质求出AG的长度，然后ZAMG=NOAB,根据正弦三

角函数列式求出AM,从而求出0M,同理求出ON,则可得出M、N点的坐标，最后待定系数法求MN得

函数表达式即可；

(3)联立MN的表达式和反比例函数表达式求出点C的坐标，由4BCN的面积=：8NX\xc\计算即可.

25.如图，在等腰直角三角形48C中，4cB=90°，AC=BC=2近，边长为2的正方形。EFG

的对角线交点与点C重合，连接AD,BE.

(1)求证：△ACDWABCE；

(2)当点。在AABC内部，且400=90°时，设4C与DG相交于点M,求4M的长；

(3)将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点4、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的

长.

【答案】(1)证明：..・在等腰直角三角形ABC中，AC=BC,4cB=90°,在正方形DEFG

中，CD=CE,ZDCE=90°,

/.ZDCE-ZBCD=ZACB-ZBCD,即：ZACD=ZBCE,

△ACD=△BCE

（2）解：,•・正方形DEFG的边长为2,

/.DC=GC=24-V2=V2,

ZADC=90°,

AD二J（2娟）2—（夜）2=3^/2，

ZGDE=ZADC=900,

ZADM=ZCDE=45°,

ZADM=ZCGM=45°,即：ADIICG,

△AMDCMG,

.AD_AM即.3\/2_4M

-CG~CM'•F_2G4M'

AM=|y/5

(3)解：①当点D在线段AE上时，过点C作CMJ_AE,如图,

••CM=DM=24-2=1,AM=JAC?-CM2=(2V5)2—1?=719，

・•.AD=AM-DM=V19-1;

②当点E在线段AD上时，过点C作CM_LAD,如图，

同理口J得：CM=DM=2+2=1,AM=。AC2-CM2=(2\/5)^一#=,19，

AD=AM+DM=V19+1.

综上所述：AM=g-1或g+1

【考点】勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定(AAS)

【解析】【分析】⑴根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质，利用边角边定理证明△ACD空△BCE；

(2)根据正方形的性质求出CG长，然后根据勾股定理求出AD,再证明△AMD-△CMG,根据相似三角形

的性质列出比例式，最后代值即可求出AM的长；

(3)分两种情况讨论，①当点D在线段AE上时，过点C作CM^AE,②当点E在线段AD上时，过

点C作CM_LAD,根据正方形的性质，结合利用勾股定理求出AM,最后根据线段间的和差关系即可得

出结论.

26.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+4(a0)经过点4(一2,0)和点B(4,0).

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)点P为该抛物线上一点(不与点C重合