山东省德州市2021届高考数学模拟试卷(一模)(含答案解析)

山东省德州市2021届高考数学模拟试卷(一模)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.已知全集为凡集合4={x|x<1},B-{x\y-贝！]()

A.ACB=BB.A(JB={x\x>1]

C.ACRBD.BCQRA

2.已知真需碉-工=-综息p是虚数单位)，那么复数z对应的点位于复平面内的

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.设函数fQ)与g(x)都不是常值函数，定义域都是R.则条件“/(x)与g(x)同是奇函数或同是偶函

数”是“人乃与g(x)的积是偶函数”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

4.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种

在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()

A.-B.-C.-D.-

2363

5.设0VaV£V孑，cosa+sina=a,cos/?+sin。=b,贝(j()

A.a<&B.a>bC.ab<1D.ab>2

6.已知向量方=(l,x),b=(l,x-1)(若位一2])1日，则|Z-2石|=()

A.V2B.V3C.2D.V5

7.已知函数y=/(x+2)是偶函数，且当x*2时，其导函数((x)满足(x-2)/z(x)>0,若2<a<

3,则下列不等式成立的是()

A./(2a)</(3)</(log?)B./(3)</(log?)</(2a)

C./(log?)</(3)</(2a)D./(log?)</&)</(3)

8.设/(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x,yeR,都有f(x)•f(y)=+y)若％=|,

an=/(n)(ne^+),则数列{an}的前"项和又的取值范围是()

A.(1.2)B.[i,l)C.[|,1)D.(1,|]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.下列结论正确的有()

A.若随机变量《〜N(1R2),p(f<4)=0.77,则P(f<-2)=0.23

B.若随机变量X〜B(10,1),则。(3X—1)=19

C.已知回归直线方程为bx+i0B且［=4，y=50.则°=9.8

D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11.若这组数据的平

均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22

10.给出下列各命题，其中正确的是()

A.存在实数使sina+cosa=1

B.要得到y=3sin(x-》的图象，只需把y=3sin(x+/句右平移争个单位

C.%=?是函数y=sin(2x+当图象的一条对称轴

D.函数y=Ioga(x+3)-l(a>0,aH1)的图象恒过定点(-2,-1)

11.已知双曲线C；条一《=l(a>0,b>0)的离心率为圣且双曲线C的左焦点尸在直线2x+3y+

26=0上，A,8分别是双曲线C的左，右顶点，点尸是双曲线C的右支上位于第一象限的动

点，记PA,PB的斜率分别为七，k2,则下列说法正确的是()

2

A.双曲线C的方程为?—y2=1B.双曲线C的渐近线方程为丫=±2x

C.F点到双曲线C的渐近线距离为2D./£「七为定值;

12.如图，在棱长为2的正方体48。。一为8©名中，P,Q分别为棱BC,

CCi的中点，则以下四个结论正确的是()

A.ADJ/PQ

B.1PQ

C.直线BiQ与4久所成角的余弦值为缪

D.Q到平面48小的距离为当

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若(1一3x)7展开式的第4项为280,jjiijlim(x+x2+-+xn)=

14.已知点P为抛物线为y2=9x上一动点，定点4(4,2),尸为抛物线的焦点，则当|P用+|P*最小

时动点P的坐标为.

15.四面体ABCO中，△ABD和△BCD都是边长为2遍的正三角形，二面角4-8。-C大小为120。,

则四面体ABCD外接球的体积为.

16.已知函数y(x)=x(x—㈤2在二=2处有极大值，则实数附=_.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.如图，相距编海里蛾,为正常数口的A、B两地分别有救援4船和B船.在接到求救信息后，A、

B都能立即出发，其中A、B两船的航速分别是£•海里/小时、海里/小时.

(1)求在同时收到求救信息后，A、B两船能同时到达的点的轨迹C所围成的区域的面枳；

(2)若在A地北偏东豌沪方向，距4地鲁制海里处的献点有一艘遇险船正以《贸海里/小时的速

•fV

度向正北方向漂移.

①应派哪艘船前往救援？

②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？

18.在①已知数列｛〃｝满足：an+1-2an=0,a3=8,②等比数列｛a"中,公比q=2,前5项和

为62,这两个条件中任选一个，并解答下列问题.

