理论力学课件：动量矩定理

动量矩定理11.1质点和质点系的动量矩11.2动量矩定理11.3刚体对轴的转动惯量11.4刚体的定轴转动微分方程11.5质点系相对质心的动量矩定理刚体的平面运动微分方程思考题

11.1质点和质点系的动量矩

1.质点的动量矩设质点M的质量为m、瞬时速度为v,相对于点O的矢径为r,其动量为mv。质点对于点O的动量矩为

质点对于点O的动量矩是矢量,它垂直于矢径r与动量mv所形成的平面,其指向按照右手螺旋法则确定,如图11-1所示。动量矩的大小为

式中,△OMA为三角形OMA的面积。在国际单位制中,动量矩的单位为kg·m2/s。图11-1

质点的动量mv

在Oxy平面上的投影(mv

)xy对于点O的矩定义为质点对于z轴的动量矩Mz(mv

)。质点对点的动量矩为矢量,质点对轴的动量矩是代数量,两者之间的关系如下:

2.质点系的动量矩

设质点系由n个质点组成,第i个质点的动量矩可由式(11-1)确定,则质点系中各质点对点O的动量矩的矢量和为

质点系对z轴的动量矩等于各质点对同一z轴的动量矩的代数和,即

与静力学中的力对一点的矩和对经过该点的任一轴的矩的关系相似,质点系对O点的动量矩矢在经过O点的任一轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。若过O点的为直角坐标系,则有

下面介绍运动刚体动量矩的计算。

(1)平动刚体的动量矩。刚体做平动时,每个质点的速度vi=vC(质心的速度),即

由于mrC=∑miri,所以有

即平动刚体对任一固定点的动量矩等于将刚体全部质量集中于质心的质点对该固定点的动量矩。

(2)定轴转动刚体的动量矩。刚体绕定轴转动是工程上最常见的一种运动情况。设绕z轴转动的刚体的角速度为ω,刚体内任一质点的质量为mi,到转轴的距离为ri,如图11-2所示。该质点对z轴的动量矩为

刚体对z轴的动量矩为

令∑miri2=Jz,称为刚体对z轴的转动惯量。于是得

即刚体做定轴转动时,对转轴z的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。图11-2

3.平面运动

具有质量对称平面的平面运动刚体可简化为平面图形S在其自身平面内的运动。平面图形S的运动可分解为随质心C的平动与绕质心C的转动。设图11-3所示的刚体的质量为m,转动角速度为ω,图形质心的速度为vC,绕过质心C且垂直于图形S的转轴的转动惯量为JC,则刚体对z轴的动量矩为图11-3

11.2动量矩定理

1.质点的动量矩定理设质量为m的质点,在力F的作用下,以速度v在运动。质点对定点O的动量矩为MO(mv),力F对O的矩为MO

(F)=r×F,如图11-4所示。图11-4

在应用时常取它的投影形式,若选取对应直角坐标系Oxyz,则有

上式也称为对轴的动量矩定理,即质点对某轴的动量矩对时间的导数等于作用于质点上的力对同一轴之矩。

由式(11-9)可知,如果作用于质点上的力对某点O之矩恒等于零,则质点的动量对同一点之矩保持不变,即MO(mv)为常矢量。

如果作用于质点上的力对x轴之矩恒等于零,则质点的动量对该轴的矩保持不变,即Mx(mv)=常量。

以上两种情况均称为质点的动量矩守恒。

2.质点系的动量矩定理

将式(11-11)向通过O点的三个直角坐标轴上投影,得到对轴的动量矩定理:

即质点系对于某定轴的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系上的所有外力对同一轴之矩的代数和。

在此应指出,上述的动量矩定理是对固定点或固定轴而言的。对于一般的动点,动量矩定理有较为复杂的表达形式。

由式(11-11)可知,如果作用于质点系上的外力对某定点O的主矩等于零,即∑MO(Fi(e))=0,则质点系对该点的动量矩保持不变,即LO=常矢量。

如果作用于质点系上的外力系对于某定轴力矩的代数和等于零,即∑Mz(Fi(e))=0,则质点系对该轴的动量矩保持不变,即Lz

=常量。

这两种情况称为质点系的动量矩守恒。

【例11-1】图11-5所示为高炉运送矿石所用的卷扬机。已知鼓轮的重量为P1、半径为R,小车和矿石总重量为P,轨道的倾角为α。设作用在鼓轮上的力矩M为常量,不计摩擦和绳的质量,求小车的加速度a。图11-5

(4)求解。列出质点系动量矩方程:

解得

若M>Psinα,则a<0,小车的加速度沿斜坡向上。这是因为计算本题时,动量矩、力矩以逆时针转向为正,因此小车的加速度沿斜面向下为正。

【例11-2】塔轮分别由半径为r1和r2的两个匀质圆盘固连在一起组成,它的总质量为m,对水平轴O的转动惯量为JO。两轮上各缠有绳索,并挂有重物A和B,如图11-6(a)所示。重物A和B的质量分别为m1和m2。如果不计绳索质量和轴承O处的摩擦,求塔轮的角加速度α。图11-6

解取整个系统为研究对象,受力分析和运动分析如图11-6(a)所示。根据质点系动量矩定理,有

其中,LO的大小为

质点系外力对O点之矩的大小为

将式(2)、(3)代入式(1),得

【例11-3】在调速器中,除小球A、B外,各杆重量可不计,如图11-7所示。设各杆铅直时,系统的角速度为ω0,求当各杆与铅直线成α角时系统的角速度ω。

解

(1)选取由小球A、B组成的调速器系统为研究对象。

(2)调速器受到的外力有作用于小球A、B的重力和轴承的约束力(图中未画出),这些力对转轴的矩都等于零。

(3)小球A、B均做圆周运动,杆铅垂时速度为bω0,杆与铅垂线成α角时速度为图11-7

11.3刚体对轴的转动惯量

刚体的转动惯量是度量刚体转动惯性的物理量。图11-2所示的转动刚体绕z轴的转动惯量为Jz=∑miri2。可见,转动惯量的大小不仅与质量大小有关,而且与质量分布情况有关。如果刚体的质量是连续分布的,则转动惯量为其单位为kg·m2。

1.简单形状物体的转动惯量

(1)均质细长杆。均质细长杆如图11-8所示。设杆长为l,单位长度质量为ρ,微段dx的质量为dm=ρdx,则杆对z轴的转动惯量为图11-8

(2)均质圆盘。均质圆盘如图11-9所示。设圆盘半径为R,质量为m。将圆盘分为无数同心的薄圆环,其质量为

式中ρ为单位面积的质量,则圆盘对中心轴的转动惯量为图11-9

(3)均质圆环。均质圆环如图11-10所示。设圆环半径为R,质量为m。圆环对中心轴的转动惯量为图11-10

2.回转半径

设刚体的质量为m,对转轴z的转动惯量为Jz,则刚体对z轴的回转半径ρz为

常见的几种均质物体其回转半径:均质细长杆

均质圆环ρz=R,均质圆盘ρz

=

由此可见,对于均质刚体来说,ρ仅与其几何形状有关,而与其密度无关。由此可知几何形状相同而材料不同的均质刚体,其回转半径是相同的。

若已知刚体质量m,回转半径ρz,刚体对转轴z的转动惯量为

式(11-15)表明,刚体的转动惯量等于其质量与其回转半径平方的乘积。回转半径的物理意义:若把刚体的质量集中到一点,并使该质点对z轴的转动惯量等于原刚体的转动惯量,则

该点到转轴z的距离就是回转半径。

几种常见的简单形状的均质物体的转动惯量见表11-1。

3.平行移轴定理

定理:刚体对任一转轴的转动惯量,等于刚体对过质心,并与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体的质量与两轴间距离的平方,即图11-11

【例11-4】图11-12所示的均质细杆质量为m,长为l。求此杆对于垂直于杆轴线的zC

轴的转动惯量。图11-1

4.组合物体的转动惯量

当物体由一些简单形状物体组合而成时,其对某轴的转动惯量等于每个简单形状物体对同一轴转动惯量的代数和。

【例11-5】如图11-13所示的钟摆,已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1和m2,杆长为l,圆盘直径为d。试求钟摆对于通过O点的水平轴的转动惯量。图11-13

11.4刚体的定轴转动微分方程

图11-14

【例11-6】复摆由绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的重量为P,重心C到转轴O的距离为d,如图11-15所示,复摆对转轴O的转动惯量为JO

。试求复摆的微幅振动规律。图11-1

【例11-7】机器的飞轮由直流电动机带动,设电动机的转动力矩与角速度的关系(特性曲线)为

其中,MO是启动(ω=0)时作用在电动机轴上的力矩,ω1是空转时(M=0)的角速度,MO

和ω1均为已知量。又用Mf表示飞轮轴承的摩擦力矩,且将Mf视为常量,飞轮对转轴的转动惯量为JO,求飞轮的角速度(见图11-16)。图11-16

【例11-8】传动系统如图11-17所示。设轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分别为J1和J2,轮Ⅰ和轮Ⅱ的齿数分别为z1和z2。今在轴Ⅰ上作用主动力矩M1,轴Ⅱ上有阻力矩M2,转向如图11-17(a)所示。不计摩擦,求轴Ⅰ的角加速度。

