图形的对称、平移和旋转-2022年中考数学一轮复习帮(浙江专用)（解析版）

考点22图形的对称、平移和旋转

【命题趋势】

中考数学中，图形的对称、平移、旋转是几何变换的三大变换，也是很多动态问题的

难点所在。在三种变换中，平移相对较为简单，多以选择题形式考察，偶尔也会考察作图题;

对称和旋转则难度较大，通常作为选择、填空题的压轴题出现，在解答题中，也会考察对称

和旋转的作图，以及与特殊几何图形结合的综合压轴题，此时常需要结合几何图形或问题类

型去分类讨论。

【中考考查重点】

一、轴对称与轴对称图形

二、图形的平移

三、中心对称与中心对称图形

四、图形的旋转

五、几何变换的综合

考向一：轴对称与轴对称图形

轴对称与轴对称图形知识总结

轴对称轴对称图形

定义把一个图形沿某一条直线折叠，如果他能如果一个图形沿某一直线对折后，直

够有另一个图形完全重合，那么就说这两线两旁的部分能够互相重合，这个图

个图形关于这条直线对称，这条直线叫做形叫做轴对称图形，这条直线叫做它

对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫的对称轴，这是我们也说这个图形关

对称点于这条直线成轴对称

区别轴对称是指两个全等图形之间的相互位置轴对称图形是指具有特殊形状的一个

关系图形

联系(1)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个图形是轴对称图形；

(2)如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成轴对称

(1)对应点的连线被对称轴垂直平分；

轴对称(2)对应线段相等；

的性质(3)对应线段或延长线的交点在对称轴上；

(4)成轴对称的两个图形全等

【方法提炼】

点与点的对称规律：

若点P(a,b),则点P关于x轴对称的坐标为(a,-b)；则点P关于y轴对称的坐标为(-a,

b);

【同步练习】

1.(2022•习水县模拟)下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学的标

志性图案；其中是轴对称图形的个数有()

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：左起第二、四两个图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠,

直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

第一、三两个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以是轴对称图形，

故选：B.

2.（2021秋•绥棱县期末）下面图形中，（）对称轴最少.

A.正方形B.长方形C.等边三角形D.圆

【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【解答】解：A.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；

B.长方形是轴对称图形，有2条对称轴；

C.等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴：

D.圆是轴对称图形，有无数条对称轴.

故8选项对称轴最少.

故选：B.

3.（2022•东明县一模）如图，正方形ABCO的边长为6.则图中阴影部分的面积为.

【分析】根据正方形的对称性质得到图中的面积=上正方形的面积.

2

【解答】解：根据题意，得S阴影部分=4S正方彩/IBCOua"XGZnlg.

22

故答案为：18.

4.（2021•扬州模拟）如图，AABC中，NABC=45°,ZBCA=J5°,3。=6-2代，点「

是8c上一动点，于O,于E,在点尸的运动过程中，线段。E的最小

值为(）

A

A.373-3B.V3C.4A/3-6D.2

【分析】当AP，8c时，线段。E的值最小，利用四点共圆的判定可得：A、£>、P、E四

点共圆，且直径为AP,得出NA£>E=/B=45°,从而可得△AE£)S2\ACB,坦=些,

ABBC

设AO=2x,表示出A。和48的长，代入比例式中，可求出OE的值.

...NBAC=60°,

,：PDA.AB于D,PEVAC于E,

:.NADP=NAEP=90°,

AZADP+ZAEP=180a,

...A、O、P、E四点共圆，且直径为AP,

...当APLBC时，OE的值最小（四边形A、D、尸、E四点共圆，外是直径，/3AC=

60是定值，故直径4P最小时，ND4E所对的弦最小），

在RtZ\PBE中，ZB=45°,

.♦.△P8E是等腰直角三角形，ZBP£=45°=ZAPE,

：.ZADE=ZAPE=45°,

.•.NAOE=/8=45°,

,/ZEAD=NCAB,

：./\AED^^ACB,

•.•—AD_DE1

ABBC

设AE=2x,则PE=EB=2r,AB=4x,AP=2®x,

取AP的中点0,连接。O,则AO=OO=OP=J，x,

,.•/O4P=N8AC-/%E=60°-45°=15°,

:.NDOP=2NDAO=30°,

过。作QMJ_AP于M,则。M=L>O=YLX,OM=MDM=J^,

222

：.AM=OA+OM=®_xN^x=对红区x,

22

由勾股定理得：^0=,\/AM2+DM2=（JE+I）X，

•（4+l）x=DE

4x6-273'

:.ED=M，即线段DE的最小值为愿.