(1)求数列的通项公式;

(2)设为=言,数列也｝的前〃项和为"，若2Tn>m-2022对neN*恒成立,求正整数m的最大值.

19.为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月

收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：

月收入回[25,35)[35,45)S回S

频数510151055

赞成人数488521

将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收人族”。

(I)根据已知条件完成下面的2x2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低

有关？

已知:回>

当0<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关;

当0>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关;

当0>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关;

当0>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关。

非高收入族高收入族总计

赞成

不赞成

总计

(II)现从月收入在［55,65)的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令

的概率。

20.如图，已知正四棱柱4BCD-aB1QD1中，底面边长4B=2,侧棱

的长为4,过点B作的垂线交侧棱CCi于点E,交于点F.

(I)求证：力修，平面8瓦)；

(口)求4/与平面8OE所成角的正弦值;

(HI)求二面角。-BE-①的余弦值.

21.在直角坐标系礴惘中，点孽到两点熊柒-场盘电腐的距离之和为4,设点勰的轨迹为毁，直

线理=能:A］与。交于翱圈两点。

(I)写出线的方程；(口)若逮」,函：，求超的值。

22.设函数〃乃=共三，其中。为实数.

(I)若f(x)的定义域为凡求。的取值范围；

(口)当/0)的定义域为/?时，求/。)的单调减区间.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：解：•••集合4={x|xV1},集合B={x|y==}={x|x<0},

・•・CRB={x\x>0},CRA={x\x>1},

・••4nB={x\x<0}=BfA\JB={x\x<1},

・••AACRB={x|0<x<1]A,BACRA=0,

故选：A.

化简集合5,根据集合的基本运算即可求得正确答案.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题

2.答案：C

解析：试题分析：2==-雷同-厨=二—旦复数Z对应的点为(_工—避)，

却、像⑫香罢父S

在第三象限

考点：复数

3.答案：A

解析：解：f(x)与g(x)同是奇函数或同是偶函数，以都是奇函数为例，

则/(-%)=-/⑴，g(F=-g(x)

•••/(-x)g(-x)=f(x)g(久)

f(x)与g(x)的积是偶函数，

•••f(x),g(x)同是奇函数或同是偶函数则/(x)乘以g(x)一定是偶函数，

但/(X)乘以g(x)是偶函数，/(%),g(x)不一定同是奇函数或同是偶函数.

取/(x)=x-1,xeR和g(x)=x+1,x€R,它们都是非奇非偶函数，但是/(%)•g(x)=x2-1是

偶函数.

/(X)，9。)同是奇函数或同是偶函数”是“/(x)乘以g(x)是偶函数”的充分不必要条件•

故选A

用定义证明/'(%),g(x)同是奇函数或同是偶函数则/(x)乘以g(x)一定是偶函数，但/'(x)乘以g(x)是

偶函数，/(x).g(x)不一定同是奇函数或同是偶函数，取/(x)=x-1,xeR和g(x)=x+1,xER,

它们都是非奇非偶函数，但是/(%)♦g(x)=/一1是偶函数.

本题考查必要条件、充分条件与充要条件，及函数的奇偶性的判断，本题解题的关键是能够应用特

列说明当两个函数的积是偶函数时，两个函数的奇偶性不能确定.

4.答案：D

解析：

本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础，确定基

本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论.

解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛

中，

有底=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4

种方法，

所以所求的概率为：=今

OD

故选D.

5.答案：A

解析：解：cosa+sina=V2sin(a4-^)=a,cosp+sin/?=V2sin(y?+?=b,

v0<a</?<-,

4

It.nc,7T7T

••・一<a+-</?+-<一,

44产42

•••正弦函数y=sinx在(0,共上为递增函数，

.1•0<sin(a+》<sin印+?),即a<b.

故选：A.

已知等式左边分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据a与0的范围确定出两个角的范围，利

用正弦函数的单调性即可比较大小.

此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.

6.答案：A

解析：解：•.・向量3=(l,x),b=(l,x-1)，

5—2b=(1,x)—2(1,x—1)=(-1,2—%)>

(a—2b)1a>

•••(a-2h)1a=0>

即—1+x(2-x)'——0,

解得x=l，

CL-2b—(—1,1)<

.-.\a-2b\=V(-l)2+l2=V2,

故选：A.

