重庆缙云教育联盟2023年高考第二次诊断性检测 数学2

2023年高考第二次诊断性检测

数学试卷

考生须知：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上J真写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上;作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；

4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设4、&、A3、L、A,是均含有2个元素的集合，且Ac&=0,4八4+广=0（1=123,,6）,记

8=4口4。4。uA,,则5中元素个数的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

2.任给对应关系/使方程〃2+u=o的解v与〃对应，则n=f（“）是函数的一个充分条件是（）

A.ve[-4,4\B.ve（-4,2]C.VG[-2,2]D.ve[^l,-2]

3.将一个顶角为120。的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖无限次操作后

r

去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两玳

个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作.如果这个操作过乍后

程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图/

所示已知最初等腰三角形的面积为1,则经过4次操作之后所得图形的面积是（）

16「20一8-10

A.—B.—C.—D.—

81812727

4.设机，｛-2,-1,0,1,2,3｝,曲线C：加r?+〃/=1,则下列说法正确的为（）

A.曲线C表示双曲线的概率为2B.曲线C表示椭圆的概率为，

C.曲线C表示圆的概率为:D.曲线C表示两条直线的概率为:

5.数列优｝满足匕=6=1,E-2=E,M+E,（〃eN）现求得低｝的通项公式为

工=4『空）+B｛上千），ABeR,若国表示不超过x的最大整数，则]智5）]的值为（）

A.43B.44C.45D.46

6.等额分付资本回收是指起初投资P,在利率。回收周期数〃为定值的情况下，每期期末取出的资金A

为多少时，才能在第〃期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为：A•某农

业种植公司投资33万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为10%,若每年年底回笼资金&25万

元，则该公司将至少在（）年内能全部收回本利和.（怆11。1.04,怆520.70,lg3«0.48）

A.4B.5C.6D.7

7.已知向量a,b的夹角为60。，,卜2忖=2,若对任意的储、&e（m,+oo）,且为,步网二”屿〉卜-24,

%一五2

则机的取值范围是（）

A.[e\+oojB.[e,+oo）C.D.Je）

8.设实数x>l,yeR,e为自然对数的底数，若exlnx+e><ye>'，则（）

A.e'Inx>eB.evIn%<eC.e'>exD,ev<ex

二'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9.下列关于复数的四个命题正确的是（）

A.若|z|=2,则z,z=4

B.若z（2+i?）=3+i,则z的共粗复数的虚部为1

C.若|z+l-i|=l,则的最大值为3

D.若复数Z1,Z2满足㈤=2,归|=2,4+z2=l+后,则％-马上？/

10.设/（x）是定义域为R的奇函数，且y=/（2x+2兀）的图象关于直线*对称，若OVXVTT时,

/(x)=(e'-e"f)cosx,则()

A./（*+兀）为偶函数

B./（X）在「兀,一|）上单调递减

C./（幻在区间[0,2023兀J上有4046个零点

2023

D.Wf（E）=l-e"

k=i

之一.全国各地的粽子包法各有不同.如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底

3

面半径为Qcm,高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽.现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为6cm

的半球的体积，贝IJ（）（参考数据：血力=4.44）

A.这两碗馅料最多可包三角粽35个B.这两碗馅料最多可包三角粽36个

C.这两碗馅料最多可包竹筒粽21个D.这两碗馅料最多可包竹筒粽20个

12.设xeR,当〃-g4x<，7+；（〃eZ）时，规定（»=〃，如。.2）=1,（-4.5）=-4.则（）

A.

B.（J/+〃）=wN*）

C.设函数丁=伊1》〉+〈00$#的值域为知，则M的子集个数为32

D.卜-%卜-；+》+（旧+力++”力（吗…）

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位、十位、百位的数字之和等于9的三位数称为“长

久数"，贝『‘长久数"一共有个.

14.椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而

黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄

金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，

焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为.

15.已知对任意的实数a均有3〃sina）-4〃cosa）=sin2acos2a成立，则函数〃x）的解析式为.

x>0

16.将横坐标与纵坐标均为整数的点称为格点.已知〃eN,将约束条件xlyl表示的平面区域内格点

—+—<M

123

的个数记作5"，若lim上也匚=〃，则==.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，月利率为0.3%,按复利计算，并从贷款

后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金

总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿

还同等数额的贷款（包括本金和利息）.