故选：B.

5.（2022•贵港模拟）已知关于点A的坐标为（a,-1）,且a+2020的相反数为-2022,则

点A关于x轴对称的点的坐标为（）

A.（2,-1）B.（2,1）C.（-2,-1）D.（-2,1）

【分析】根据相反数的定义可得〃的值，再根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标

不变，纵坐标互为相反数，即点尸G,y）关于x轴的对称点P'的坐标是（x,-y）,

进而得出答案.

【解答】解：：。+2020的相反数为-2022,

a+2020=2022,

解得a=2,

...点A的坐标为（2,-1）,

••.点A关于x轴对称的点的坐标为（2,1）.

故选：B.

6.（2022•灌南县一模）如图，在平面直角坐标系中，对在第一象限的△A8C进行循环往复

的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a,b）,则经过第2022次变换后所得A点坐标

是

第1次।第2次，第3次.第4次

关于x轴对称关于J轴对称关于x轴对称关于1轴对称

【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4,然后根据商

和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可.

【解答】解：•••点A第一次关于x轴对称后在第四象限，

点A第二次关于y轴对称后在第三象限，

点A第三次关于x轴对称后在第二象限，

点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，

.•.每四次对称为一个循环组依次循环，

V20224-4=505-2,

经过第2022次变换后所得的4点与第一次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（-

a,-b）,

故答案为：（-〃，-

7.（2021•青岛）如图，在四边形纸片ABCD中，AD//BC,AB=10,ZB=60°,将纸片

折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF,若NBFE=45°,则BF的长为（）

A.5B.3遥C.5A/3D.江

5

【分析】由折叠知：BF=GF,NBFE=NGFE,得/BFG=90：过点A作AH_LBC于

H,在中，求出4H的长度，再证四边形AHFG是矩形，从而得出AH=GF,

即可解决问题.

【解答】解：由折叠知：BF=GF,NBFE=NGFE,

"：ZBFE=45°,

；.NBFG=90”,

过点A作AHL8C于，，

在中，4H=sin60°XAB=^~x10=5«,

,JAD//BC,

.•.NG4H=NAHB=90°,

ZGAH=NAHB=NBFG=90°,

四边形AHFG是矩形，

：.FG=AH=5\f3,

：.BF=GF=5\[3.

故选：C.

8.（2021•巴中）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是（-10,8）,

点。在4c上，将△BCD沿8。翻折，点C恰好落在OA边上点E处，贝Ijtan/OBE等

于（）

X

A.3B.3C.叵D.A

4532

【分析】利用翻折后△AOE与△0E8相似得到ED的长,进而求解，

【解答】解：；四边形AOBC为矩形，且点C(-10,8）,

：.AC=OB=S,AO=8C=10,/C=/A=/EOB=90°>

,/ABCD沿8£＞翻折，点C恰好落在OA边上点E处，

：.CD=DE,BC=BE=1Q,

在RtZ\08E中，OE={BE2_0B2={]02_82=6,

设AD^m,贝ijCD=DE=8-m,

VZADE+ZAED^ZAED+ZOEB=90°,

：.ZADE=ZOEB,

'.'ZA=ZAOB,

△ADES^OEB,

・DA0E叩m6

DEBE8-m10

解得m—3,

：.DE=S-3=5,

在RtZ\BQE中，DE=5,BE=10,

.,•tanZDB£=-L=A,

102

另一种思路：OE=6,则AE=4,

在RtZXAOE中,(8-m)2+42=m2,

解得m=5,所以QE=5,

在RlZ\8力E•中，BE=IO,

tanZDBE--^-=—,

102

故选：D.