向量的坐标运算和向量的数量积求出%的值，再根据向量的模计算即可.

本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积的运算以及向量的模，属于基础题.

7.答案：C

解析：解：由函数y=f(%+2)是偶函数可知，函数y=/(x)关于直线x=2对称，

又-2)/'(x)>0,故函数y=f(x)在(一8,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

又2<a<3,所以1<嘀<2,4<*8,所以f(log?)<f(3)<”2。),

故选C.

由函数y=f(x+2)是偶函数可知，函数y=/(x)关于直线％=2对称，又(x-2)y'(x)>0,故函数

丫=/(乃在(-8,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，确定变量的大小关系，即可得出结论.

本题考查函数的单调性、奇偶性，考查大小比较，属于中档题.

8.答案：B

解析：解：,•,对任意x,y&R,都有/'(无)"(y)=f(x+y),

.,.令x=n,y=1,得/(M),f(1)=/(n+1),

即野^需“⑴.

二数列｛aj是以方为首项，以,为公比的等比数列，

«n=f(n)=(|)n>

...s“="=1_钦，

由1—《尸在neN*上递增，可得最小值为1一：=土

则％€/1).

故选：B

根据/(x)"(y)=/'(%+y)，令％=n,y=l,可得数列｛"｝是以涉首项,以:为公比的等比数列，

进而可以求得%,运用单调性，进而得到％的取值范围.

本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意X,yeR，都有f(X)"(y)=f(X+

y)得到数列｛an｝是等比数列，属中档题.

9.答案：AC

解析：解：对于A,<-2)=P(e>4)=1-0.77=0.23,故A正确；

对于B,D(X)=10x|x|=^,所以C(3X-1)=§X32=20,故B不正确；

对于C,回归直线方程经过点或同，将[=4,亍=50代入求得6=98故C正确；

对于。，设丢失的数据为x,则这组数据的平均数为呼，众数为3,

当xW3时，中位数为3,此时卫尸+3=6,解得x=-10；当3cx<5时，中位数为x,

此时聿尸+3=2x,解得x=4；

当XN5时，中位数为5,此时等+3=10,解得x=18.

所以所有可能x的值和为一10+4+18=12,故。不正确.

故选：AC.

利用正态分布求解概率，判断A；二项分布的期望与方差判断8；回归直线方程求解;，判断C；通

过求解中位数判断D-

本题考查命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力，是基础题.

10.答案：ABCD

解析：解：对于A,存在实数a=],sina=1,cosa=0,使sina+cosa=1,所以A对；

对于"把y=3$讥(％+》向右平移,个单位,得y=3s讥(。一争)+()=3s皿%->所以3对;

对于C把％代入y=sin(2%+9,得、=sin(半)=一1,所以。对；

对于。，把x=-2,代入y=loga(x+3)—1,得y=-1,所以。对.

故选：ABCD.

A用特值法判断；8求出平移后的函数图象；C根据正弦函数性质，用特值法判断；。求出函数值验

证即可.

本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数对称性及图象平移问题，考查了对数函数性质，属

基础题.

11.答案：AD

解析：解：•双曲线C的左焦点尸在直线2x+3y+2遥=0上，

•••^(―V5,0),c=V5>

又离心率为更，

2

.•一=叱=更，即a=2,

aa2

••b=vc2—a2=1，

・•・双曲线C的方程为次一必=1,即选项A正确；

双曲线的渐近线方程为y==±|x,即选项8错误；

用

F点到双曲线C的渐近线距离为=1,即选项C错误;

设点P的坐标为(犯n),则9-n2=l,

自•七=~~'-—――;————即选项D正确.

1'm+2m-2m2-44+4nr2—-4—4

故选：AD.

易知尸(一6,0)，c=V5，由离心率求得a的值，由b=Vc?—a?求得♦的值,从而确定双曲线的方

程、渐近线；由点到直线的距离公式判断选项C；设点P的坐标为(m,n)，结合斜率公式，判读选项

D.

本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

12.答案：ABD

解析：

本题考查了空间向量在立体几何中的应用，涉及了利用直线的方向向量判断两条直线位置关系、异

面直线所成角的求解、点到面距离公式的应用，属于中档题.

