小学数学3年级培优奥数讲义 第07讲-填数游戏（含解析）

第07讲填数游戏

第学习目标&

?经历填数游戏活动，初步提高分析推理能力。

?在探索、尝试、交流等活动中，体会填数游戏的乐趣，激发学习兴趣。

春知识梳理

本讲有两部分主要内容：

1、幻方的概念和性质，简单幻方的编制；

2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。

大致分为三类：(1)封闭型数阵图

(2)辐射型数阵图

(3)复合型数阵图

幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角

线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。

幻方题可以粗略的分为两种

(1)限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个

数字；

(2)另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。

幻方问题主要方法：

(1)累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻

和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。

(2)求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵

图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。

⑶比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻

和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分

本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题

的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是

一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。

簪，典例分析

例1、在下图中分别填入1—9,使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢?

例2、把数字1——8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。

例3^在图中填入2——9,使每边3个数的和等于15。

例4、把1—8填入下图。内，使每边上三个数的和最大。求最大的和是多少？

例5、在下图各圆空余部分填上.、八，、°,乂,个圆的4个数的和都是21。

2

6

例6、将3、4、5三个数分别填在图形的方格种，使每行每列每条对角线上三个数的和相等。

例7、把2、3、4、5分别填入。内，使每条线上三个数的和都等于10。

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例8、将2、4、5、7分别填入下列图中，使每条线上三个数的和等于13。

例9、将1、2、3、4,5、6、7分别填入图中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都等

于15o

演实战演练

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＞课堂狙击

1.将6、8、9、10、11、12六个数分别填在小圆圈里，使每个大圆圈上五个数的和等于40。

2.把2、3、4、6四个数分别填在灯笼里，使每个圆圈上四个灯笼里的数加起来，和都等于14。

4.将1、2、3、4、5、6、7这七个数分别填入圆圈内，使每条线上的三个数的和都相等。

5.将1、2、3、4、5、6、7这七个数分别填入圆圈内，使每条线上三个数的和都是10。

O

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6.将1、2、3、4、5、6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是16。

＞课后反击

1、如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于15。

2、下图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上1—7七个自然数，在一些部分中，自

然数3,5,7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是15。

57

3

用数字1,2来填数，使正方形每条边的和为5,四条边的和为13

将2,3,5填入右图六个圆圈里，使每个三角形三个顶点上的数的和相等。

5.将1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字分别填入图中的小圆圈中，使三角形每边上四个

数的和是17»

6.把3,6,9,12,15五个数填在下面的。里，使每条线上三个数的和与正方形四个角上四

个数的和相等。

;名师点拨，

一勿方问题主要方法：

(1)累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个'‘幻

和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。

(2)求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵

图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。

(3)比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻

和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分

本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题

的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是

一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。

＞学霸经验』

堂a

＞本节课我学到了

＞我需要努力的地方是

第07讲填数游戏

教学目标A

学经历填数游戏活动，初步提高分析推理能力。

?在探索、尝试、交流等活动中，体会填数游戏的乐趣，激发学习兴趣。

覆知识梳理，「

本讲有两部分主要内容：

1、幻方的概念和性质，简单幻方的编制；

2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。

大致分为三类：(1)封闭型数阵图

(2)辐射型数阵图

(3)复合型数阵图

幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角

线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。

幻方题可以粗略的分为两种

(1)限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个

数字；

(2)另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。

幻方问题主要方法：

(1)累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻

和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。

(2)求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵

图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。

⑶比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻

和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分

本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题

的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是

一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。

\典例分析

例1、在下图中分别填入1—9,使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢?

【解析】我们可以这样想，把1——9中间的5填到中心的。内，剩下八个数，一大一小，搭配

成和都是10的四组，这样两条直线上五个数的和都是5+10x2=25o如果把1填在中心的。内，

这样剩下的八个数可以一大一小搭配成和都是11的四组，这时两条直线上五个数的和是1+

11x2=23。

想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？

边形上5个数的和都等于20。

'+8=36,题中要使每个五边形上五

个数的和等于20,那么两个五边形上数字的总和是20x2=40o两个五边形上的数字总和比8

个数的和多40—36=4,多4的原因是图中中间两个圆圈的数字算了两次，多算了一次。1—8

中只有1和3的和为4所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填1.一个填320—(1+3)=16

16可以分成2+6+8和4+5+7,所以本题应该这样填：

例3、在图中填入2——9,使每边3个数的和等于15。

【解析】解这题的关键是填出图中9求和时这4个顶点各算了两次，多算了一

次，所以4边数的和是15x4=60,所给的数的和是2+3+4+5+6+7+8+9=44,所以4个顶

点数的和是60—44=16。我们可选出3+7+4+2=16填入4个顶点。

想一想，有没有其他填法？.

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例4、把1—8填入下图。内，使每心_1^一I外口;|/小取八。求最大的和是多少？

【解析】要使每边上三个数之和最一，_________7、6、5填在四角，因为四个角上的数

在求和时各用了两次，其他数各用了一次。由此我们可以列出求和的算式为：

[(8+7+6+5)x2+44-3+2+11-4=62-4和不是整数，说明四条边上的总和要减少2才行，这

只要将填在角上的5换成3即可。所以，最大的和为：(62—2)+4=15.