9.(2022•研口区模拟)如图是由小正方形组成的9X9网格，每个小正方形的顶点叫做格

点.矩形ABCQ的四个顶点以及点E,F都是格点，EF与AB相交于点儿仅用无刻度

(1)直接写出丝的值；

BH

(2)在图1中的CD上画点G,使得EG=EH；

(3)在图2中，先画点A关于EF对称点A',再在3c上画点M,连接M/7,使得

=ZAHE.

【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理求解：

(2)取格点P,Q,连接P。，连接EF,PQ与网格线的交点LR交CD于点G,点G即

为所求；

(3)取格点K,L,连接KJ,JK交网格线于点T,连接7W交于点M,点M即可所

求.

【解答】解：(1)'JAE//BF,

.•必胆=2；

HBBF

（2）如图，点G即为所求;

（3）如图，点M即为所求.

考向二：图形的平移

平移知演梳理：

1.平移的两个基本条件：平移的方向和距离；

2.平移不改变图形的形状和大小（即平移前后的两个图形全等）；一个图形和它经过平

移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等。

【方法提炼】

点平移的规律：

若点P（a,b）,则点P向右平移m个单位的坐标为（a+m,b）；点P向左平移m个单位的

坐标为（a-m,b）；点P向上平移m个单位的坐标为（a,b+m）；点P向下平移m个单位

的坐标为（a,b-m）；

【同步练习】

1.（2021•鞍山）如图，/XABC沿8c所在直线向右平移得到△£）££已知EC=2,BF=8,

则平移的距离为.

【分析】利用平移的性质解决问题即可.

【解答】解：由平移的性质可知，BE=CF,

,:BF=8,EC=2,

：.BE+CF=8-2=6,

：.BE=CF=3,

二平移的距离为3,

故答案为：3.

2.（2021•清苑区模拟）木匠有32公尺的木材可以做花圃周围的边界，以下造型中，花圃周

围用32公尺木材做边界不能完成的是()

6m

D.*-10加

【分析】根据平移的性质以及矩形的周长公式分别求出各图形的周长即可得解.

【解答】解：A、周长=2(10+6)=32/M；

8、•.•垂线段最短，

...平行四边形的另一边一定大于6m,

V2(10+6)=32，”，

.•.周长一定大于32"?；

C、周长=2(10+6)=32皿

。、周长=2(10+6)=32m；

故选：B.

3.如图，在aABC中，BC=3,将aABC平移5个单位长度得到△AiBiCj,点P、。分别

是AB、4G的中点，PQ的最小值等于.

【分析】取AC的中点M,Ai@的中点M连接尸M,MQ,NQ,PN,根据平移的性质

和三角形的三边关系即可得到结论.

【解答】解：取的中点N,连接NQ,PN,

•.•将△A8C平移5个单位长度得到△AIBICI,

：.B\C\=BC=3,PN=5,4

•••点P、Q分别是AB、4。的中点，A/I

"Q十C号，

：.5-S〈PQW5+旦,B；

22B

即工WPQWll,

22

的最小值等于工,

2

故答案为：1.

2

考向三：中心对称与中心对称图形

中心对称与中心对称图形知识总结:

中心对称中心对称图形

定义把一个图形绕着某一点旋转180。后，如把一个图形绕某一个点旋转180度

果它能与另一个图形完全重合，那么就后能够与原来的图形重合,那么我们

说这两个图形关于这个点成中心对称，把这个图形叫做中心对称图形，这个

该点叫做对称中心点叫做对称中心

区别轴对称是指两个全等图形之间的相互位轴对称图形是指具有特殊形状的一

置关系个图形

联系(1)成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称

中心平分；

(2)成中心对称的两个图形全等

特别地：平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形；正多边形中，边数为奇

数时，只是轴对称图形，边数为偶数时，既是轴对称图形又是中心对称图形。

【方法提炼】

点与点成中心对称的规律:

若点P(a,b),则点P关于点原点0对称的点的坐标为(-a,-b)；

【同步练习】

1.(2021•遵义)下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

AMlBAlcH

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：儿是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意：

D.既是轴对称图形又是中心对称图形.故本选项符合题意.

