高考数学总复习 第七章第六节 课时跟踪训练 理

课时知能训练一、选择题1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则x、y的值分别为()A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2) D．x＝eq\f(1,2)，y＝1【解析】如图，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．【答案】C2．(2012·广州模拟)设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上的两个点A，B的坐标分别为A(1,2,2)，B(2，－2,1)，则|AB|等于()A．18 B．12C．3eq\r(2) D．2eq\r(3)【解析】|AB|＝eq\r(1－22＋2＋22＋2－12)＝3eq\r(2).【答案】C3．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，y，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y,1)，且BP⊥AB，则实数x，y，z分别为()A．5，－1,1 B．1,1，－1C．－3,1,1 D．4,1，－2【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)＝eq\f(y,2)＝－eq\f(z,2)，得z＝－1，y＝1.∵BP⊥AB，∴2(x－1)＋2y－2＝0，解得x＝1.【答案】B4．A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，M为BC中点，则△AMD是()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定【解析】∵M为BC中点，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．【答案】C5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为()A．a2 B.eq\f(1,2)a2C.eq\f(1,4)a2 D.eq\f(\r(3),4)a2【解析】设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.【答案】C二、填空题6．(2012·佛山调研)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉的值为________．【解析】设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，可知eq\o(CM,\s\up6(→))＝(2，－2,1)，eq\o(D1N,\s\up6(→))＝(2,2，－1)．∴cos〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝－eq\f(1,9)，sin〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝eq\f(4\r(5),9).【答案】eq\f(4\r(5),9)7．正四面体ABCD棱长为2，E、F分别为BC、AD中点，则EF的长为________．【解析】设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝2，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝eq\f(π,3).∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)(b＋a)＝eq\f(1,2)(c－b－a)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(c2＋b2＋a2－2b·c－2c·a＋2a·b)＝eq\f(1,4)×(4＋4＋4－4－4＋4)＝2，∴|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，即EF的长为eq\r(2).【答案】eq\r(2)8．已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4,2－2m,2－2m)，若a∥b，则m＝________.【解析】显然b≠0，两向量平行的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－2m＝4λ，,m－1＝2－2mλ，,m－1＝2－2mλ，))当m＝1时显然成立，当m≠1时，由第二、三两个方程，知道λ＝－eq\f(1,2)，代入第一个方程，得m＝3.所以m＝1或3.【答案】1或3三、解答题图7－6－49．如图7－6－4所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，点M在AC上，且|AM|＝eq\f(1,2)|MC|，点N在A1D上，且|A1N|＝2|ND|，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up6(→)).【解】eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b.∵|AM|＝eq\f(1,2)|MC|，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b)．又|A1N|＝2|ND|，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)(b－c)．∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1N,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b)＋c＋eq\f(2,3)(b－c)＝eq\f(1,3)(b＋c－a)．图7－6－510．如图7－6－5，在四棱锥M—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AD,\s\up6(→))，c＝eq\o(AM,\s\up6(→))，试以a，b，c为基向量表示出向量eq\o(BN,\s\up6(→))，并求BN的长．【解】eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)[eq\o(AM,\s\up6(→))－(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))]＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→)).∴eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，|eq\o(BN,\s\up6(→))|2＝(－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c)2＝eq\f(1,4)(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝eq\f(17,4)，∴|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(17),2)，即BN的长为eq\f(\r(17),2).图7－6－611．如图7－6－6所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角．【解】以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系D—xyz，不妨设正方体的棱长为1.则D(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0，eq\f(1,2)，0)，E(1,1，eq\f(1,2))，D1(0,0,1)．(1)证明eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(0，eq\f(1,2)，－1)，因此eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(－1,0,0)·(0，eq\f(1,2)，－1)＝0，∴eq\o(AD,\s\u