安徽省亳州市普通高中2021-2022学年高三上学期期末理科数学试题高考

试卷第页，共SECTIONPAGES页绝密★启用前安徽省亳州市普通高中2021-2022学年高三上学期期末理科数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．已知，则的共辄复数（）A． B． C． D．3．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．直线：被圆：截得的最短弦长为（）A．1 B． C．2 D．5．某几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为），则该几何体的体积为（）A． B． C． D．6．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（）A． B． C． D．7．设，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．8．已知函数，，，，则a，b，c的大小关系正确的是（）A． B． C． D．9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知斜率为的直线分别交双曲线的左､右支于点M，N，线段MN的中点为P，若OP（点О为坐标原点）的斜率为2，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．11．设数列的前项和为，已知，，数列的前项和为，则满足的的最小值为（）A．12 B．7 C．6 D．112．已知，若时，恒成立，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题13．如图，在平面四边形ACDE中，点B在边AC上，是等腰直角三角形，四边形BCDE是边长为1的正方形，则___________.14．为了解某校1200名高一学生的身高状况，按性别比例采用分层抽样的方法从中抽取50人进行调查，若样本中男生比女生多10人，则该校高一学生中女生的人数为___________.15．已知点A，B，C，D均在球О的球面上，且球心О在线段AD上，若球О的表面积为，是面积为的等边三角形，则三棱锥的体积为___________.16．已知数列满足，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________.三、解答题17．在等差数列中．，．(1)求的通项公式：(2)记的前项和为，求满足的的最大值．18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角C；(2)若的外接圆半径为2，求面积的最大值.19．如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，平面平面，是的中点，.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.20．如图所示，两村庄和相距，现计划在两村庄外以为直径的半圆弧上选择一点建造自来水厂，并沿线段和铺设引水管道.根据调研分析，段的引水管道造价为万元，段的引水管道造价为万元，设，铺设引水管道的总造价为万元，且已知当自来水厂建在半圆弧的中点时，.(1)求的值，并将表示为的函数；(2)分析是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.21．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为6.(1)求抛物线方程；(2)若直线，且交抛物线于C，D两点，为坐标原点且，求的面积.22．已知函数.(1)求在处的切线方程；(2)设，若当时，，求的最小整数值.试卷第页，共SECTIONPAGES页参考答案：1．D求出集合、，，再由交集的运算可得答案.解：设集合，，则，所以.故选：D.2．B先利用复数除法运算得到，进而求出的共轭复数.解：，则.故选：B3．B由三角函数的二倍角公式即可判断两条件之间的逻辑关系.解：由，可得，解之得由，可得则“”是“”的必要不充分条件故选：B4．C首先确定直线过的定点，然后明确直线何种情况下被圆截得的弦长最炫，由此计算即可.解：直线：即为，当时，，故直线线过定点，设该点为P,又，故点在圆内，当圆心和P点连线垂直于直线l时，l被圆解得的弦长最短，而即，半径，圆心为,故,故弦长为，故答案为：2.5．C由三视图还原几何体为三棱锥，确定棱锥底面积和高之后，根据棱锥体积公式可求得结果.解：由三视图知，原几何体是棱长为的正方体中的三棱锥，且，由正方体的性质可知：，三棱锥的底面上的高为，该几何体的体积为.故选：C.6．D由已知得出，可求得，再利用余弦定理可求得的余弦值.解：由已知可得，则，，则，由余弦定理可得.故选：D.7．D由利用指数的性质可判断A；当时可判断B；由得可判断C；作差比较大小可判断D.解：因为，所以，所以，故A错误；因为，当时，，故B错误；由，且时，，所以，故C错误；因为，所以所以，故D正确.故选：D.8．C根据指数函数、对数函数的单调性先比较、、的大小，再利用的奇偶性、单调性可得答案.