故选：D.

2.(2022•丽水一模)把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点

O的直线/将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是

【分析】设直线/和八个正方形的最上面交点为A,过A作A8_LOB于B,易知08=3,

利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线/的解析式.

【解答】解:如图，

•.•经过原点的一条直线/将这八个正方形分成面积相等的两部分，

・・SZ^O8=4+1=5,

而08=3,

：3比3=5,

48=西，

3

二4点坐标为（改，3）,

3

设直线方程为y="，

贝IJ3=也次,

3

...直线/解析式为y=&.

故答案为：y=2r.

10

3.（2022•富平县一模）如图，点。是平行四边形A8C。的对称中心，点E、/分别为边BC、

A。上任意一点，且0、E、尸三点在一条直线上，连接A。，BO,EO,FO.若A8=4,

BC=6,NA3C=60°,则图中阴影部分的面积是

BE

【分析】连接C。，过A作A”,8c于，，依据点O是平行四边形A8CQ的对称中心,

即可得至IJSABOC=X$MBC，再根据ZVIOF且△COE(SAS),即可得至ljSAAOF=SACOE，进

2

而得出S阴影部分=SABOC=3J"5.

【解答】解：如图所示，连接CO,过A作A，_LBC于"，

,.,AB=4,/4BC=60°,NAH8=90°,

；.NBAH=30°,BH=1AB=2,

2

.*.A/7=2V3，

•*-5AABC=-^-^CXAH—^x6X2A/3,

又：点。是平行四边形ABCD的对称中心，

二0是AC的中点，

:♦SABOC=LSAABC=▲X6a=3点，

22

•••点0是平行四边形ABC。的对称中心，且0、E、F三点在一条直线上,

：.AO=CO,FO=EO,ZAOF=ZCOE,

...△AOF丝△COE(SAS),

S4AoF=S4COE，

・'・S阴影部分=Sa5OC=3j^，

故答案为：3Vs-

4.(2022•孝南区一模)在平面直角坐标系中，点A(2,/)与点B(小3)关于原点对称,

贝IJ()

A.m~~3,九:=2B.tn~~一3,n~~~2C.m=3,n~~-2D.rn—~-3，〃=2

【分析】直接利用关于原点对称点的性质求出〃?，〃的值，进而得出答案.两个点关于原

点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点。的对称点是P'(-X,-

y).

【解答】解：•••点A(2,m)与点8(n,3)关于原点对称，

.,.〃?=-3,〃=-2,

故选：B.

5.(2022•莱芜区一模)如图，在平面直角坐标系中，AABC的顶点都在方格纸的格点上，

将△ABC绕着某点顺时针旋转一定的角度后，得到△AEC,则旋转中心的坐标为()

A.（-1,1）B.（-1,2）C.（1,1）D.(1,-1)

【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点P即为所求.

【解答】解：如图，点P即为所求，P（-1,1）.

故选：A.

考向四：图形的旋转

一.旋转的比义：

如果一个图元绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度，这样的图形变换称为旋转

变换，这个定点称为旋转中心；

二.旋转的性质：

（1）旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的两个图形全等）；

（2）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等（都是旋转角）；

（3）对应点到旋转中心的距离相等

三.旋转变换三要素

①旋转中心，②旋转方向，③旋转角度

【同步练习】

1.（2021•桓台县二模）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时

针旋转90°后，能与原图形完全重合的是（）

【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断.

【解答】解：A、最小旋转角度=逝二=90°.

4

B、最小旋转角度=绝一=72°.

5

C、最小旋转角度=360°=120°.

3

。、最小旋转角度=360°=60。.

6

综上可得：顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是A.

故选：A.