（1）若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，

试计算王先生该笔贷款的总利息；

（2）若王先生采取等额本息的还贷方式.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭

月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据1.003”屋1.428,

1.OO3180a1.433,1.003⑵»1.437

18.由机〃个小正方形构成长方形网格有，”行和〃列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记

为一轮.每次放白球的频率为P,放红球的概率为q,P+q=L

（1）若机=2,p=g=；,记》表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球'’的轮数，统计数据如表：

n12345

y7656423026

求y关于〃的回归方程lny=）2+a,并预测“=10时，y的值；（精确到1）

17

（2）若加=2,〃=2,p=~,q=~,记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X,求X的

分布列和数学期望；

（3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：

-Zx,“一反•歹$

附：经验回归方程系数：5=上4---------，a=y-bx,=M7=3.8.

19.正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如

电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正弦型信号

的叠加.正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述:匕⑺治

V（r）=Asin（2;r#+9），其中丫⑺表示正弦信号的瞬时大小电

压丫（单位：V）是关于时间单位：s）的函数，而A>0表

X

示正弦信号的幅度，/是正弦信号的频率，相应的丁=;为正

弦信号的周期，。为正弦信号的初相.由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学

家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理.如图是一种典型的加

法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为g,用,%，&

（单位：Q）.

可⑺和匕（。是两个输入信号，匕表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，匕”）与V（f）和匕⑴的

(jR0氏2”(/)+8玛⑺

关系为：匕⑺=14---------------------

R+R?

例如当R=&=%=%=1夏，输入信号M（，）=sinf,匕⑺=cosf时，输出信号：

l-sinr+1-cosr

匕（rA）=11+,J-----j-------=sinr+cost.

⑴若R=R2=%=&=1Q，输入信号匕（/）=sinr,匕⑺=cos/,则匕⑺的最大值为？

⑵己知&=1。，&=2Q,%=3Q,输入信号乂⑺=sin,+J匕（r）=cos，+（）.若匕⑺=Asin[+?）

（其中A>0）,则为=?

⑶已知%=1夏，&=1。，0<R?<R0Q,且K（f）=sinf,匕（f）=cos2f.若玲⑺的最大值为|,则满

足条件的一组电阻值与，入分别是？

20.已知抛物线C：V=4百x的焦点为尸，准线与x轴交于点A.

（1）过点F的直线/交C于P,。两点，且|尸。=8右，求直线/的方程;

⑵作直线WFM相交于点M,且直线■的斜率与直线•的斜率的差是q，求点M的轨迹方程,

21.如图，在圆台001中，4稣48分别为上、下底面直径，且A4//A8,AB=2AIBI,cq为异于耳

的一条母线.

⑴若M为AC的中点，证明：GM〃平面"男小

⑵若。«=3,AB=4,NABC=30。，求二面角A-C。一。的正弦值.

22.已知函数/(x)=ln(l+ar)-x-‘，g(x)=x-e”.

a

(1)若不等式f(x)4，-2恒成立，求”的取值范围；

a

(2)若a=l时，存在4个不同实数占，巧，%，匕，满足/(%)=/(々)=8(W)=8(尤4)，证明：

同一力=匕一切.

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数学参考答案及评分标准

1-8AAABDCAC

【7题解析】已知向量出〃的夹角为60。，忖=2忖=2,则。力=同.忖<0$60。=2乂以3=1,所以

1一2,=-=\Ja2—4a-b+4b2=、4一4+4=2,所以对任意的毛、G(A72,+OO),且凡</,

xlnx-xAnx.分Inx,Inx.22lnx,-2Inx-2

-----9------->2,贝—％1nxi<2%—2%,所以—-----<------，即-------<-------,设

Xi-X2x2X]x2X]x2%

八力=与2,即f(x)在(〃?,”)上单调递减，又xe(O,”)时，/(》)=土墨=0,解得x=e3所以

xe(0,e3),,/^x)>0,/(*)在》«01)上单调递增；x€(e\+(»),/,(x)<0,/(x)在》€伫,+8)上单

调递减,所以〃△/.故选：A.

v

(8题解析]由exInx+e-1<ye,可得y

ejclnx<y^ey-ev=ev(y-l),两边同除e得：

xlnx<ev-'(y-l)=ey"1Iney-1,可设函数

g(x)=xlnx,(x)=1+lnx,当时，

e

g(x)>0,故g(x)单调递增，当0Vx<1时，

e

g'(x)<0,故g(x)单调递减，g(x)图像如上图所

示，因为x>l,g⑴=O(g(x)〈g(e>T),故e，T>l

由xlnxve"Ine'।可得g(x)〈g(e,,)，所以x<e日，整理得得e，>ex.