例5、在下图各圆空余部分填上3、5、7、8,使每个圆的4个数的和都是21。

【解析】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的3个数都是双数，恰好每个圆内

有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的4个数的和是21.21是单

数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而3、5、7、8中3、5、7都是单数，要

使和为单数，8要填入中间部分，如右图。

例6、将3、4、5三个数分别填在图形的方格种，使每行每列每条对角线上三个数的和相等。

【解析】可以这样想，如,—5,每列的三个数也分别是3、4、5,那么,

每行、每列三个数的和是相等的。如果要满足对角线三个数的和与每行、每列三个数的和相等,

一组可用3、4、5,另一组三个数必定都是4。

例7、把2、3、4、5分别填入。内，使每条线上三个数的和都等于10。

【解析】可以这样想，右边一条线上出现了1和6,最上面的圆中可填10—6—1=3；左边下

面两个圆中数的和是10—3=7（7可以分成2和5）。可下边另两个数的和是10—1=9（9可以分

成4和5）,那么5是左边和下边两条边上的公用数，5应填在左下角的圆内，2和4分别填在

左边和下边的中间圆内。

例8、将2、4、5、7分别填入下列图中，使每条线上三个数的和等于13。

【解析】要使每条线上的三个数相加的和等十13,可以从有两个数的那一边入手，左下角可

填13—8—3=2；在上边8和1的中间可填13—8—1=4；右下角可以填13—2—6=5；右边1

和5的中间应填13-l-5=7o

例9、将1、2、3、4、5、6、7分别填入图中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都等

于15»

【解析】先从中间横行入手，15—9—5=1,8的下面填1；第一竖行15—8—1=6,最下一格

填6；两个对角分别填15—8—5=2和15—6—5=4；第一横行和第三横行中间数应填15—8

—4=3,15—6—2=7。

「廿；3।

1实战演练

＞课堂狙击

1.将6、8、9、10、11、12六个数分别填在小圆圈里，使每个大圆圈上五个数的和等于40o

【解析】从图中可以看出，在5〜12八个数中，7和5是两个大圆中的公用数。那么大圆中另

三个数的和应是40—7—5=28。可以推导出左边大圆中的另三个数可以为12、10和6；右边

大圆中另三个数可以为11、9和8,反之亦可。

2.把2、3、4、6四个数分别填在灯笼里，使每个圆圈上四个灯笼里的数加起来，和都等于14。

【解析】上方圆圈里已有两个灯笼填好5和1,要使四个灯笼内的数加起来和是14,另外两个

灯笼里的数加起来的和应是8。在2、3、4、6这四个数中，只有2+6=8,所以把2和6分别

填入这两个灯笼里，再把剩下的3和4填在另外两个相应的灯笼里。

4.将1、2、3、4、5、6、7这七个数分别填入圆圈内，使每条线上的三个数的和都相等。

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【解析】“4”这个数是中间数,八少:八⑸八71.人，再将其余六个数分成三组,因为1+2+3+

5+6+7=24,24+3=8,所以有1+7=8,2+6=8,3+5=8,分别把这六个数填入圆圈内就行

了。

5.将1、2、3、4、5、6、7这七个数分别填入圆圈内，使每条线上三个数的和都是10。

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【解析】关键是要确定中间的圆圈里填几。可以这样想：先分别求出七个数的和与三条线上的

九个数的和，并作比较，30-28=2,这多出的2,是由于中间圆圈内的数重复计算了2次，

所以中间圆圈里应填2+2=1,然后将其余的六个数分成三组，每一组的和为9：2+7=9,3

+6=9,4+5=9,同一组的数，填到同一条线上。

6.将1、2、3、4、5、6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是16。

【解析】所给的六个数之和是1+2+3+4+5+6=21,题中要求每个大圆上数之和为16,那

么两个大圆上数的总和是16x2=32。两个大圆上数总和比六个数的和多32—21=11,怎么多

了？因为图中间两圆圈里的数算了两次，多算了一次就多了11。1〜6中只有5和6合起来

是11,所以先确定中间的两个圆圈中一个填5、一个填6,确定了这两个关键的数，其余圆圈

里的数就不难确定了。用16-(5+6)=5,5=4+1=3+2,两个大圆中另外两个小圆里分别填

4、1和2、3

＞课后反击

1、如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于15。

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2、下图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上1—7七个自然数，在一些部分中，自

然数3,5,7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是15。

【解析】

随

3,用数字1,2来填数，使正方形每条边的和为5,四条边的和为13。

【解析】122

21

212

4.将2,3,5填入右图六个圆圈里，使每个三角形三个顶点上的数的和相等。

【解析】先把2、3、5写在一人mK而入三个顶点上，然后再根据组成其它三角形的各

个顶点都是用2、3、5这三个数进行求解即可.（答案不唯一）

5.将1，别填入图中的小圆圈中,使三角形每边上四个

数的和是17。

【解析】1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,而每条边上四个数字之和是1