建立合适空间直角坐标系，求出所需的向量，利用直线的方向向量是否平行判断选项A,利用直线

的方向向量是否垂直判断选项B,利用异面直线所成角的计算公式判断选项C,利用点到面的距离

公式判断选项D.

解：以。为坐标原点，DA,DC,DDi所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所

示，

z

则。(0,0,0),4(2,0,0),Di(0,0,2),P(l,2,0),Q(0,2,1),&(2,0,2),2(2,2,2),

对于选项AAD[=(-2,0,2),PQ=(-1,0,1).

则有砧=2PQ,

所以丽〃丽，故AOJ/PQ,

所以选项A正确；

对于选项B,西=(2,0,2),

因为西PQ=2x(-1)+0+2=0，

所以西_L可，

故A"_LPQ,

所以选项8正确；

对于选项C,瓦(一2,0,-1),福=(一2,0,2)，

所以|cos<瓦@砧>|=萼普=等子=叵,

11='1I|8iQ||4Di|V5X2V210

所以直线BiQ与AD1所成角的余弦值为唱，

故选项C错误；

对于选项。,因为羽=(一1,2,0),瓦？=(一1,0,-2)，

设平面AB/的法向量为元=(x,y,z),

则有朽慧T即｛r+?=2

令y=l,则x=2,z=-1,

所以元=

故Q到平面AB/的距离为|PQ|­|cos<PQ,n>\=甯

_|_27|_V6

=-7^-=T,

故选项D正确.

故选：ABD.

13.答案：-1

解析：解：・・•(1-3x)7展开式的第4项为280,

•••北=(-3x)3=-27x35x3=280；

.3__A

Xx27，

解得x=一|；

lim(x+x2H------Fxn)=limW*)

n—871T81-x

X

F

2

__3

F

_2

-5,

故答案为：—

根据二项式展开式的第4项求出x的值，再利用等比数列的前〃项和求极限.

本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了等比数列前〃项和的应用问题，是基础题目.

14.答案：《,2)

解析：解：由题意得F($0)，准线方程为x=-£设点尸到准线的距离为d=|PM|,

则由抛物线的定义得|P川+\PF\=\PA\+\PM\,

故当P、A、M三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值为=4-(—》=胃.

把y=2代入抛物线f=9x得x=支故点P的坐标是($2),

故答案为：2).

求出焦点坐标和准线方程，设点P到准线的距离为d=|PM|,把|PA|+|PF|转化为|P*+|PM|,利

用当P、A、M三点共线时，|P4|+|PF|取得最小值，把y=2代入抛物线*=9x,解得x值，即得

尸的坐标.

本题考查抛物线的定义和性质得应用，体现了转化的数学思想.

15.答案：至立兀

3

解析：解：过球心。分别作平面ABD,平面BCC的垂线，垂足为

。1，02,则01，3分别为△4B0,ABC。的外心,

取8。的中点H,连接HO1，H02,

因为A/IBD,△BCD都是边长为26的正三角形，

故BOI"。1，BD1H02,

所以N。2Hoi为二面角4-BD-C的平面角，即乙。2“。1=120°,

Rt△OH。1中HO】=ix—x2V3=l-Z.OHOj=^0yH02=60°,

所以。。1="。1•tan40Hoi=遍，

Rt△。4。1中，A01=2Hoi=2,

故R=OA=V3+4=V7，

..4nR328\[7

：・V=-------=-----------7T.

33

故答案为：竺叱7r.

3

由已知结合二面角及三棱锥的性质先定出球心位置，然后结合球的性质求出球的半径，进而可求.

本题主要考查了二面角的定义及四面体外接球的体积的求解，属于中档试题.

16.答案：6

解析：试题分析：因为_/(x)=x(x-m)2,所以=(x-m)2+x.2(x-m)=(x-m)(3x-m),

因为函数/㈤=x(x-搐y，x=2处有极大值，所以5=2,所以羽=6.

考点：利用导数求函数的最值和极值.