2.（2022•瑞金市模拟）如图，将边长为遂的正方形绕点8逆时针旋转30°,那么图中阴

影部分的面积为（）

A.3B.73C.3-V3D.1473

【分析】设C。'与AD交于M,连接BM,边长为我的正方形绕点B逆时针旋转30°,

可得ZA=ZC=90°,ZCBC=30°,从而有△A8W丝△CBM(HL),即得

NABM=NCBM=30°,4用=妈=1,可得5AABM=」AB・AM=1_=SABCW，故S阴

V322

影=(V3)2-S^ABM-SMCM=3-V3.

【解答】解：设C。'与A。交于M,连接如图:

•••边长为我的正方形绕点3逆时针旋转30°,

：.AB=BC,NA=NC=90°,ZCBC=30°,

,:BM=BM,

.'.△A8M丝△CBM(HL),

：.ZAHM=ZCBM=30°,

在RtAABAf中，

AM=-^=l,

V3

.,.S&ABM=^AB*AM=^--S&BCM>

22

•*-S用彩=(Vs)2-S&ABM-5ABCM=3-Vs，

故选：c.

3.（2022•和平区一模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△?!£）£点B,C的对

应点分别为。，E.当点3,C,D,P在同一条直线上时，则/POE的度数为（）

【分析】由旋转的性质可得A8=AO,ZADE,/BAO=70°,由等腰三角形的

性质可得NA8c=/4。8=55°=NADE,即可求解.

【解答】解：；将△48C绕点A逆时针旋转70°得到△AOE,

：.AH=AD,ZABC=AADE,N8AO=70°,

.•.NA8C=N4OB=55°,

：.ZABC=ZADB=55°=ZADE,

：.ZPDE=}^0°-ZADB-ZADE=10Q,

故选：B.

4.（2022•钟山县校级模拟）如图，点E为正方形ABC。外一点，NAEB=90°,将Rt/XABE

绕A点逆时针方向旋转90°得到△4OF,。尸的延长线交8E于”点.

（1）试判定四边形4F77E的形状，并说明理由；

（2）已知84=7,DH=17,求BC的长.

【分析】（1）根据旋转的性质可得NAEB=/AFZ）=90°,ZEAF=90°,AE=AF,从

而可得四边形AFHE是正方形；

（2）连接BD,先在Rt/XDHB中利用勾股定理求出BD,再在RtABCD中求出BC,即

可解答.

【解答】解：（1）四边形是正方形,

理由：由旋转得：

NAEB=NAFD=90°,NE4F=90°,

.•.NA"7=I8O°-ZAFD=90°,

四边形是矩形，

由旋转得：AE=AF,

四边形是正方形；

•••四边形4FHE是正方形，

ZAHF=90°,

:.NDHB=180°-/AH尸=90°,

'：BH=1,DH=\1,

•*-BD=VDH2+BH2=V172+72=13日

•••四边形A8CO是正方形，

：.BC=CD,NC=90°,

阮=尊=13#=13,

V2V2

；.8C的长为13.

4.（2022•朝阳区校级一模）图1、图2分别是7X7的正方形网格，网格中每个小正方形的

边长均为1,点A、B在小正方形的顶点上，仅用无刻度直尺完成下列作图.

（1）在图1中确定点C、D（点C、。在小正方形的顶点上），并画出以AB为对角线的

四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为15；

（2）在图2中确定点E、F（点、E、尸在小正方形的顶点上），并画出以A8为对角线的

四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积为15.

【分析】（1）画一个底为3,高为5的平行四边形即可；

（2）画一个对•角线分别为3&,5&的菱形AEBF即可.

【解答】解：（1）如图1中，平行四边形AC8。即为所求.

（2）如图2中，菱形AE8尸即为所求.

5.（2022•郑州一模）马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下

问题：如图①，正方形ABCD的对角线AC、8。相交于点O,正方形ABC,。与正方形

ABCD的边长相等.在正方形A'B'C'O绕点O旋转的过程中，0T与AB相交于点M,OC'

与8c相交于点N,探究两个正方形重叠部分的面积与正方形A8CO的面积有什么关系.

（1）小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的_工_”；

4

（2）马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABC。中，

AB=AD,ZBAD=ZBCD=90°,连接AC.若AC=6,求四边形ABC。的面积.请你

帮小颖解答这道题.

