高三数学教学研讨会-高考数学试卷总体评析与教学启示-副本

把握试题特点，提高后期复习的有效性—2010年高考数学试卷总体评析与教学启示

湖南省教科院欧阳新龙

2010年高考数学试卷仍有19套，其中大纲版6套，课标版13套，随着课程改革的不断推进，大纲版试卷将成“落霞〞，而当前的“孤骛〞课标版试卷却已呼朋引伴，这19套37份数学试卷〔文理合计，江苏文理同卷〕，在全面“改版〞的特殊年代，犹如青天碧水，天水相接，浑然一体。一、活水源流随处满

东风花柳逐时新

——高考命题走向根据手头资料，本人对2010年的37份高考数学试卷进行了比较分析，从中归纳出试题的假设干特点，并对今后高考数学试卷的命题新走向提出了一些看法，难免挂一漏万，敬请同行指正。新走向1：填空题数有增加趋势，选择题数会略减与前几年相比，2010年高考数学试卷的题型结构、分值配置根本保持稳定。其中全国卷I、全国卷II、天津卷、辽宁卷、浙江卷、福建卷、湖北卷、江西卷、北京卷、上海卷、陕西卷、四川卷、海南宁夏卷和山东卷没有任何变化。从表中可以发现下面一些现象。1．选择题，都是8题至12道题，新课程全国卷、辽宁卷、福建卷、山东卷、浙江卷、陕西卷、四川卷和海南宁夏卷等构成了“选择题方阵〞。2．对选择题和填空题的题型结构，局部省(市)不约而同地采取了“文理有别〞。这样做，可能想更好地表达课程改革新精神和教育新理念。3．江苏卷一直是考试改革的弄潮儿，它总是走在前面，并且一鸣惊人。2008年开始高考数学江苏卷的题型结构和分值配置进行了颠覆性的改革——废除了1983年以来一直沿用的数学高考选择题，只设置填空题和解答题两种题型，分别有14道题和6道题。而上海卷只设4道选择题就成了“孤家寡人〞。4．由于江苏卷进行了结构性大调整，有五个省市设置5道解答题又成了另外一个方阵。确实，把数列挤出了解答题大题，有时多多少少还要在试题的难度微调控和考点敛散上再花费一番心血。2010年是大局部省市大纲版高考的关门年，课标版高考的数学试卷将是“雨后春笋〞普满大地。广东卷、江苏卷、山东卷和海南宁夏卷的实践探索,我省也是第二年了,这样给我们提供了很多珍贵经验。单就数学试卷的题型结构和分值配置而言，除选做题外，我个人比较倾向的安排是：选择题8道40分，填空题7道35分，解答题6道75分。我们湖南今年考试说明中已经决定:选择题8道40分，填空题7道35分，解答题6道75分。新走向2：考点分布更趋合理，难题位置相对固定2010年高考数学知识考点不管是大纲版还是课标版都在130个以上。据初步统计，这些考点大约左右在选择题和填空题中得到了表达〔见表2和表3〕，特别是一些知识“冷点〞〔如指数和对数的运算、数系的扩充、数式比较大小、正态分布等〕也有所涉及。事实上，高考是一种选拔性考试，没有必要也没有方法过分追求知识的覆盖率。但为了考查根底知识和根本方法，也为了平衡试题的难度，更为了稳定考生的情绪，适当关注知识覆盖面的高考命题思路将不会改变。1.添叶，是目前数学课程、教材和教法改革的一个“大动作〞。为了全面贯彻新课程理念，强力支持数学课程改革，高科试题中有选择性地考查“新生代〞〔新增内容通常比较“现代〞〕中的一些主要知识和方法，这是自然而然的。从图2和图3的统计中可以发现，函数的零点、多面体的三视图、算法初步中的程序运行、含有全称量词和存在量词的命题、几何概型、茎叶图、合情推理等知识，都已成为文、理科考查的热点，有些已成为每卷必有的考点。在选择题和填空题中，集合运算、复数运算、向量运算等三种运算占必考地位，函数的性质、数列的性质、不等式的性质、曲线方程的性质等四大性质成为结构主体，自定义集合、自定义函数、自定义的向量运算、自定义数列的性质等已经作为“考查学习潜能〞的热门载体〔福建卷这方面力度最大〕，函数方程、数形结合、分类讨论、等价转换、统计分析等思想方法得到了很好的表达。