4.3.3等比数列的前n项和

4.3.3等比数列的前n项和【考点梳理】考点一：等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))考点二：等比数列前n项和的性质1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．考点三：等比数列前n项和的实际应用1．解应用问题的核心是建立数学模型．2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．注意：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．【题型归纳】题型一：等比数列前n项和公式的基本运算1．（2023上·云南·高三云南师大附中校考）已知数列为等比数列，为的前项和，且，，则（

）A．8 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根据给定条件，结合等比数列前n项和求出公比，再列式计算即得.【详解】设等比数列的公比为，，解得，所以.故选：A2．（2023上·山东济南·高三统考开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（

）A． B． C．85 D．120【答案】C【分析】根据题意，设等比数列的公比为，分2种情况讨论、，结合等比数列前项和公式分析可得，，计算即可得答案.【详解】根据题意，设等比数列的公比为，若，则，则有，变形可得，则，又由，则有，所以.故选：C.3．（2023上·高二课时练习）已知数列为等比数列，前n项和为．(1)如果，，求；(2)如果，，求q；(3)如果，，求．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）（2）（3）根据等比数列求和公式计算可得；【详解】（1）等比数列中，，，，解得．（2）在等比数列中，，，显然公比，，整理得，解得或．（3）因为，，所以公比，所以，，所以，即，所以，所以，则.题型二：等比数列的片段和性质的应用4．（2023上·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则其前3n项和为（

）A．65 B．80 C．90 D．105【答案】A【分析】根据等比数列的性质得，，成等比数列，计算得到答案.【详解】设数列的前n项和为，由等比数列的性质得，，成等比数列．，，故45，，成等比数列，故，解得．故选：A.5．（2023下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】根据等比数列的求和公式或者等比数列的性质解析即可；【详解】法一：设等比数列的公比为，若，则，所以；由，得，即，所以，解得，则.故选：C.法二：设等比数列的公比为，若，则，所以；由等比数列的性质知成等比数列，其公比为，设，显然，则，，所以，所以.故选：C.6．（2023下·湖北宜昌·高二校联考期中）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（

）A．27 B．45 C．65 D．73【答案】C【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案.【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，所以有，即，整理可得，解得（舍）或.又因为，所以有，解得.故选：C.题型三：等比数列奇偶项和的性质7．（2023上·重庆·高二重庆一中校考期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可．【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，得到奇数项为，偶数项为，整体代入得，所以前项的和为，解得.故选：B8．（2018上·安徽池州·高三统考期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（

）A．15 B．30C．45 D．60【答案】D【分析】利用前100项中奇数项和与偶数项和的关系.【详解】设，则，又因为，所以，所以.故选:D【点睛】若等比数列有偶数项，则,用整体的思想处理问题，方便简捷.9．（2022上·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）已知等比数列的公比，且，则.【答案】120【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案.【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，所以.故答案为：120题型四：等比数列中前Sn和与其它知识交汇问题10．（2023下·河南·高二河南大学附属中学校考期中）数列的前n项和，数列的前n项和为，则=（

）A．192 B．190 C．180 D．182【答案】B【分析】利用关系求的通项公式，进而可得的通项公式，求即可.【详解】当时，，当时，，经检验满足上式，所以，设，则，所以.故选：B11．（2022上·江苏连云港·高二期末）在等比数列中，，．设t为实数，为该数列的前2n项和，为数列的前n项和，且，则t的值为

（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用等比数列的通项公式求出公比和首项，求出，由条件可得数列以首项为1，公比为4的等比数列，求，由即可求出.【详解】因为等比数列中，，，所以，所以，，所以，由等比数列，，所以数列以首项为1，公比为4的等比数列，所以，所以，即．故选：C．12．（2020上·河南郑州·高二郑州外国语学校校考期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．的最大值为

D．的最大值为【答案】B【分析】根据，，分，，讨论确定q的范围，然后再逐项判断.【详解】若，因为，所以，则与矛盾，若，因为，所以，则，与矛盾，所以，故B正确；因为，则，所以，故A错误；因为，，所以单调递增，故C错误；因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；故选：B.题型五：等比数列的简单应用13．（2023上·江苏扬州·高二统考期中）在我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍.已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少尺？”该女子第一天织布的尺数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意利用等比数列前项和公式计算即可得出.【详解】根据题意可知该女子每天分别织布的尺数成等比数列，且公比为，设该女子第一天织布的尺数是，由等比数列前项和公式可知，解得.故选：B14．（2023上·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为，得到数列.设数列的前项和为，若时，则的最小值为（