17.答案：⑴海蝴院=警靖；

T做

(2)①应派A船前往救援；

②搬/就辟小时。

解析：(1)以A8的中点O为坐标原点，AB所在的直线为睇轴，建立直角坐标系如图所示，

题=盟北，：,；颠-.•副，题!嵋财

,即[图睛+短_#第一贸步旬资

设所求轨迹C上任意一点的坐标为孰端例,则毛

化简整理得（l.u-零作『号/=取争急*,轨迹C所围成的区域的面积为11尊用诲,=等十；

察霸34®

（2）①由已知可求得露g叫擘剑，显然点流在轨迹C的外面，同时当厥f点向正北方向漂移

时，这条射线上的点也始终在轨迹C的外面，设掰,乐：则为其射线上的任意一点，

则叫当浦*，:方潭甯，也就是施;二『*涉T标-函*涉,即1T啜h,

.7:;搦'峭:强—fif

所以应派A船前往救援;

②设在点。处，救援船与遇险船相遇，且所需的时间为去小时,

4刎！tl

则在瞬翻T中，解1=??您，就峨=手¥，崛=白源，，会喉=腮步,

由余弦定理得，4曲F=停/+A版1-舐粤辎也微能®就颜，解之得点=%”小邪，

M“・ll>ktIKAf*

,!»f”"V,5

二救援船最快需:照质:W小时才能与遇险船相遇。

当

18.答案：解：（1）选①已知数列｛册｝满足：an+1-2an=0,a3=8,

设等比数列｛5｝的公比为q,

由Qn+i=2a九，可得q=2,

又他=8,即4al=8,解得的=2,

所以册=2n；

选②等比数列5｝中,公比q=2,前5项和为62,

则q=2,当言=62,

解得%=q=2,

所以41=2n；

⑵5吗与，

T1.23n

ln=5+运+/+…+亓，

=齐+而+m+…+即，

上面两式相减可得;Tn=[+蠢+*+…+段一总■

知W）n

=*一k

化简可得Tn=2-臂，

因为〃+i=2一霜一2+笨=普>0,

所以｛〃｝递增，71最小，且为：，所以2x"m-2022,

解得m<2023,

则皿的最大值为2022.

解析：本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查

方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题.

（1）分别选①②，运用等比数列的定义和通项公式、求和公式，解方程可得首项和公比，即可得到

所求通项公式；

（2）求得匕=肃=/,由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得〃，判断｛〃｝

的单调性，求得最小值，解不等式可得所求相的最大值.

19.答案：（I）

非高收入族高收入族总计

赞成25328

不赞成15722

总计401050

有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关；（11）所求概率=0.

解析：试题分析：（I）可根据频数分布表中的数据，很容易完成S列联表，由0列联表中数据，

代入公式国，求出国，从而比较数据得结论;（II）现从月收入在［55,65）的人群中随机抽取两人，

求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率，这显然符合古典概型，即随机事件的概率，因

此可用列举法得到总的基本事件数共10种，以及符合条件的基本事件数共7种，从而得所抽取的两

人中至少一人赞成楼市限购令的概率.

试题解析：（I）

非高收入族高收入族总计

赞成25328

不赞成15722

总计401050

□故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关；（5分）

（n）设月收入在［55,65）的5人的编号为a,b,c,d,e,其中a,人为赞成楼市限购令的人.从5人中

抽取两人的方法数有ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de共10种，其中ab,ac,ad,ae,be,

bd,融为有利事件数，因此所求概率=0。（12分）

考点：独立性检验，古典概型的概率求法.

20.答案：证明：(I)如图，以。为原点，DA.DC、所在直线分别

为x、y、z轴

建立空间直角坐标系D-xyz,

0(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),

41(2,0,4),当(2,2,4),"0,2,4),。式0,0,4),

设E(0,2,t)>^BE=(-2,0,t),B^C=(-2,0,-4).

vBE1BC

.-.BE=4-4t=0.解得t=1,

E(0,2,1),3.BE=(-2,0,1).

又一:A^C=(-2,2,-4),DB=(2,2,0),

.•.碇•丽=0,且砧•丽=0,

&C1BE,ArC1DB.

•：BD、8E是平面内的相交直线.

:.A^C_L平面BED.

解：（H）由（I）所建的坐标系，得卞=（—2,2,-4）是平面班圮的一个法向量,

又•.•砧=（0,2,-4）,

-：一7*、A-tCA-tB20V30

:.cosV4C,AyB>=1,……，，——r==—，

11伏修r|4遇|V24-V206

4包与平面8DE所成角的正弦值为粤.

（