我们认为，“数学全省〔市〕平均分到达90分〞应该成为试卷成功与否的一项重要指标。综观2010年高考数学试卷，我们快乐地看到，多数省〔市〕的试卷难度在降低，许多省〔市〕的试卷难度控制较好，已经到达了数学试卷“民间及格线。〞试题研究说明，选择题和填空题绝大多数是基此题，再由选择题和填空题的最后一题，以及解答题的末两三题的后半题，分层、分级控制难度，就能很好地到达区分和选拔的目的。于是，本人对文理科选择题和填空题考查新增内容的知识考点进行了统计分析，发现程序框图、三视图、复数排在前三位。究其原因，它们能较好地考查数学方法的运用、数学知识的综合和数学学习的潜能。复数是文科的新增学习内容，它已经成为文科知识考点的最大热门。从图1和图2的统计中我们发现：在选择题和填空题中，理科出现频率较高的前3个知识考点为算法初步中的程序运行、多面体的三视图、含有全称量词和存在量词的命题，文科出现频率较高的前3个知识考点为复数运算、算法初步中的程序运行、多面体的三视图。新走向3：解答题排序趋于稳定，应用题背景春风催生除五个省市试卷外，各卷都安排有6道解答题。众所周知，通常大题的排序与试卷的难度具有较强的相关性，排序趋于稳定。而应用题春风催生，因此我们有必要对应用题的题型分布情况进行统计、分析〔见表4和表5〕。〔1〕从表5的统计发现，新课程教学理念如一股强劲的春风，促使了应用性好考题的诞生，每卷至少出现一道应用性小题的已经成为必然和自然。〔2〕2010年高考数学新课程试卷中的应用性问题丰富多彩，设计社会、生产、生活的方方面面，如入世博园、彩灯安装、投球促销、收视调查、药物试验、考试成绩、轿车型号、海面营救；许多试题别开生面，如上海卷中的解答题以制作灯笼为题材考查函数知识的综合应用，湖南卷中的解答题那么以考察冰川为背景考查解析几何知识的灵活运用。2010年新课程试卷里的应用性试题充分展示了课程改革的累累硕果。(3)以理科为例，新课程全国卷第19题中的“能否提出更好的调查方法来估计〞、福建卷中第19题中的“试设计航行方案〞等，都充分表达了新课程理念。我们可以预见，应用题中的设计方案将成为考题的一种“时尚〞而逐步流行。现在，真正意义上的应用题也是万绿丛中一点红，令人赞叹不已！令人欣喜的是上海卷、湖南卷、湖北卷等都分别设置了一道应用大题，颇有创意，令人耳目一新。新走向4：读图题如雨后春笋，题型设计耳目一新读图题现在被人们越来越关注，2010年各套高考数学试卷都设置了一道读图题，其问题背景丰富多彩，涉及数学内容的方方面面。1．数学，实乃“数形学〞，因为它的研究对象主要是数式和图形。新课程数学教科书更注重读图和识图——图象、图形、图表等，因此新课程高考数学试卷中的读图题应运而生，而且如雨后春笋〔2010年陕西卷理科达9个，浙江卷文科和湖南卷文科达8个〕。2．高考试卷中的图按重要性从强到弱似乎可以分为三个层次：各种函数的图象及变换、立体几何中的图形及翻折、平面解析几何中的直线与曲线等为第一层次；程序框图、三视图、平面区域、茎叶图、频率分布直方图、正态分布曲线〔理〕等为第二层次；单位圆中的三角函数线、韦恩图、频率折线图、流程图与结构图〔文〕等为第三层次。新走向5：数列求和难度下降,解析几何载体凸现1．历史地看，数列在解答题中长期处于压轴题的地位〔尤其是理科〕，人们对它往往情有独钟。但在新课程中其数学内容已大加削减，教学要求也明显减低，相应地在高考中的地位必然会逐步下降。由于有些试卷最后一个大题安排自选模块内容，而有些试卷干脆只安排五个大题，这样就把数列挤出了解答题〔2010年已有5个地方的试卷如此这般〕，这是缺乏为怪的。可以预见，今后有些地方的试卷尽管安排6个大题，也不会再有数列解答题出现。2．由于自选模块“不等式宣讲〞的单独教学，不等式的教学难点已相对集中。