2024年广东中考数学总复习-第2讲+整式与因式分解

第13页（共13页）2024年广东中考数学总复习—第2讲整式与因式分解知识梳理1．代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．（1）代数式求值：用数值代替代数式里的未知数，按照代数式的运算关系计算得出结果．（2）代数推理：通过数学证明，等式变换等方式将复杂的问题简单化，形成一般性的公式，最终达到想要的结果．【练习】1-1．用代数式表示“x的13与y的12的差”为【练习】1-2．某种弹簧秤能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为8cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长2cm，在弹性限度内，当挂重xkg的物体时，弹簧长度是cm．（用含x的代数式表示）【练习】1-3．若4a﹣3b＝3，则7﹣12a+9b＝．【练习】1-4．观察一列数：12，24，38，416，…根据规律，请你写出第n个数是2.整式的相关概念：(1)单项式：由数或字母的积组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.(2)多项式：几个单项式的和叫做多项式.多项式中，_____________的项的次数，叫做这个多项式的次数.(3)整式：单项式与多项式统称为整式.(4)同类项:所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.【练习】2-1．单项式3πx4y7的系数是，次数是【练习】2-2．多项式12a2bc-3ab+8是次【练习】2-3．若单项式﹣2xmy4与12x3ym+n的和仍是单项式，则m﹣n3.整式的运算：（1）整式的加减法：①合并同类项：把同类项的_____________相加，字母和字母的__________不变.②去括号法则：括号前为“＋”，去括号后原括号里的每一项都不变号；括号前为“－”，去括号后原括号里的每一项都要变号.如a＋(b＋c)=________________，a－(b－c)=_______________.(2)幂的运算法则：①同底数幂相乘：am·an=_____________(m，n均为正整数).②同底数幂相除：am÷an=_____________(a≠0，m，n均为正整数，并且m>n).③幂的乘方：(am)n=_____________(m，n均为正整数).④积的乘方：(ab)n=_____________(n为正整数).⑤负整数指数幂：a－n=____________（a≠0，n为正整数）.⑥零指数幂：a0=_____________(a≠0).（3）整式的乘法：①单项式乘单项式：把它们的系数、同底数幂分别_____________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的_____________作为积的一个因式.②单项式乘多项式：m(a＋b)=_________________.③多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)=__________________________.④乘法公式：平方差公式：(a＋b)(a－b)=_____________.完全平方公式：(a±b)2=____________________.常用的公式变形：a2＋b2=(a＋b)2－2ab;a2＋b2=(a－b)2＋2ab;(a＋b)2=(a－b)2＋4ab;(a－b)2=(a＋b)2－4ab.（4）整式的除法：①单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.【练习】3-1．计算：（a3）2•2a＝．【练习】3-2．计算：2x2•3xy的结果是．【练习】3-3．计算（2x）2（﹣3xy2）＝．【练习】3-4．计算：（1）3xy•5x3＝；（2）6m2÷3m＝．【练习】3-5．计算：28x4y2÷7x3y2＝．【练习】3-6．计算：（2x﹣1）（3x+2）＝．【练习】3-7．计算：(6x3y2【练习】3-8．计算：（2x+y）（2x﹣y）＝．【练习】3-9．已知（x﹣3）2＝x2+2mx+9，则m的值是．4.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式．（1）提公因式法：ma＋mb＋mc=m（a＋b＋c）．（2）公式法：①平方差公式：a2－b2=___________________________．②完全平方公式：a2±2ab＋b2=________________．（3）（拓展）十字相乘法：x2＋（a＋b）x＋ab=（x＋a）（x＋b）．【练习】4-1．因式分解：3a2b﹣9ab＝．【练习】4-2．分解因式：m2﹣36＝．【练习】4-3．分解因式：a2+8a+16＝．【练习】4-4．因式分解：am+an﹣bm﹣bn＝．【练习】4-5．分解因式：2ax2﹣4ax+2a＝．【练习】4-6．因式分解：x2﹣8x+12＝．【练习】4-7．分解因式：m2﹣4m﹣5＝．

习题参考答案【练习】1-1．1【练习】1-2．（8+2x）．【练习】1-3．﹣2．【练习】1-4．n【练习】2-1．3π7，【练习】2-2．四；三．【练习】2-3．2．【练习】3-1．2a7．【练习】3-2．6x3y．【练习】3-3．﹣12x3y2．【练习】3-4．（1）15x4y；（2）2m．【练习】3-5．18x-6y.【练习】3-6．6x2+x-2【练习】3-7．18x﹣6y．【练习】3-8．4x2-y2．【练习】3-9．﹣3．【练习】4-1．3ab（a﹣3）．【练习】4-2．（m﹣6）（m+6）．【练习】4-3．（a+4）2．【练习】4-4．（m+n）（a﹣b）．【练习】4-5．2a（x﹣1）2．【练习】4-6．（x﹣2）（x﹣6）．【练习】4-7．（m﹣5）（m+1）．考点突破考点一：整式的相关概念1．单项式﹣2x2y的系数是；多项式x4y2﹣x2y+23y4的次数是．2．如果单项式﹣an﹣2bn﹣1与12abm+3的和仍是单项式，那么mn＝考点二：整式的运算3．下列计算正确的是（）A．a3•a3＝2a3 B．（ab2）3＝ab6 C．2ab2•（﹣3ab）＝﹣6ab3 D．10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2b24．已知xm＝2，xn＝3，则xm+n的值是（）A．5 B．6 C．8 D．95．观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b26．下列计算正确的是（）A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2 B．（﹣x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．