图①图②

【分析】（1）证明aBOM丝△CON（ASA）,可得结论SABOM=S&CON，则可得出S四边形

OMUN—S^OBC——SX-HKABCD-<

4

(2)过A作AE_LAC,交CD的延长线于E,证明△ABC丝△AQE,得到AC=AE,△

A8C与△AOE的面积相等；求出aAEC的面积即可解决问题.

【解答】解：(1)•••四边形ABCO是正方形，四边形OA'B'C是正方形，

：.ACLBD,OB=OC,NOBM=NOCN=45°,NA'OC'=90°,

；.NBOC=NA'OC'=90°,

NBOM=ZCON,

:.△JiOMmACON(ASA),

:&BOM=SACON，

OMBN=OBC=1

Sima®SA-isliltiABCD-

4

故答案为：1;

4

(2)过4作AE_LAC,交CO的延长线于E,

图②

\'AELAC,

・・・NE4c=90°,

VZDAB=90°,

；・NDAE=NBAC,

ZBAD=ZBCD=90°,

AZADC+ZB=]80°,

VZEDA+ZADC=180°,

；・NEDA=NB,

'：AD=ABf

在△ABC与△ADE中，

<ZEAD=ZCAB

,AD=AB，

ZEDA=ZB

/XABC^AADE(ASA),

：.AC=AE,

VAC=6,

：.AE=6,

ASA4EC=—X6X6=18,

2

•'•S四边JBA8C£>=18.

考向五：几何变换综合

当几何变换出现在综合题中时，要多注意与之结合的几何图形的性质的应用

【同步练习】

1.（2022•全椒县一模）正方形48CO的边长为8,点E、尸分别在边A。、8c上，将正方

形沿EF折叠，使点A落在4处,点B落在B处,A5交BC于G.下列结论错误的是（）

A.当4为C。中点时，贝ljtanZDA'E=3.

4

B.当A'。：DE：A'£=3：4：5时，则A'C=K

3

C.连接4V,则A4'=EF

D.当4（点4不与C、。重合）在CO上移动时，△HCG周长随着W位置变化而变化

【分析】人当A'为CZ）中点时，设WE=AE=x,则OE=8-x,根据勾股定理列出方

程求解，可推出A正确；

B.当△ADE三边之比为3：4：5时，假设A'£>=3a,DE=4a,A'E=5a,根据4D=AE+OE

=8,可求得a的值，进一步求得即可判断出8正确；

3

C.过点E作区WJ_BC,垂足为M,连接44交EM,EF于点N,。，证明△44'△

EFM（ASA）,即得C正确；

D.过点A作AHLA'G,垂足为H,连接AA,AG,先证△A4T）丝△AAH,可得40=

AH,A'D=A'H,再证RtZ\ABG四RtZ\A”G,可得HG=BG,由此证得△A'CG周长=16,

即可得出。错误.

【解答】解：•••A'为C。中点，正方形48。的边长为8,

."0=8,A'D=XcD=4,N£>=90°,

2

•••折叠，

设A'E=AE=x,则DE=8-x

,/在RtAA'DE中，A'D2+DE2=A'E2,

/.42+(8-x)2=，，

解得：x=5,

.ME=5,DE=3,

：.tanZDA'E=-^-=^-,

DA'4

故A正确；

当△ADE三边之比为3：4：5时,假设A'D=3a,DE=4a,A'E=5a,则AE=4E=5a,

'：AD=AE+DE=S,

:.5。+4以=8,

解得：a=旦，

9

；.4D=3a=&,A'C^CD-A'D=8-&=西，

333

故B正确；

白如图，过点二E作垂足为M,连接AN交EM,EF于点、N,Q,

AB

：.EM//CD,EM=CD=AD,

：.ZAEN=ZD=90°,

由翻折可知：EF垂直平分44',

AZAQE=90°,

/.ZEAN+ZANE=ZQEN+ZANE=90Q,

ZEAN=NQEN,

在△A4O和中，

rZDAAZ=ZFEM

-AD=EM，

ZD=ZENF=90°

.♦.△AA'D^/XEFM(ASA),

：.AA'=EF,

故C正确：

如图，过点A作A”,4G,垂足为“，连接AA,AG,则NA/M，=NA”G=90°,

•.•折叠，

：.ZEA'G=ZEAB=90°,A'E^AE,

'：NC=90”