自选模块外的不等式只是已经很难与数列只是综合交会，因此数列在解答题中的压轴地位必然动摇。3．从思维角度看，考查数列的综合知识还是必要的；从教学情感说，数列解答题跟我们真的难舍难分。因此，从大纲课程高考向新课程高考过渡的时候仍然安排数列解答题是适宜的，但题序将会靠前一些，考查重点将会是等差数列、等比数列的通项与求和已经利用重要不等式求最值。4．文科重视数学知识的工具性和形象性，理科突出数学概念的深刻性和抽象性，这是浙江卷文理科考查要求的定位。数列的综合知识兼备工具性和形象性；数列是特殊的函数，函数与导数的综合知识饱含深刻性和抽象性。因此，我们赞赏浙江卷文科设置、理科不安排数列解答题的几年来的做法。5．课程标准〔选修2-1〕指出：“经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握它的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质。了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握它厄定义、标准方程、几何图形及简单几何性质。〞由于椭圆、双曲线的性质具有一定厄相似性，根据椭圆的性质就可以类比得到双曲线的性质。另外，直线和双曲线的位置关系情形复杂且系非主干知识，弄懂弄通需消耗大量时间。因此，课程标准选修2-1〔相应地还有考试大纲〕降低了双曲线的教学〔考试〕难度。不出所料，2010年单独以双曲线为载体的解析几何解答题寥如晨星，仅出现在广东卷中〔见图3的饼形图〕。6．课程标准〔选修2-1〕一再强调“了解实际背景〞和“体会数形结合〞，这些要求在2010年的考题中得到了较好的表达。在选择题和填空题中，实际背景屡见不鲜，数形结合俯拾即是，尤其是湖南卷精心设计了有关椭圆与圆的应用解答题，真是匠心独运。7．解析几何是重头戏，在新课程高考里还是岿然不动。两个“掌握〞，奠定了它们在高考中的压轴〔至少是准压轴〕地位。考试难度常见是较难题，且理科卷中其题序大致在倒数第2题〔文科可能在最后一题〕。由于新课程试卷都还处在摸索阶段，对解析几何的定位还有不确定性，估计中偏上的难度会是人们今后的共识。新走向6：模块考试五花八门,“2选1〞两者兼顾1．新课程高考各地的试卷对各自模块的要求相差很大，有文科考生暂不要求的，还有全体考生都暂不要求的。而处理方式也是五花八门，有放置在正卷中的，如天津卷、辽宁卷、福建卷〔理科〕、广东卷、新课程全国卷、北京卷〔理科〕、湖南卷、陕西卷等；有另外放置在其他考卷中，供考生选用的，如浙江卷；有另设附加题的形式〔并与其他内容编排在一起〕的，如浙江卷。有的题目只出现在选择题和填空题之中，还有题目安排在解答题里的。2．但凡涉及自选模块的试题难度都不大，均属中等或中等偏下的水平。由于自选模块的试题都有“供选〞的特点，因此“难度怎样才能相当〞就成了出题者的心病和应试者的担忧。3．从试卷结构上看，把自选模块的大题安排在最后一道解答题里似乎非常完美，但从学生应试心理看，有必要做些调整，放在第一个解答题里也许更适宜。4．自选模块的试题内容有如下5种组合：几何证明选讲〔必选〕；坐标系与参数方程〔必选〕；几何证明选讲、坐标系与参数方程〔2选1〕；坐标系与参数方程、不等式选讲〔2选1〕；几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲〔3选1〕；几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲〔4选2〕。为减轻学生学习负担，设计大纲课程数学内容的精髓，我们一线老师比较倾向“坐标系与参数方程、不等式选讲〞这种“2选1〞的组合。二、咬定青山不放松立根原在破岩中