（2x﹣y）（x+2y）＝2x2﹣2y2 D．（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝x2﹣4y27．下列计算正确的是（）A．2a2•3a2＝6a2 B．（3a2b）2＝6a4b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．﹣a2+2a2＝a2考点三：代数式求值8．若x2﹣2x+1的值为10，则代数式﹣2x2+4x+3的值为．9．已知a2+3a﹣2023＝0，则2a2+6a﹣1的值为．10．图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为18，则输出的结果为．11．已知m＝2，n=-1212．已知（a+b）2+（a﹣b）2＝20．（1）求a2+b2的值；（2）若ab＝3，求（a+1）（b+1）的值；（3）若2a﹣3b＝m，3a﹣2b＝n，求mn的最大值．考点四：因式分解13．分解因式：（1）m2﹣1＝；（2）a2+5a＝；（3）x2﹣4x+4＝．14．若x2﹣mx+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为．15．如果关于x的二次三项式x2+kx+5可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数k等于．考点五：规律探究16．已知S1＝10，S2=11-S1，S3=17．1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察右图中的数字排列规律，求a+b﹣c的值为．18．一组按规律排列的单项式a、2a2、3a3、4a4，…，依这个规律用含字母n（n为正整数，且n≥1）的式子表示第n个单项式为．19．如图，把每个正方形等分为4格，在每格中填入数字，在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x＝.（用a，b表示）20．一列数：13，26，311，418，527，638，…，它们按一定的规律排列，则第n个数（n考点突破参考答案与试题解1．【答案】﹣2，7．【解答】解：单项式﹣2x2y的系数是﹣2，多项式x4y2﹣x2y+23y4的次数是7．故答案为：﹣2，7．2．【答案】﹣1．【解答】解：由题意，n﹣2＝1，n﹣1＝m+3，∴m＝﹣1，n＝3，∴mn＝（﹣1）3＝﹣1．故答案为：﹣1．3．【答案】D【解答】解：A、a3•a3＝a6，本选项错误，不符合题意；B、（ab2）3＝a3b6，本选项错误，不符合题意；C、2ab2•（﹣3ab）＝﹣6a2b3，本选项错误，不符合题意；D、10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2b2，本选项正确，符合题意；故选：D．4．【答案】B【解答】解：∵xm＝2，xn＝3，∴xm+n＝xm×xn＝2×3＝6．故选：B．5．【答案】B【解答】解：由题意得：图1的面积＝（a+b）（a﹣b），图2的面积＝a2﹣b2，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：B．6．【答案】D【解答】解：A、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，本选项错误，不符合题意；B、（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，本选项错误，不符合题意；C、（2x﹣y）（x+2y）＝2x2+3xy﹣2y2，本选项错误，不符合题意；D、（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝（﹣x）2﹣（2y）2＝x2﹣4y2，必须执行正确，符合题意．故选：D．7．【答案】D【解答】解：A、2a2•3a2＝6a4，故A不符合题意；B、（3a2b）2＝9a4b2，故B不符合题意；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；D、﹣a2+2a2＝a2，故D符合题意；故选：D．8．【答案】﹣15．【解答】解：∵x2﹣2x+1＝10，∴x2﹣2x＝9，∴﹣2x2+4x+3＝﹣2（x2﹣2x）+3＝﹣2×9+3＝﹣15．故答案为：﹣15．9．【答案】4045．【解答】解：∵a2+3a﹣2023＝0，∴a2+3a＝2023，∴2a2+6a﹣1＝2（a2+3a）﹣1＝2×2023﹣1＝4045，故答案为：4045．10．【答案】见试题解答内容【解答】解：若输入的数为18，代入得：3（18﹣10）＝24＜100；此时输入的数为24，代入得：3（24﹣10）＝42＜100；此时输入的数为42，代入得：3（42﹣10）＝96＜100此时输入的数为96，代入得：3（96﹣10）＝258＞100，则输出的结果为258．故答案为：258．11．【答案】﹣2mn，原式＝2．【解答】解：m＝m3n﹣2n3m2﹣4mn+2m2n3+2mn﹣m3n＝﹣2mn，当m＝2，n=-12时，原式＝﹣2×2×（-12．【答案】（1）10；（2）8或0；（3）125．【解答】解：（1）∵（a+b）2+（a﹣b）2＝20，∴a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2＝20，2a2+2b2＝20，∴a2+b2＝10；（2）∵ab＝3，∴2ab＝6，∵a2+b2＝10，∴a2+2ab+b2＝10+6＝16，（a+b）2＝16，a+b＝±4，∴当a+b＝4时，（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝3+4+1＝8，当a+b＝﹣4时，（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝3+（﹣4）+1＝0，∴（a+1）（b+1）的值为8或0；（3）由（1）可知：a2+b2＝10，∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，10+2ab≥0，2ab≥﹣10，ab≥﹣5，∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2﹣2ab≥0，10﹣2ab≥0，﹣2ab≥﹣10，ab≤5，∴﹣5≤ab≤5，∴ab的最小值为﹣5，∵2a﹣3b＝m，3a﹣2b＝n，∴mn＝（2a﹣3b）（3a﹣2b），＝6a2﹣4ab﹣9ab+6b2＝6a2+6b2﹣13ab＝6（a2+b2）﹣13ab＝6×10﹣13ab＝60﹣13ab，∴mn的最大值为：60﹣13×（﹣5）＝60+65＝125．13．【答案】（1）（m+1）（m﹣1）；（2）a（a+5）；（3）（x﹣2）2．【解答】解：（1）m2﹣1＝（m+1）（m﹣