9.ACD10.AB11.AC12.BCD

【11题解析】对于A中，例如〈-0.6)=一1,〈-0.6)=一1,则(-0.6-0.6〉二〈一1.2〉二一1,〈-0.6)+〈-0.6)二一2,

可得〈-0.6-0.6)〉〈-0.6〉+(-0.6),所以A错误；对于B中，由〃2+〃<〃2+〃+；=(〃+；)2,所以

+〃,所以〃v/扇+­,所以(J"+一)=〃,所以B正确；对于C中，因为|:-sinx-l

22\/-1<COSX<1

sinXG1-1,0,1157r37rTT,\\

可得jcosxej-lOlj'当'=学'兀‘半'彳'。时，可得产〈sinx〉+(cosx)=-2,—l,0,l,2,即函数

y=(sinx)+〈cosx)的值域为“={—2,T,0,l,2},所以集合〃的子集个数为2,=32,所以C正确；对于D

4-1,/fix+—

(4+〃)=0+〃，所以(X+："x-j+l,贝!|

"x+f_"x)=1=1-1=0,所以“X)的周期为L又当04x<>!■时,

x+lnx+—nx——

2,2nn

可得」_LJ,止匕时此时仁1r

(x-go,—+—=0;

22/12222n2nn22\2n,

七!"」+纥此时<；,此时白x-；)=0,所

!J,X-=0；—工nx—

22n2n2\222

以/(x)=0(04x<1),结合周期为1,即/(x)恒为0,所以D正确.

nn

【12题解析】结合特例，可判定A错误；结合m+…+g,可判定B正确；结合正弦、余弦函数

的值域，得到y=@nx)+〈cos4的值域为加={-2,-1,0,1,2},可判定C正确；设

+卜一；+£)一卜工一分，得至"(X)的周期为B，证得/(力

恒为0,可判定D正确.

13.45

-1+V5

14.

2

42

15/(X)=X-X,XG[-1,1]

3

16.2

【15题解析】由37(sina)-47(cos4)=sin2acos2。，①得

即37(cos«)-4/(sina)=sin?acos?a②

①x4+②x3得：-7/(cos6z)=7sin2«cos2tz,IU/(cosa)=-sin2acos2a=-(1-cos2«)cos2a,令

x=cosa,xe[-l,l],贝ijcos2a=f,所以“x)=-(l-x?)/=/一一工日—覃]

x-°

【16题解析】作出xlyl的可行域，如图所示，该区域为一个\

123\v--t-Xn

等腰三角形，其中X轴上的格点有2〃+1个，y轴上的格点有3”+1个，___________

则坐标轴上的格点有8”+1个，在第一象限内，直线y=-|x+3〃上

的点P(x,y)(x42〃,y43”),由格点的定义xeN,yeN,设

x=2t(teN,\<t<n),则y=3"-3reN,故第一象限内，x=2rQeN,1W〃)时，格点有y=3(”-f)个,

3

设x=2f-l(f€N,14f4〃)，则y=3(〃T)+5任N由可行域，己经格点的定义可知，第一象限内，

x=2f-l(reN,lVf4〃)时，格点有y=3(〃T)+l个，所以第一象限内的格点一共有

£3(〃T)+£[3(〃T)+1]=£[6(«-0+1]=6.%也+n=3/-2n,根据可行域的对称性可知，第四象限

/=lr=lt=\乙

S2

的格点数也为3”2_2〃，故可行域内格点数S“=2(3]-2〃)+8〃+l=6〃2+4〃+l(〃eN)又町而之一"”■=：,

“T8屋

「.4=6,6=4,即9=2

b2

17.(1)由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列｛。〃｝,5〃表示数列｛《,｝的前〃

项和.

则4=15000,am=6500,故工励=150。。；6500xl20=1290000.

故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元.

(2)设王先生每月还货额为x元，则有

x+x(l+0.003)'+x(l+0.003)2++x(l+0.003)"9=1000000x(l+O.OO4)'20,

即/七丫丫。..=1000000X(l+0.003)12°,

1-1.003

,,1000000X(1+O.OO3)120X0.003，、…

故x=-------------™-----------®9928.

1.003'2()-1

因为9928<23000x1=11500,故王先生该笔贷款能够获批.

1+2+3+4+5

18.(1)由题意知〃二二3,

5

5_____

y，l"Tx〃加53-5x3x3.84M

故6=----------------=------------=——=-0.4,

:一255-4510

乙〃：-jxn

/=i

所以"3.8+04x3=5，

所以线性回归方程为：1哦=-0.4〃+5,

所以,估计〃=10时,lny=l,.-.y=e®3.