——高考教学建议2010年全国各地高考数学试卷给我们今后的复习教学带来的启示依然是：教准、练实、学活。我们过去就这个话题谈得比较多，现在主要提三个方面的教学建议。1．理顺知识体系的“根〞与“叶〞

在我们看来，高考数学复习要合唱好“知识与方法〞、“思路与技巧〞、“速度与精度〞三部大戏。在抓准《考试大纲》变化、领会《考试说明》要义的同时，建立和完善好数学知识体系〔用框图的形式表示最直观〕，这是一项“根深叶茂〞的根底工程，至关重要。

考点诠释、命题解析和考向预测是复习教学集体备课的主要内容，是教师个人专业成长的根本途径，也是提高课堂复习效率的有效措施。在高考第一轮复习中，备课组要对重要的知识考点、选择题和填空题的热点进行分工解读，然后经过共同讨论形成共识，并作为集体智慧的结晶共同分享，研讨过程可以激发青年教师的工作热情，施展青年教师的专业才华，提高备课组的整体实力。

“线性规划〞备课实录〔1〕考点诠释。“直线和圆的方程〞一章共有十二个知识考点，“用二元一次不等式表示平面区域〞和“简单的线性规划问题〞是其中的两个，它的考试要求是“了解二元一次不等式表示平面区域〞，“了解线性规划的意义，并会简单的应用。〞“线性规划〞在生产、生活中的应用十分广泛，因而它自然而然就成为了高考的一个热点；“线性规划〞又综合了直线、圆、不等式等根底知识，突出了数形结合等数学思想，近年它一“走进〞试卷就立即“红火〞，几乎成了高考试题的“试验田〞。“线性规划〞的考查特点：一是采用选择题和填空的形式，将直线和圆的方程及性质、不等式〔组〕、求最大〔小〕值等融为一体，考查根底知识和简单应用；二是将线性规划与实际生活相结合、或与概率、统计等知识相联系，编拟成解答题，考查综合素质。

〔2〕命题解析湖南今年没有考，我估计明年应该考该内容

〔2004年考卷理科第5题〕设z=z-y，式中变量x和y满足条件那么z的最小值为〔〕。(A)1〔B〕-1〔C〕3〔D〕-3【评注】此题考查线性规划求最值等根底知识，考查运算能力，教科书练习题难度，属容易题。〔2005年考卷文科第10题、理科第17题〕设集合A={(x，y)|x，y,1-x-y是三角形的三边长}，那么A所表示的平面区域〔不含边界的阴影局部〕是〔〕【评注】此题考查集合运算、平面区域等根底知识，考查数形结合的思想方法，带有一定的应用性和灵活性，属中等难度。〔2006年考卷文科第9题〕在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是〔〕.〔A〕4〔B〕4〔C〕2〔D〕2〔2006年考卷理科第4题〕在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是〔〕〔A〕4〔B〕4〔C〕2〔D〕2【评注】以上两题考查平面区域等根底知识，考查运算能力，教科书习题难度，属容易题。〔2007年考卷文科第14题〕z=2x+y中的x、y满足约束条件那么的最小值是。[评注]此题考查线性规划求最值等根底知识，考查运算能力，教科书练习题难度，属于容易题，与2004年理科第5题类似。〔2007年考卷理科第17题〕设m为实数，假设，那么z是取值范围是。[评注]此题考查平面区域、直线和圆的方程及性质等根底知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力，属较难题。〔2006年样卷文科第6题〕假设点A(2,0),B(a-2,4)分别在直线的两侧，那么a的取值范围是〔〕。〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕[评注]此题考查一元一次不等式、平面区域等根底知识，考查运算能力，教科书复习题难度，属中等题。〔2007年样卷文科第15题〕目标函数z=4y-2x在条件下的最小值是。[评注]此题考查线性规划求最值、不等式组等价变形等根底知识，考查运算能力，教科书复习题难度，属中等题。〔2007年样卷理科第10题〕三角形的三顶点为A(0,0),B(10,0),C(2,4),P为三边围成的区域〔含边界〕内一点，那么P到三角形三边距离和的最大值为〔〕。〔A〕4〔B〕〔C〕〔D〕10[评注]此题考查平面区域、函数与不等式等根底知识，考查运用消元法解题的能力，属较难题。〔3〕考向预测“线性规划〞的考题仍会以选择题或填空题的形式出一文科题较典型、常规，难度会控制在教科书复习题或习题层次；理科题较新颖、灵活，会考查数学思想方法的运用能力，一般不会出现线性规划解答题。①平面区域与点例1表示的平面区域包含点〔0，0〕和〔-1，1〕，那么m的取值范围是〔〕〔A〕〔0，6〕〔B〕〔-3，6〕〔C〕〔0，3〕〔D〕〔-3，3〕解析：由题设得解得。答案选C。例2点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)满足，且，那么〔〕。〔A〕直线与线段PQ相交〔B〕直线与线段PQ的延长线相交〔C〕直线与线段QP的延长线相交〔D〕直线与直线QP不相交解析：由条件知，P、Q两点在直线的同侧，由得，即点P到直线的距离大于点Q到直线的距离，故直线与线段PQ的延长线相交，答案选B。③平面区域与动点轨迹例3点M(a,b)在由不等式组所确定的平面区域内，那么点N(a+b,a-b)所在平面区域的面积为。解析：根据题意得设那么所以线性约束条件转化为即从而求得点N(a+b,a-b)所在平面区域的面积为4。④平面区域与概率例4假设连接掷两个骰子〔各面分别标有1~6点的正方体〕分别得到的点数m、n作为点P的坐标，那么点P落在区域内的概率为〔〕。〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：以得到的点数作为点P的坐标，共有36种情况，作出可行域。点P落在可行域内的情况为〔3，2〕，〔3，3〕，〔4，1〕，〔4，2〕，〔4，3〕，〔4，4〕，〔5，1〕，〔5，2〕，〔5，3〕，〔5，4〕，〔5，5〕，〔6，1〕，〔6，2〕，〔6，3〕，〔6，4〕，〔6，5〕，〔6，6〕共17种，故所求的概率为，答案选B。⑤平面区域与向量数量积例5设O为坐标原点，M(2，1)，点N(x,y)满足那么的最大值为。解析：，画出可行域〔如图11〕，可知〔5，2〕是最优解，2x+y的最大值为12，因此的最大值为。图11⑥涉及函数的平面区域线性规划问题例6设，且实数x、y满足条件那么的最大值是〔〕〔A〕〔B〕3〔C〕4〔D〕5解析：条件可以等价转化为