解系统分别绕两个轴转动,为使未知的轴承约束力不在方程中出现,可分别取轴Ⅰ和轴Ⅱ为研究对象,应用定轴转动微分方程求解。图11-17

(1)选取轴Ⅰ为研究对象,其受力图如图11-17(b)所示,设轴Ⅰ的角加速度为α1,转向如图示,由定轴转动微分方程,有

(2)选取轴Ⅱ为研究对象,其受力如图11-17(c)所示,设轴Ⅱ的角加速度为α2,转向与α1同向,由运动学知

对轴Ⅱ列定轴转动微分方程,有

11.5质点系相对质心的动量矩定理

刚体的平面运动微分方程

1.质点系对某固定点的动量矩与对质心动量矩的关系

质点系的动量矩与参考点的选择有关,因此讨论选择不同参考点的动量矩之间的关系具有重要意义。为了更具有普遍性,现讨论质点系对某一固定点O的动量矩与对质心C的动量矩之间的关系。图11-18

【例11-9】图11-19所示均质圆盘的半径为R,质量为m,在地面上沿直线做纯滚动运动,角速度为ω。求圆盘对盘心C和盘上与水平线成45°角的A点的动量矩。图11-19

2.相对于质心的动量矩定理

由式(11-21)可知:

(1)质点系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有关,而与内力无关。

(2)内力不能改变质点系相对于质心C的动量矩,只有作用于质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化。若外力系对质心的主矩为零,则质点系相对质心的动量矩守恒,质点

系对质心的动量矩为一常矢量,即

3.刚体平面运动微分方程

刚体的平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动,可分别用质心运动定理和相对质心动量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系。

设平面运动刚体瞬时角速度为ω,对质心轴的转动惯量为JC,刚体对于质心轴的动量矩LC=JCω,质心的加速度aC。刚体的平面运动可用运动微分方程来描述

【例11-10】半径为R、质量为m的均质圆轮沿水平直线做纯滚动,如图11-20所示。作用于圆轮的力偶矩为M,求轮心C的加速度。如果圆轮与地面间的静摩擦因数为fs,不计滚动摩阻力偶,问力偶矩M满足什么条件方不致使圆轮滑动?图11-20

【例11-11】质量为m,半径为R的均质圆柱放在倾角为θ的斜面上,在重力作用下由静止开始运动,如图11-21所示。试根据接触处不同的光滑程度(不计滚动摩阻)分析圆柱的运动。图11-21

解选取圆柱为研究对象,其受力如图11-21所示。一般情况下圆柱做平面运动,其质心沿斜面做直线运动。

列出平面运动微分方程:

根据接触处不同光滑程度分析圆柱体的运动:

(1)设接触处光滑,即Fs=0。分别由式(1)、式(3)得

由α=0得ω=常量,因为开始时圆柱静止,故有ω=0,即接触处无摩擦时,圆柱平动下滑。这说明接触处的摩擦力是促使圆柱滚动的一个力。

(2)设接触处相当粗糙,使圆柱纯滚动。圆柱纯滚动时,摩擦力Fs≤fsFN。上述三个方程中含有四个未知量,此时可以补充纯滚动时运动的关系式

式中负号表示由质心加速度确定的角加速度α为顺时针转向,与图中所设逆时针转向相反。

由上述四式联立解之,得

(3)设接触处摩擦系数为

此时圆柱体仍做平面运动,但不是纯滚动,即与斜面接触点的速度不为零。故接触处的摩擦力为动摩擦力,有

而纯滚动时的运动的关系式(4)不再成立。由式(1)、式(2)、式(3)、式(5)联立解之,可得

【例11-12】质量为m、半径为r的均质圆柱,可以在半径为R的圆弧轨道中纯滚动,如图11-22。当t=0,φ=60°时,圆柱由静止释放,试求接触处的摩擦力和正压力。

【例11-13】质量为m、长为l的均质杆AB,A端置于光滑水平面上,B端用竖直绳子BD连接,如图11-23所示,设θ=60°。试求绳子BD突然被剪断瞬间,杆AB的角加速度和A处的约束力。

解绳子被剪断后,杆AB做平面运动,点C为质心,其受力如图11-23(b)所示,根据刚体的平面运动微分方程,有

应用平面运动微分方程解题时,动力学方程因为比较规范,所以容易列出,但往往需要附加运动学方程才能求解出答案。运动学方程即加速度方程,通常是求解问题的难点,因此需要对运动进行深入分析,并灵活运用运动学知识。图11-2

思考题

11-1花样滑冰运动员利用手臂伸张和收拢来改变旋转速度,试说明其原因。11-2质点的动量矩是瞬时量吗?它是否为一个常数?1