广东省揭阳市揭西县2023-2024学年高二上学期期末数学试题

2023-2024学年度第一学期教学质量监测高二级数学科试题温馨提示：请将答案写在答题卡上：考试时间为120分钟，满分150分.一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，进而通过交集的定义求得答案.【详解】对A，，则，所以.故选：D.2.若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】两点求斜率，斜率为倾斜角的正切值.【详解】斜率，∴倾斜角．故选：A．3.图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME­7）会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为（）更多低价优质资源可家卫星MXSJ663A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由几何关系得，即可求出等差数列的通项，从而求得的通项.【详解】由题意知，，且都是直角三角形，所以，且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，由.故选：B．4.若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率.【详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，所以椭圆离心率.故选：C5.已知，，点P在x轴上，则使取得最小值的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得关于x轴的对称点，由此求得直线的方程，进而求得的坐标.【详解】因为关于x轴的对称点为，所以所在的直线方程为，即，令得，所以.故选：B6.已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用弦长公式，列式求解.【详解】圆的方程，圆心，半径，圆心到直线的距离，根据弦长公式可知，解得：.故选：B7.以下四个命题中，正确的是（）A.向量与向量平行B.为直角三角形的充要条件是C.D.若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底【答案】D【解析】【分析】利用向量共线的坐标运算判断A，利用三角形中不一定为直角，结合充要条件概念判断B，根据数量积的运算律判断C，利用共面向量基本定理及基底的概念判断D.【详解】因为为空间的一个基底，设，即，无解，所以，，不共面，则，，构成空间的另一基底，故D正确；因为，所以和不平行，故A错误；为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是，所以无法推出，故B错误；，当时，，故C错误.故选：D.8.过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】D【解析】【分析】先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案.【详解】可化为①，要使与两坐标轴能围成三角形，则且，由①令得；令得，依题意，，所以或,所以或，设，则或，则或解得或，即或，即或，所以这样的直线有条.故选：D二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9.已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据等比数列的性质可知，递增的等比数列包括两种情况：时或时.【详解】由题意知，递增的等比数列包括两种情况：时或时.故，，故选：BD10.已知实数满足圆的方程，则下列说法正确的是（

）A.圆心，半径为B.过点作圆的切线，则切线方程为C.的最大值是D.的最大值是4【答案】BD【解析】【分析】确定圆心和半径得到A错误，计算切线得到B正确，将CD选项中的代数式转化为斜率和到原点的距离，计算得到C错误D正确，得到答案.【详解】对选项A：，即，圆心为，半径为，错误；对选项B：在圆上，则和圆心均在轴上，故切线与轴垂直，为，正确；对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，故此时斜率最大为，错误；对选项D：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，正确；故选：BD11.定义，设，则下列结论正确的是（）A.有最大值，无最小值 B.当，的最大值为1C.不等式的解集为 D.的单调递减区间为【答案】BCD【解析】【分析】由题意，写出不同区间的解析式，并作出函数图象，然后由图象即可逐一判断.【详解】由题意得，作出函数的图象，如图所示，根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误；根据图象得，当，的最大值为1，所以B正确；由得，，解得：，结合图象，得不等式的解集为，所以C正确；由图象得，的单调递减区间为，所以D正确.故选：BCD.12.已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（）A.所得的截面可以是五边形 B.所得的截面可以是六边形C.该截面的面积可以为 D.所得的截面可以是菱形【答案】BCD【解析】【分析】结合平面的性质，分类讨论作出截面判断A、B，求解正六边形的面积判断C，根据平行四边形的边长相等判断D.【详解】一个平面去截正方体，考虑从正方体的上底面开始截入，不妨设上底面与截面的交线为线段，截取有两种情况，第一种情况是两点分别在两对边上或两相邻边上，如图，直线与相交于点，直线与相交于点，由正方体性质及面面平行性质定理知截面为平行四边形.第二种情况，如图，直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，直线与相交于点与相交于点，易知所得截面为六边形，A错误，B正确.当截面为正六边形时，正六边形的边长为，它的面积为，C正确.当截面为平行四边形时，由对称性可知，若四边形为菱形，则，可得，可得，可得或，可得或，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键.我们通常可利用空间几何公理及推论或对平面延申找出共线，共面关系；也利用面面平行的性质做出截面在平行平面上的交线.三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.已知圆，圆，若圆与圆相外切，则________.【答案】【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解.【详解】由题意知，，所以，因为两圆外切，所以，解得.故答案为：2.14.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为_________尺.【答案】12.5【解析】【分析】由题意构造等差数列，进而得出和d关系，求出和d，结合等差数列的通项公式求出即可.【详解】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这12个节气的日影长依次成等差数列，由题意知，，解得，所以立春的日影长为尺故答案为：12.515.函数，的部分图象如图所示，则______．【答案】0【解析】【分析】由题可得，函数的周期T＝8，求出，得出，即得.【详解】由图象可知，函数的周期T＝8，所以，故，因为，，所以．故答案为：0.16.双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，，则该双曲线的离心率为___________．【答案】【解析】【分析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．【详解】由题可知共线，共线，设，，则，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因为，故解得，则，在中，，即，所以．故答案为：．四、解答题（共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角所对的边分别为.已知.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化简即可求得.（2）利用面积公式和余弦定理即可求解.【小问1详解】由，得，在中，，在中，.小问2详解】，由余弦定理得，，，的周长为.18.已知椭圆的长轴长为10，焦距为6．（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得的值，由，即可得所求方程（2）先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.【小问1详解】设C的焦距为，长轴长为，则，所以，所以，所以C的方程为．【小问2详解】设，代入椭圆方程得两式相减可得，即．由点为线段的中点，得，则l的斜率，所以l的方程为，即．19.如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．（1）证明：．（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明;(2)建系,利用空间向量的坐标运算可求解.小问1详解】在直三棱柱中，平面,平面,所以，又由题可知，，,平面且,所以平面,又因为平面,所以.【小问2详解】以为坐标原点，分别为轴建系如图，由，，可得，则有设平面的一个方向量为,所以即令则，所以因为平面,所以为平面的一个法向量，所以,,即二面角的余弦值等于.20.已知各项均不为零的数列满足，且.（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；（2）令为数列的前项和，求.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）构造得解决即可；（2）由（1）得，错位相减解决即可.【小问1详解】由，得，又，是首项为5，公差为3的等差数列.，故.【小问2详解】由（1）知，所以①②，①-②得：，.21.某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.（1）求图中的值；（2）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；（3）采用分层抽样的方法从这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率.【答案】（1）（2）小时（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积之和等于1即可求出结果；（2）根据中位数的概念设出中位数，然后列出方程即可求出结果；（3）根据古典概型的计算公式即可求出结果.【小问1详解】由题意，高一学生周末“阅读时间”在的频率分别为，.由，得【小问2详解】设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时.因为前5组频率和为，前4组频率和为，所以由，得.故可估计该校高一学生周末“阅读