画出可行域，并根据斜率的几何意义，易知点〔1，5〕为最优解，此时的最大值为5，答案选D。⑦涉及圆锥曲线的平面区域线性规划问题。例7设曲线的两条渐近线与右准线围成的三角形区域〔包含边界〕为D，P〔x,y〕为D内一个动点，那么目标函数z=x-2y的最小值为〔〕。〔A〕-2〔B〕〔C〕0〔D〕解析：由得平面区域D是由直线x-y=0、x+y=0和所围成，结合图形知是最优解，此时z的最小值为，答案选B。例8定义设实数x、y满足约束条件，那么z的取值范围是〔〕。〔A〕[-6，10]〔B〕[-7，10]〔C〕[-6，8]〔D〕[-7，8]解析：由(4x+y)-(3x-y)=x+2y知直线x+2y=0将约束条件所确定的区域分为两局部，如图12所示。图12令z1=4x+y，点(x,y)在四边形ABCD上及其内部，可求得令z2=3x-y，点(x,y)的四边形ABEF上及其内部〔除AB边〕，可求得。综上，z的取值范围是，答案选B。2．展现专题复习的“理〞与“美〞如果说高考第一轮复习强调的是根底和全面，那么第二轮复习侧重的是重点和提高。通常做法是大家都进行一些专题复习，但这又很容易出现“炒冷饭〞、“走过场〞的教学现象。原因何在？没有充分展现专题复习的“理〞与“美〞，缺了“理〞，学生思维密度低，提不起精神，过早出现“高原反响〞；少了“美〞，学生学习兴趣弱，感到复习就是做题，容易产生“视觉疲劳〞。其实，数学的理性思维活灵活现，数学的以美启真熠熠生辉，关键是我们怎样去点击。比方，平面向量载体下的三角形“四心〞〔重心、垂心、外心、内心〕问题，是最近几年各类试卷命题的一个热点，它具有较强的灵活性，富有一定的挑战性。其设计简洁明快，令人耳目一新，下面采撷数例，并进行纵横分析。〔1〕把握特点，静态分析。例9点O、P是所在平面内的两点，，那么点O是的〔〕〔A〕重心〔B〕垂心〔C〕外心〔D〕内心解：化为，即，可知点O为的重点〔证略〕，答案选A。例10设点O为所示平面内一点，且，那么O一定为的〔〕。〔A〕重心〔B〕垂心〔C〕外心〔D〕内心解：答案选B。例11在中，是a,b,c是角A、B、C所对边的长，P是所在平面上的一点，，那么P是的〔〕。〔A〕重心〔B〕垂心〔C〕外心〔D〕内心解：因为，，所以，所以，而平分，故AP平分。同理可证BP平分。因此P为的内心，答案选D。[评注]以上三例，通过向量的运算对条件中给出的向量表达式进行合理地变形，使之具有鲜明的几何意义，使得我们能够根据“四心〞的概念或特点作出正确的判断。〔2〕重视模型，动态探究。例12O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，那么动点P的轨迹一定通过的〔〕。〔A〕重心〔B〕垂心〔C〕外心〔D〕内心解：、分别为和的单位向量，那么的方向为的角平分线的方向，又，所以的方向与的方向相同，而，所以点P在上运动，一定通过的内心，答案选D。例13点O是所在平面内的一定点，动点P满足，，那么动点P的轨迹一定通过的〔〕。〔A〕重心〔B〕垂心〔C〕外心〔D〕内心解：因为，所以当时

