应用平行线性质的三大技巧

平行线的性质三大技巧应用肖老师特训中心内部资料我们已经学过了平行线的性质定理:两条直线平行,那么同位角相等,内错角度相等,同旁内角互补.下面给大家列举一下,如何使用平行线的性质巧解试题.812381234567图⑴所谓三线八角是指两条直线被第三条直线所截,形成八个角,如图⑴,其中,同位角有:∠1与∠5,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7,内错角有:∠3与∠5,∠4与∠6,同旁内角有:∠3与∠6,∠4与∠5.例1.如,如果两条平行线被第三条直线所截得的八个角中,有一个角的度数,那么()12412436587图⑵只能求出其余五个角的度数.只能求出其余六个角的度数.只能求出其余七个角的度数.析解:由三线八角可知:同位角相等的有:∠1与∠5,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7,内错角相等的有:∠3与∠5,∠4与∠6,同旁内角互补的有:∠3与∠6,∠4与∠5.ABCDEF图⑶所以,ABCDEF图⑶二、加平行线的辅助线例2.如图⑶,一条公路修到湖边时,需拐弯绕过湖通过.如果第一次拐的角∠A是110°,第二次拐的角∠B是140°,第三次拐的角∠C,这时的道路与第一条路平行,那么∠C是().A、120°B、130°C、140°D、150°析解:作辅助线BE，把∠A转移到∠ABE，ABCDE图⑷∴∠CBE=∠ABCDE图⑷∴∠C=180°－30°=150°，140°－110°=30°。例3．：如图⑷,AB∥ED，求证：∠B+∠BCD+∠D=360°。分析：我们知道只有周角是等于360°，而图中又出现了与∠BCD相关的以C为顶点的周角，假设能把∠B、∠D移到与∠BCD相邻且以C为顶点的位置，即可把∠B、∠BCD和∠D三个角组成一个周角，那么可推出结论。ABCDE图⑸F证法一：如图⑸,过C作CF∥ABCDE图⑸F∵AB∥ED，∴CF∥ED，∴∠FCD=∠D，∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°。ABCDE图⑹F证法二：如图⑹,过ABCDE图⑹F∴∠B+∠BCF=180°，∵AB∥ED，∴FC∥ED，∴∠FCD+∠D=180°，ABCDE图⑺F∴∠B+ABCDE图⑺F即∠B+∠BCD+∠D=360°。证法三：如图⑺,过B作BF∥DC，∴∠FBC=∠BCD，又∵AB∥ED，∴∠ABF=∠D，∵∠ABC+∠CBF+∠ABF=360°，∴∠ABC+∠BCD+∠D=360°。例4．如图⑻,直线a∥b，∠CAE=20°，∠CBF=40°，那么∠ACB=————。ababAECBF20°40°图⑻三、平移角例5．如图⑻,AB∥ED，CE平分∠BCD交AB于点E，∠A=110°，那么∠AEC为多少度。图⑻ABECD析解:图⑻ABECD∴∠A+∠ACD=180°，∠ACD=180°－∠A=180°－110°=70°，又∵CE平分∠BCD，∴∠ACE=∠ECD=∠ACD=×70°=35°，∵AB∥ED，∴∠AEC=∠ECD，∴∠AEC=35°。例6．如图⑼,AD∥EG∥BC，AC∥EF，那么图中与∠1相等的角〔不含∠1〕有_____个，假设∠1=40°，那么∠AHG=_________。FABCDEHGFABCDEHG1图⑼∴∠1=∠ACB，∵AD∥EG∥BC，∴∠1=∠HEF，∠GHC=∠ACB，∠DAC=∠ACB，又∠AHE=∠GHC，∴∠1=∠GHC=∠AHE=∠DAC，那么与∠1相等的角有∠ACB、∠HEF、∠GHC、∠AHE、∠DAC共5个；∵∠1=40°，∴∠AHE=40°，那么∠AHG=180°－∠AHE=180°－40°=140°。转折角处巧添辅助线山东左加亭学习了平行线的知识后，我们知道平行线有三条性质，当两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。因此，在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线------平行线，从而构造出特殊位置关系的角，为解题架桥铺路。下面举例加以说明。例1.〔2023黑龙江〕如图AB//CD,那么的度数为解析：由图形可以看出，在两条平行线AB,CD之间的E点处出现了一个转折角，即，因此我们可以过点E作EF//AB,，由条件AB//CD,可知AB//EF//CD所以所以又因为CD//EF,从而例2.〔2023沈阳〕如图，己知AB//DE,,那么__解析：由图形可以看出，C点处出现了一个转折角，因此我们可以过点C作CF//AB,由此可知所以例3.〔2023广安〕如图，AB//CD,假设,那么度.解析：题中出现转折角，即，可过点E作与AB,CD平行的直线FG,那么所以故答案为例4.〔第三届中学生智能通讯赛初一赛题〕如图试探索之间具备什么关系时，AB//CD,并说明理由。解析：观察图形可以猜测时,AB//CD。理由如下：在E点出现了转折角，可以过点E作EF//AB,那么所以EF//CD又因为EF//AB，所以AB//CD.对一道课后习题的深究山东康风星教材中的例题和习题都是经过认真筛选后精心设置的，都就有一定的探索性，我们只有立足教材充分发挥例题、习题的作用，反复推敲，深入挖掘其内涵，防止题海战术，对例题和习题进行一题多解和一题多变的变式训练，引导学生利用已有的知识与经验，主动探索知识发生和开展的过程，增强学生的应变能力，有利于稳固根底知识，开展创新思维，提高数学素养。例如：课本习题〔人教版七年级下，26页第6题〕,一、一题多证，培养学生的发散思维：原题稍加变化后得到下题：：如图，，求证：＋＋＝3600refSHAPEDDCEPBA证法一、如图，过点P作PE平行AB，因为所以AB║CD║PE证法二、二、一题多变，培养学生的应变能力：变式〔1〕如图，，探讨与，的关系．A123CDBA123CDBE变式〔2〕变式〔2〕如图，，那么图中、、关系一定成立的是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．变式〔3〕如图，是，上方一点，，求证：．变式〔4〕DCEBArefSHAPE变式〔4〕DCEBA变式〔4〕如图，，试问：与平行吗？假设平行，请说明理由．另外此题还可以作成综合题目：变式〔5〕，分别探讨下面的四个图形中，与，间的关系，并请你从所得的四个关系中任选一个，说明成