）（参考数据：，）A．5 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】观察图形可知周长形成的数列是首项，公比为的等比数列，即可求出与，从而得到关于的不等式，解得即可..【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的倍，边长是相邻前一个图形的，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，因此数列是首项，公比为的等比数列，，数列的前项和为，若，则，即，所以，所以，又为正整数，所以的最小值为.故选：C15．（2023·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值．【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则是以2为公比的等比数列，，，解得，所以，．故选：C．题型六：等比数列前n项和综合问题16．（2023上·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考期中）已知首项为1的正项等比数列，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)7【分析】（1）根据等差数列的性质列方程求得公比后可得通项公式；（2）求出前项和后解不等式可得．【详解】（1）设等比数列的公比为，且，因为成等差数列，则，即：，解得或（舍去），所以数列的通项公式.（2）由（1）得：，，所以，整理可得，故的最小值为7.17．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且．(1)求数列与数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据等差数列以及等比数列定义可解得，，可写出数列与数列的通项公式；（2）利用等差等比前项和公式分组求和即可得.【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由得即即，解得或．当时，，不满足单调递增，当时，，满足单调递增，故，所以．又，所以，所以，即数列与数列的通项公式为，（2）利用等比数列前项和公式可得，数列的前项和为，数列的前项和为，所以数列的前项和，即18．（2023上·山东青岛·高二统考期中）已知非零数列满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）得到，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）解：由题意，且，且，所以，因为，所以，所以是首项为9，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）知，因为，所以，所以.【双基达标】一、单选题19．（2023上·江苏苏州·高二统考期中）已知，，（，），为其前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用递推关系构造得是一个以3为首项，2为公比的等比数列，再赋值，结合等比数列的前n项和公式求答案.【详解】由（，）可得，已知，，所以，即是一个以3为首项，2为公比的等比数列，所以，即，，，，，，，故选B.20．（2023上·福建·高二统考期中）若数列满足，，则（

）A．511 B．1023 C．1025 D．2047【答案】B【分析】通过累加和等比数列的求和即可得答案.【详解】由题意知:，则有，，，，，由累加可得，即.故选:B.21．（2023上·山东青岛·高二统考期中）设是数列的前项和，,，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数的运算性质可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，再利用等比数列求和公式可求得的值.【详解】因为是数列的前项和，，，所以，，所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则，解得.故选：A.22．（2023上·甘肃甘南·高二校考期中）已知为等比数列的前项和，若，则（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根据等比数列的性质计算即可.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，则.故选：C.23．（2023·吉林·统考一模）在等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．11【答案】A【分析】设，倒序相加再由等比数列的性质求解.【详解】设，则，所以.故选：A24．（2023下·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）如果某人在听到喜讯后的1h内将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人（包括第一个人）的小镇，所需时间为（

）A．8h B．9h C．10h D．11h【答案】C【分析】依题意可知传递过程类似看成一个等比数列，利用等比数列的前项和公式进行求解即可.【详解】根据题意，可设个小时后知道喜讯的总人数为，则传递过程可看成一个等比数列，首项为1，公比为2，则，化简可得，由，可得，即，解得；故选：C25．（2023下·河南驻马店·高二统考期中）已知数列满足是数列的前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据递推关系可得、且时都是公比为2的等比数列，再应用分组求和及等比数列前n项和公式求.【详解】由题设，且，所以，即，当且时，是首项为1，公比为2的等比数列，则；当且时，是首项为2，公比为2的等比数列，则；.故选：B26．（2023上·北京·高二校联考期中）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列.(1)求数列和的通项公式；(2)求的通项公式和前项和.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列的通项公式，再分组求和即可求解.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，即，设等差数列公差为，因为，，所以，即.（2）因为，所以,由（1）可得，设前项和为，.27．（2023上·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）等差数列满足：首项为2，公差为是的前项和.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出等差数列的通项，再求出数列的通项；（2）先分析得到是等比数列，求出，再用分组求和法求.【详解】（1）因为数列是首项为2公差为2的等差数列，所以，即；（2）因为，所以，所以是以2为首项2为公比的等比数列，所以，所以28．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）记为数列的前项和，为数列的前项和，若且.(1)证明：数列是等比数列；(2)若成立，求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）利用得出关于的递推关系，从而根据等比数列的定义得证；（2）由分组求和法求得后，解不等式得结论．【详解】（1）由可得，即，即，而，所以是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）知，即，由可得，整理可得，解得，因为，所以的最小值为5．【高分突破】一、单选题29．（2023下·江苏南通·高二期末）已知数列满足，在和之间插入n个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（

）A．43 B．44 C．75 D．76【答案】C【分析】直接利用数列的通项公式和分组法的应用求出数列的和．【详解】在，之间插入个1，构成数列，所以共有个数，当时，，当时，，由于，所以．故选：C.30．（2023下·贵州毕节·高二校考阶段练习）已知公比为2的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（

）A．31 B．63 C．64 D．127【答案】B【分析】根据已知条件求得，由此求得.【详解】由于，，成等差数列，所以，即，所以，解得，所以.故选：B.31．（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）已知等比数列为递增数列，若，且与的等差中项为20，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意列出方程组，求得数列首项和公比，即可求得答案.【详解】设，由题意得，即解得或，由于等比数列为递增数列，则不合题意；所以该数列的前项和为．故选：A．，按复利计算，则小华每期付款金额约为（

）（参考数据：，，）A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元【答案】C【分析】设小华每期付款金额为元，第期付款后欠款为元，根据已知条件，依次写出，，，，，结合及等比数列的前项和公式即可求解.【详解】设小华每期付款金额为元，第期付款后欠款为元，则，，，，因为，所以，即，所以小华每期付款金额约为883元.故选：C.33．（2023下·江西赣州·高二统考期末）已知数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（