，表示垂直于的向量，因此点P在过点A且垂直于BC的直线上，即动点P的轨迹一定通过的垂心，答案选C例14点O是所在平面内的一定点，动点P满足，，那么动点P的轨迹一定通过的〔〕。〔A〕重心〔B〕垂心〔C〕外心〔D〕内心解：设BC中点为D，那么，根据正弦定理可设，又由条件得所以A、P、D三点共线，答案选A。[评注]以上三例的条件中给出的向量表达式结构相似、形式优美，我们常要利用数量积运算、运用正弦定理等进行适当处理，使其结构具有几何意义，从而自然凸现点轨迹。3．探寻数学问题的“源〞与“流〞高考冲刺阶段复习，讲究的是选题的品位和练题的质量，通过对经典题的追根溯源和延伸拓展，及时撩开披在考题头上的神秘面纱，学生的心情会得到调适，使他们做到有张有弛，从这个意义上说，我们不仅在继续挖掘学生的学习潜能，而且在深入开发学生的非智力因素。融合贯穿是课堂复习教学的较高境界，其标志是学生能够发现题目的漏洞和解答的疏忽〔现在很多教辅书都存在，有的甚至还是模拟训练题〕，能够对题目进行改进、加工和变式。因此，这轮复习气氛要尽量营造得轻松、愉悦些，师生共同活动的环节要尽量实际、实在、实用些。下面剖析一道浙江省考题。例15设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，于E〔如图13〕。现将沿DE折起，使二面角A-DE-B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，那么M、N的连线与AE所成角的大小等于。图13解：此题通常有三种求解方法。〔方法1〕折叠后的图形如图14所示。可知，，所以AB=BE。取AE的中点Q，连接MQ，BQ。因为，，N为BC的中点，所以，所以。因为，所以。故M、N连线AE与所成的角为90°。图14〔方法2〕折叠后的图形如图15所示，可知。设AB=EB=a，那么取DE的中点F，那么，，。所以在中，由余弦定理可得。因为，所以。又因为，所以MN与AE所成的角为90°。图15〔方法3〕用空间向量求解〔略〕。我们知道，正方体是一种核心几何体，立体几何所研究的平行、垂直、角、距离等位置关系和度量关系从中都可以充分反映出来。如图16，在正方体AD中，易知对角面ABDG的对角线AD、BG和“中截面〞正方形NPQR的对角线PR、NQ相交于一点M。又因为NPQR是正方形，所以，又由于，故MN与AE所成的角为90°。现在我们把上述正方体AD的局部“展〞在一个平面内，即可得到一个直角梯形ABCD，其中BCDE是正方形，M、N为两腰的中点。图16事实上，对上述正方体AD，在BE、AB长度保持不变的前提下，BC长度可进行伸缩变化，无论如何“中截面〞正方形NRQP的对角线交点M都是AD的中点，结论“〞仍然成立，从而MN与AE所成的角仍为90°。类似地，把这个特殊的长方体AD的局部“展〞在一个平面内，也得到一个直角梯形ABCD，其中BCDE的长方形，，M、N为两腰的中点〔如图17〕。图17由此我们溯流而上，寻根问源，把上述直角梯形按题意进行折叠，就自然得到了上述高考的原题，同时利用构造正方体的奇思妙想〔方法4〕也油然而生。〔方法4〕把图形折叠后，可知就是二面角A-DE-B的平面角。因为，平面BCDE，所以AB=BE。如图18，以AB、BE、BC为棱作正方体AD，并取DE的中点P。因为点M是正方体对角线AD的中点，所以点M也是正方体AD的中心。因为点P和点N分别为DE、BC的中点，所以平面MNP截正方体AD所得的图形为正方形NPQR，所以。又因为，所以AE与MN所成的角为90°。图18变式1：设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，于E，现将沿DE折起，使二面角A-DE-B为30°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为B，求直线MN与AE所成角的大小。答案：60°。变式2：如图19，在直角梯形ABCD中，BC=CD，于E，且现将沿DE折起，使二面角A-DE-B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为B，求证：〔1〕A、B、C、D、E五点在同一球面上：〔2〕假设这个球的半径为1，求A、E两点间的球面距离。答案：〔1〕略〔提示：AD的中点M就是球心〕；〔2〕。图19总之，高考复习教学是一项系统工程，理顺知识体系的“根〞与“叶〞、展现专题复习的“理〞与“美〞、探寻数学问题的“源〞与“流〞都只是落实“教准、练实、学活〞六字方针的三个侧重点，而2010年高考数学试卷留给我们的更多启示还有待于大家进一步感悟。三、纸上得来终觉浅，绝知此事须躬行