ZEAA'+ZDA'A=90(),

：.ZAA'G=ZDA'A,

：.^AA'D^^AA'H(.AAS),

：.AD=AH,AlD=A'H,

'：AD=AB,

：.AH=AB,

在RtAABG与RtAiAZ/G中，

[AB=AH,

1AG=AG，

ARtAX5G^RtAAWG(HL),

：.HG=BG,

：.△A'CG周长=/VC+A'G+CG

=A'C+A'H+HG+CG

=A'C+A'D+BG+CG

=CD+BC

=8+8

=16,

当4在CD上移动时，△4CG周长不变，

故。错误.

故选：D.

2.(2022•临潼区一模)在学习完“图形的旋转”后，某数学兴座小组做了如下探究：△ABC

和是两个全等的等腰直角三角形，NBMC=NEDF=90°,/XOEF的顶点后与4

ABC的斜边8c的中点重合.将绕点E作逆时针旋转，该过程中，线段。E与线

段AB相交于点P,线段与射线CM相交于点Q.

问题提出

(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP=A。时，△8PE和ACQE是否全等.如果

全等，写出证明过程；若不赞同，请说明理由.

问题解决

（2）如图②，当点Q在线段C4的延长线上时，ABPE和△CQE是否有存在与第（1）

间相同的关系，如果相同写出证明过程；如果不同，请说明它们的关系.当BP=a,CQ

=曳时;求P,Q两点间的距离（用含。的代数式表示）.

【分析】（1）根据两角对应相等，其中一组等角的对边相等的两个三角形全等证明即可.

（2）证明△BPESACEQ,由相似三角形的性质可得BPBE,推出BE=CE=显,

CECQ2

BC=3y[2a,AB=AC=^S-BC=3a,AQ=CQ-AC=^-a-3a=^a,AP=AB-BP=3a

222

-a=2。，在RtZVIPQ中，利用勾股定理，可得结论.

【解答】解：（1）△BPEQACEQ.

•；/XABC和是两个全等的等腰直角三角形,

:.NB=NC=NDEF=45°,

ZBEQ=ZBEP+ZDEF=ZEQC+ZC,

：.ZBEP+45°=/EQC+45°,

：.NBEP=ZEQC,

"：AP=AQ,AB=AC,

：.BP=CQ,NB=NC,

在△BPE和△CEQ中，

'/B=NC

-ZBEP=ZEQC«

BP=CQ

：./\BPE^A,CEQ(AA5)；

(2)ABPESACEQ.

证明：如图2,

NBEQ=NEQC+NC,即/BEP+NQEF=NEQC+NC,

:./BEP+45°=/EQC+45°,

：.ZBEP=ZEQC,

又,：NB=NC,

:.△BPEs/\CEQ；

'：/XBPE^ACEQ,

•••BPBE,

CECQ

'：BE=CE,

.a=CE

"CE~'

~2a

解得：BE=CE=$/2a,

2

，BC=3企a,

."8=AC=®BC=^X3&a=3m

22

：.AQ=CQ-AC=^-a-3a=当，AP=AB-BP=3a-a=2a,

22

在RtaAPQ中，PQ=>/AQ2+Ap2=Jc|a)2+(2a)2卷

3.(2022•蜀山区一模)己知：如图1,△ABC中，ZCAB=nO°,AC=4B,点。是BC

上一点，其中NA£»C=a(30°<a<90°)，将△43。沿A。所在的直线折叠得到△AEZ),

AE交CB于F,连接CE.

(1)求/CDE与/AEC的度数(用含a的代数式表示)；

(2)如图2,当a=45°时，解决以下问题：

①已知40=2,求CE的值；

②证明：DC-DE=®AD.