12

(2)由题意知：m=2,n=2,p=—,,

则X的取值可能为0J2,

记“含红球的行数为广为事件4,(攵=。，L2),记“每列都有白球”为事件B,

所以P(X=0)=P(4IB)=P(^B)=—^-=1-

所以P(8)[1一月251

P(X=1)=P(A1B)=23=C；p3g+C；/g2="

P(B)口可了25，

P(X=2)=P(4|B)=P")=C(H)：=

P(8)[1-^]225，

所以X的分布列为：

X0I2

1168

p

252525

所以数学期望为既X)=0*+唠+2*=||.

(3)证明：因为每一列至少一个红球的概率为(i-p"'y,

记“不是每一列都至少一个红球”为事件A,所以尸(A)=l-(l-p»,

记“每一行都至少一个白球”为事件8,所以P(B)=(1-

显然，AcB,所以P(A)WP(B),

即1一(1-p"，)"4(1-/'『，所以(1-p"')"+(1-q"f>1.

19.(1)由题意得，%")=[,则%。)的最大值为0；

(2)由题意知，Asi.+幻

ACA

整理得5sin/++一cos/

AJ同一凡)

即&in，+亘cosy当野sin，+\sf,则24(N+1),解得R,；

224(/?,+1)4J3A52

.—―，i/\(,1A7?^sin/+??.cos2r2「八.八/•八.2

(3)由题意得，^,(z)=1+--—~T—4------=-~—I/?2-sinZ+/?r(l-2sin-r)|

L

\V/<14-A2A,4-A2」

=——-——(-2/?.sin2/+sin/+/?.)=——-——-2R.fsinr--^-+§&-+”,

R+RJ-7N+EA4Rj8RI

又。则今《。，小，当sinf=%时，匕⑺取得最大值1r噜鼠:£喘,

4

+冉\/—八iA1+oi\|T-/\|

则，勺誓了=1,整理得2R；_6N&+R；=0,即住1_6手+2=0,解得今=3±e,

4K1+4%421R"&K\

又0</<飞49，则，=3-近，取4=1,%=3-夜即满足题意，则凡=K2,&=3—限(答案不唯

20.(1)由题意,尸(>,0),当直线/斜率不存在时，P(G,2@,Q("-2⑹,所以闸=4打，不

符合题意.当直线斜率存在时，设直线/为>=%卜一6)，P(X，X)，。伍，必)，

联立卜，=今一"),得网2_(2后2+46b+3/=0,所以为+x,=2®2：46=2G+Sg

l/=4^x、,抬公

所以|「。|=%+占+20=46+普=86，解得4=±1,直线/的方程为》±丫-6=0

(2)抛物线的准线为x=-G，与x轴交于点A(一百,0)

=_

设点M(x,y),由题意匕加-%FM=-：，则—彳---^/77>

4x+V3X-V34

化简得/=8《y+3(x=±6),方程表示一条除去了A尸两点的抛物线.

21.(1)如图，连接AG.因为在圆台。。中，上、下底面直径分别为A£,AB,且4B"/A8,所以

AA，8B1，GC为圆台母线且交于一点P,所以AA，G，C四点共面.在圆台。01中，平面ABC〃平面A4G，

由平面AAGC-平面ABC=AC,平面MGC「平面A4G=AG,得AG〃AC.又Ag//AB,A8=2AB1,

所以鲁=翳=3'所以差=祭=3'即G为PC中点,在△PAC中'又”为AC的中点'所以

CtM//AA,.因为/L41u平面ABB、A,,CtM＜2平面ABB】A,所以QM〃平面ABB,A,；

（2）以O为坐标原点，OB,。。分别为y,z轴，过。且垂直于平面ABB出的直线为x轴，建立如图所示

的空间直角坐标系。-型.因为NABC=30。,所以4OC=60。.则A（0,-2,0）,C（6,T,0）。（0,0,3）.因

为OC=（73,-1,0）,所以0c=：OC=（当Jo）.所以G停,-别，所以GC=（当,6,-3）.设平面。CG的

（n,.OC=0力x「y=。

法向量为4=（X，y,Z1）,所以＜,所以1令X=1,则yx—百,马=0,所以

n\,GC=0亏西一5y_3Z|=0

、乙乙

n2-AC=0

“=(1,3,0)又AC