—后期复习策略1．回归课本，夯实根底课本是考试内容的载体，是高考命题的依据，也是学生智能的生长点，是最有参考价值的资料。有相当多的高考试题是课本中基此题目稍作变形得来的，其用意就是引导学生重视根底，切实抓好根底知识、根本技能、根本方法。在后期复习过程中，要注意回归课本，浓缩所学的知识，进一步夯实根底，熟练掌握解题的通性通法，提高解题速度。2．突出主干知识，加强薄弱环节在第二轮、第三轮复习中，应对高中数学的重点内容：函数、不等式、数列、几何体中的线面关系，直线与圆锥曲线，新增内容中的向量、概率统计、导数进行强化复习。其中，函数是高中数学的核心内容，又是学习高等数学的根底，贯穿高中数学的始终，运用函数的观点，可以从较高的角度去处理方程、不等式、数列、曲线与方程等问题。注意打破知识之间的界限，加强各章节知识之间的横向联系。引导学生认真分析自己一轮复习的感受及作业、试卷情况，针对第一轮的薄弱环节，加强研究，再有针对性地选择一些课本的典型习题、近年的高考题、模拟题，甚至是第一轮中做过的题(难度不宜过大)，集中强化训练，提高一个档次。第二轮、第三轮复习中，应使考生应对考纲所列知识点全面分析，全面把握，对根底知识、主干知识要重点掌握。尤其是第一轮复习中的薄弱点应及时补上。3．精选典型习题，克服复习倦怠高三后期，各种各样的考试扑面而来，针对接踵而至的各种训练题、师生疲惫困乏的不争现实，如果一味做一些老题、套题，学生肯定会感到厌烦。因此，要精选有代表性的习题，看哪些题是情景求新，哪些题是材料求新，尽量克服复习中的倦怠情绪。但要注意的是，创新要以夯实根底为本，有些重复训练、提炼、归纳和综合是必要的。试题训练以中档题为主，许多教师、学生在复习时，喜欢采取“三高〞政策，也就是“高起点、高强度、高要求〞，拿一些高难度的题目来进行练习。对此，本人建议，第二轮、第三轮复习要多做中档题。通过训练复习，提高解题技巧和准确性，优化解题思路和方法。4．提高理解和运算能力复习中要着重弄清根本数学知识和根本数学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法，解决同一数学问题的多种途径，在分析解决问题的过程中，构建知识间的横向联系，养成多角度思考问题的习惯，注意一题多变和多题一解，重视审题及解题后的反思，理清解题思路，寻求最正确解答方法，做到举一反三，融会贯穿。数学高考历来重视运算能力，要求考生能够根据题设条件，合理运用概念、公式、法那么、定理，提高运算的准确性。要注意算理，寻求与设计合理、简捷的运算途径，提高运算的合理性与简捷性，适当注意近似计算、估算、心算，提高运算速度。5．强化数学思想方法6．养成良好的解题习惯培养“一次成功〞的解题习惯。数学解题时一定要切记“欲速那么不达〞，确保一次成功。因此在第二轮复习中，培养“一次成功〞的解题习惯可从以下四个方面人手：第一，审题要准。审题时，速度不宜太快，而且最好采取二次读题的方法，第一次为泛读，大致了解题目的条件和要求；第二次为精读，根据要求找出题目的关键词语并挖掘题目的隐含条件。审题，制定解题方案要慢，没路走要找路走，也不要急于有路就走，要适当地选择好的方案，多想一点，少算一点，甚至少算很多。一旦方案选定，除必要时调整外，解题动作要快，不要一步三回头。解题要立足于一次成功，不要养成唯恐做不完，匆匆忙忙抢着做，寄希望于检查的坏习惯。第二，算理要清。在解题过程中不仅要明确每一种运算的根本步骤和方法，还要明确这种运算的条件是否具备。第三，跨度要小。解题过程(尤其是运算过程)的衔接要紧密，不要跳宇，尽量用笔算代替心算。第四，考虑要周全。切忌思考问题丢三落四、想当然、麻痹大意，在平时训练时，出现此种情形，除性格因素外，要特别考虑一下在知识和方法上的缺陷。教师还要注意引导学生做好改错反思工作，将多套试卷集中在一起分析，查找自己错误的规律，才能清醒的查漏补缺，把问题及时解决掉。7．重视客观题的训练

要强化客观题的训练和研究。不仅要求学生的解题结果正确，还要教学生学会优化解题过程，追求解题质量，不断积累解客观题的经验。例如解选择题除用直接法外，还要灵活运用特殊值法、排除法、检验法、数形结合法、估计法等方法来解题。解法的差异，速度的快慢，正表达了学生不同层次的思维水平。