图1

【分析】(1)由等腰三角形的性质可得乙48C=/AC8=30°,由旋转的性质可得NAO8

=/AOE=180°-a,NDA8=/OAE=a-30°,AB=AE=AC,即可求解；

(2)①由等腰直角三角形的性质可求AH=7历，由直角三角形的性质可求4c=2料，

由等腰直角三角形的性质可求CE=4；

②由“SAS”可证△4£>£丝△AGC,可得。E=CG,可得结论.

【解答】(D解：,.•/CAB=120°,AC^AB,

：.ZABC=ZACB=30°,

,//AOC=a,

/.NDAB=ZADC-ZB=a-30°,ZADB=180°-a,

:将△ABO沿AD所在的直线折叠得到△AE£>,

AZADB=Z4D£=180°-a,ZDAB=ZDAE=a-30°,AB=AE=AC,

AZCD£=180°-a-a=180°-2a,ZCAE=120-2(a-30°)=180°-2a,

...NA£C=18O。Y180°-2a)=a；

2

(2)①解：如图2,过点A作AaJ_BC于H,

...NAOC=ND4H=45°,

：.AH=HD,

'：AD^2,

：.AH=HD=y]2>

\'ZACB=30°,

:.AC=1AH=2近,

VZCD£=180°-2a=90",ZAEC=a=45°,

.'.ZACE=ZAEC=45°,

.ME=AC=2我，

：.CE=y/2AC=4；

②如图3,过点A作AG,AC,交CO于G,

VZADC=45°,AGVAD,

：.ZADC^^AGD=45°,

：.AD=AG,

：.DG=\[2AD,

'：ZDAG=ZCAE=90°,

.,.ZCAG^ZEAD,

又；AC=AE,AD=AG,

：./\ADE^^AGC(SAS),

：.DE=CG,

'：CD=CG+DG,

:.DC-DE=®AD.

4.(2022•重庆模拟)如图，△ABC为等边三角形，。为AC边上一点，连接B£>,M为BD

的中点，连接4M.

(1)如图1,若48=2d§+2,/ABQ=45°,求△AMD的面积；

(2)如图2,过点M作MMLAM与AC交于点E,与8c的延长线交于点N,求证：AD

=CN；

(3)如图3,在(2)的条件下，将aABM沿AM翻折得△A8M,连接夕N,当B‘N

取得最小值时，直接写出里迈的值.

MN

图3

【分析】(I)利用直角三角形的性质可求84=D”，DH=MAH,可得A，=2,由三角

形面积公式可求解；

(2)由“A4S”可证可得AO=8G,AM=GM,由“SAS”可证△48G

g△ACN,可得BG=CN,可得结论；

(3)通过全等三角形的性质可得BW=£W=3£>,当3O_LAC时，BD有最小值，即8W

有最小值，山等边三角形的性质和勾股定理分别求出8N,OE,何N的长，即可求解.

【解答】(1)解：如图1，过点。作。HJL48于H,

；NA8O=45°,DH1AB,

；.NABD=NBDH=45°,

：.BH=DH,

VZBAD=60°,DHLAB,

：.DH=43AH,

,:AB=2如+2=AH+BH=«AH+AH,

：.AH^2,

：.DH=2yf3,

：.S^ABD=^XABXDH=1X（273+1）x25/3=6+73；

22

(2)证明：如图2,过点A作4FJ_8c于/，连接MF,过点8作8G〃AC,交AM的

延长线于G,连接GM

：.ZCAG=ZAGB,

又•：NAMD=/BMG,BM=DM,

：.(A4S),

：,AD=BG,AM=GM,

MNLAG,

:・AN=GN,

•••△A3C是等边三角形，AFLBC,

；・BF=FC,ZBAF=ZCAF=30°,

又•：BM=DM,

：.MF//AC,

：.ZCAF=ZAFM=30°,

VAAMN=ZAFC=9O0,

・♦•点A,点M,点F,点N四点共圆，

AZAFM=ZANM=30Q,

：.ZNAM=60°,

•♦.△ANG是等边三角形，

:.AG=AN9

•・・NA4C=NM4V=60°,

:・/BAG=/CAN,

又・.・