）A．数列为等比数列 B．数列为等比数列C． D．【答案】C【分析】由，得，两式相除得，从而可得数列是隔项成等比数列，进而可求得数列的通项，再根据等比数列的定义及等比数列前项和公式即可得解.【详解】由，得，两式相除得，所以数列的奇数项和偶数项都是以为公比的等比数列，又，则，所以，因为，所以数列不为等比数列，故A错误；由，，得，，则，故，而等比数列中不能出现为的项，所以数列不为等比数列，故B错误；由AB选项可得，当为奇数时，，当为偶数时，，则，故D错误；，故C正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：由，得，两式相除得，得出数列是隔项成等比数列，是解决本题的关键.二、多选题34．（2023上·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知等比数列前n项和为，则下列不成立的是（

）A．若，则； B．若，则；C．若，则； D．若，则．【答案】ABD【分析】根据等比数列的概念与性质分析ABC，由等比数列的前项和分析D．【详解】根据等比数列的定义，等比数列的奇数项同号，偶数项同号，因此AB均不成立，C成立，对选项D，如，，但，因此D不成立．故选：ABD．35．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】设等比数列的公比为q，利用求解即可.【详解】设数列的公比为q，则，所以，解得或，即或．故选：BC．36．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅．设开学后第n天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（

）A．B．是等比数列C．第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为D．开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次【答案】ABD【分析】根据给定的信息求出递推公式判断A；变形递推公式判断B；求出通项公式，利用通项公式求项及前7项和判断CD即可.【详解】依题意，当时，，A正确；当时，，又，即，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，B正确；显然，即，则，C错误；显然，又有1920名学生，所以开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有人次，D正确．故选：ABD37．（2023下·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知是数列的前n项和，．下列结论正确的是（

）A．若是等差数列，则B．若是等比数列，则C．若是等差数列，则公差D．若是等比数列，则公比是2或－2【答案】AB【分析】根据等差数列与等比数列的定义、性质、求和公式计算即可.【详解】若是等差数列，设其公差为，则成等差数列，公差为，由，即A正确；当时显然符合题意，但C错误；若是等比数列，设其公比为，则成等比数列，公比为，由，即B正确，当时，也符合题意，故D错误.故选：AB38．（2023上·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（

）A．若数列为等比数列，成等差，则也成等差B．若数列为等比数列，则C．若数列为等差数列，且，则D．若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列【答案】ACD【分析】根据等比数列的通项与前项和公式判断A，B的正误；根据等差数列的通项与前项和公式判断C，D的正误即可.【详解】对于A，若数列为等比数列，成等差，则，若公比，则，故，所以可得，，整理得，由于，所以，所以，即，故也成等差，故A正确；对于B，若数列为等比数列，若公比时，；若公比时，则，所以，故B不正确；对于C，不妨设，则，即，所以，又，所以，故C正确；对于D，若数列为等差数列，且，则公差，所以，假设等差数列中的三项构成等比数列，，且互不相等，则，所以，所以，因为，则，其中，则，得，这与互不相等矛盾，故假设不成立，则中任意三项均不能构成等比数列，故D正确.故选：ABD.39．（2023下·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）数列满足，若，则（

）A． B．C．的前n项和为 D．的前n项和为【答案】AC【分析】对于A、B：根据题意可得，结合等差数列的定义和通项公式运算求解；对于C、D：利用错位相减法运算求解.【详解】因为，则，可知数列是以首项，公差的等差数列，可得，所以，故A正确，B错误；设的前n项和为，则，可得，两式相减得，所以，故C正确，D错误；故选：AC.三、填空题40．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则．【答案】/【分析】设数列，的公比分别为，在已知式中令得，再令,得的关系，进而联立方程组解得，进而求解即可．【详解】设数列，的公比分别为，则时，，即，当时，，即，当时，，即，联立，解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意.所以.故答案为：.41．（2023上·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）我国古代数学著作《算法统宗》记载：遥望巍巍塔七层，灯光点点倍加增.意思是：总共七层，相邻两层，下一层灯数是上一层灯数的两倍.若要满足总灯数不少于千灯，则顶层最少盏灯.【答案】504【分析】根据题意结合等比数列求和公式运算求解.【详解】设第层的灯数为，由题意可知：数列是公比为的等比数列，则，解得，且，所以顶层最少504盏灯.故答案为：504.42．（2023上·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等比数列的前项和为，则．【答案】12【分析】根据等比数列前项和的性质即可求解.【详解】法一：设等比数列的公比为，由，得，而，于是，所以．法二：因为为等比数列，所以也成等比数列，即成等比数列，即.故答案为：1243．（2023上·上海·高二校考期中）在等比数列中，若，，则．【答案】8【分析】根据等比数列的性质直接得出答案即可.【详解】在等比数列中，，，也成等比数列，因为，，所以，故答案为：44．（2023上·安徽淮北·高二校考期中）小明用数列记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记，当第k天没下过雨时，记，他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记，当预报第k天没有雨时，记记录完毕后，小明计算出，那么该月气象