8．抓热点、拿分点，扎实专题训练

(1)应用题专题。数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一(一般有一道解答题和两道选择题题或填空题)，也是考生失分较多的一种题型。此类题目意在突出能力考查，加大区分度，更好地表达高考试题的选拔功能，从而更好地贯彻“重视应用，培养用数学的意识，培养综合、灵活运用数学知识〞的精神。解答这类问题的关键是要深刻理解题意，学会文字语言与数学符号语言的转化，这就需要建立恰当的数学模型，将实际问题转化为数学问题，最后再用己学过的数学知识去解决问题。高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，当然计算型和信息迁移型有时也会出现。另外，数学高考应用性问题往往关注当前国内外的政治、经济、文化等，紧扣时代的主旋律，凸显了学科的特色，是历年高考命题的一道亮丽的风景线。高考中的应用性问题，是以考查学生的数学知识、方法与能力为主，考查学生应用数学的意识，在学习中要准确把握根底、能力和应用三者的关系。按所涉及的主要数学知识点，近几年高考数学应用题大致可分为以下7类：①以函数、方程、不等式、导数等知识为背景的应用题；②以数列知识为背景的应用题；③以三角函数知识为背景的应用题；④以向量知识为背景的应用题；⑤以解析几何中的直线、线性规划、圆锥曲线等知识为背景的应用题；⑥以立体几何知识为背景的应用题；⑦以排列、组合、概率、统计等知识为背景的应用题。解数学应用题首先要读懂题意，对于关键字、词、句、式等信息要咬文嚼字，仔细分析，捕捉题中的数学模型与数量关系。对于较复杂的数量关系，可根据事物类别、时间先后、问题的工程列出表格或作出草图，将复杂的数量关系清晰化。最后要联系问题的原始背景对所得结果进行检验，以确保所得结论具有实际意义(2)综合题专题。所谓综合题，是泛指题目本身或在解题过程中，涉及多个知识点和多种数学思想方法、具有较高能力要求的数学题。高考数学考试大纲指出：“对数学能力的考查，强调‘以能力立意’，就是以数学知识为载体，从问题人手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料。侧重表达对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活地应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，并切合考生实际。〞数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各局部知识在各自的开展过程中的纵向联系和各局部知识之间的横向联系。要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试题的结构框架。因此，注重学科的内在联系和知识的综合性，在知识网络交会点设计综合试题，已成为高考数学试题的主要特点之一。近几年高考的主要综合题型有：①含参不等式问题；②数列不等式及点列问题；③圆锥曲线综合题(和平面向量综合；和函数、导数等知识综合)；④导数的多向综合题；⑤概率统计综合题。高考综合题无论怎样变化和综合，但数学知识点是不变的，因此只要我们把握了知识点的真正内涵和外延，就能以不变应万变!有的学生对各个知识点的学习都比较完整，但解决问题，特别是解决综合性问题的能力较差，原因就在于其知识的整体系统的结构不合理。(3)压轴题专题。高考是检测学生综合素质的“选拔性〞考试，为让数学素质好的考生拿高分，命题者总会在编写假设干“压轴题〞(通常指试卷最后一、二题或全卷中最难的题，它是高考综合题的一个重要分支)上下足功夫。这些题新而不怪，活而不偏，综合而不繁琐，既有突出的选拔功能，又对中学数学教学具有良好的导向作用。此类题在高考中举足轻重。高考数学压轴题按考查的主体知识大致可分为以下4类。①以“数列〞为主体。数列既是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的根底，在历年的高考中占有重要地位，常充当压轴题的角色。高考数列压轴题考查的重点是与递推数列有关的知识和解题方法，特别突出考查递推、迭加、待定系数、分类讨论等重要数学思想方法和必要的逻辑推理能力和运算能力。在命题方向上以数列为载体，综合函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识交会处的内容，使其变得更具新意，更有效地考查灵活运用相关知识分析问题、解决问题的能力，考查学生的思维品质和创新意识。②以“函数、不等式〞为主体。“函数〞和“不等式〞是高中数学中起连接和支撑作用的主干知识，是贯穿于高中数学的一条主线，其知识点多、覆盖面广、思想丰富、综合性强，极易与其他知识(如方程、数列等)建立相互联系，相互渗透和交叉。正因如此，历年高考以“函数、不等式〞为主体内容的压轴题频频出现，且常考常新。特别是新高考增加了“导数〞和“向量〞等内容之后，给函数和不等式问题注入了新的生机和活力，开辟了许多新的解题途径，同时也拓宽了高考对函数和不等式问题的命题空间。③以“直线与圆锥曲线〞为主体。平面解析几何作为中学数学中几何代数化的典型代表，表达为重视能力立意，强调思维空间，是用“活题〞考“死知识〞的典范。具有涉及面广、综合性强、运算量大、题目新颖、灵活多样、能