解：，，，只需判断，，的大小即可，，，，所以，当时，都为单调递增函数，所以在时为单调递增函数，又，所以为偶函数，所以，故选：C.9．A分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合函数单调性可求得实数的取值范围.解：因为，则，由题意可知，对任意的，，即，令，则，因为函数、在上均为减函数，则函数在上为减函数，故.故选：A.10．B设，,则由题意可得，，再将坐标代入双曲线方程中，两式相减化简可得，从而可得，进而可求出离心率解：设，,则，，因为OP（点О为坐标原点）的斜率为2，所以，所以，因为在双曲线上，所以，，两式相减得，所以，所以，所以，所以，，所以离心率为，故选：B11．A先求出，得到，求出数列的前项和为，解不等式即可求解.解：因为数列的前项和为满足，所以.当n=1时，；当时，；经检验，对n=1也成立，所以.所以，所以数列为首项为1，公差为的等差数列，所以数列的前项和为.由可得：，解得：（舍去）.所以的最小值为12.故选：A.12．C构造函数，利用函数单调性解出，两边取对数，进行参变分离，求导后求出最值，得到答案.解：令，，则在上恒成立，所以在上单调递减，因为，，所以，，因为，所以，两边取对数得，即，故，令，，，当时，，当时，，故在上取得最大值，，故，综上：的最小值为.故选：C.结合不等式特点，构造函数，结合函数不等式问题，要利用导函数研究其单调性，结合参变分离及最值问题处理恒成立问题.13．-1以B为原点，分别为x、y轴正方向建立直角坐标系，用坐标法求解.解：如图示，以B为原点，分别为x、y轴正方向建立直角坐标系.则、、、，所以，，所以.故答案为：-114．480根据分层抽样直接求解即可解：由抽取样本50人中，男生比女生多10人，可得样本中男生30人，女生20人，男女生比例为3：2，所以该校高一学生中女生的人数为.故答案为：48015．判断出AD为球О的直径，由面积分别求出，.利用判定定理证明出面OBC，求出，即可求出三棱锥的体积.解：点A，D均在球О的球面上，且球心О在线段AD上，所以О为线段AD的中点.因为球О的表面积为，设球的半径为R，则，解得：，所以.又是面积为的等边三角形，所以，解得：.因为AD为球的直径，所以，由勾股定理得：，,所以均为等腰直角三角形，所以且，又，所以面OBC.在△OBC中，，，所以，所以，所以，所以三棱锥的体积为.故答案为：16．分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得，由参变量分离法可得出，利用数列的单调性求得数列的最大项的值，可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.解：当时，在等式两边同时除以可得且，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，，因为对任意恒成立，即，令，则.当时，，即；当时，，即.故数列中的最大项为，，解得.故答案为：.17．(1)(2)（1）根据等差数列的概念及通项公式可得基本量，进而可得解.（2）利用等差数列求和公式计算，解不等式即可.(1)设等差数列的公差为，所以，解得，所以数列的通项公式为；(2)由（1）得，所以，解得，所以的最大值为.18．(1)(2)（1）利用正弦定理得到，从而得到；（2）利用正弦定理得到，根据余弦定理和基本不等式求出，进而求出面积的最大值.(1)因为，所以，由正弦定理得：，因为，所以，故，，因为，所以(2)根据正弦定理得：，解得：，根据余弦定理得：，由基本不等式得：，即，解得：，当且仅当时等号成立，此时，所以面积的最大值为19．(1)证明见解析；(2)（1）由，结合面面垂直的性质中点平面，进而证得；（2）取的中点，连接，可得，以为原点建立的空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.(1)证明：因为是等边三角形，且是的中点，所以，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又由平面，所以.(2)解：取的中点，连接，、分别为、的中点，则，，则，又因为平面，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为且是等边三角形，可得,可得，则，设平面的法向量，则，令，可得，即，设平面的法向量，则，令，可得，即，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20．(1)，，其中；(2)存在，且的最大值为.（1）求得，根据已知条件求出的取值范围，根据题意得出，将代入函数解析式可求得的值，由此可得出表示为的函数关系式；（2）利用导数分析函数在上的单调性，由此可得出结论.(1)解：因为为半圆弧的直径，则，则，由题意可得，可得，所以，，其中，当点在的中点时，，此时，解得，因此，，其中.(2)解：因为，其中，则，因为函数在上为减函数，由可得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，故当时，函数取最大值，即.21．(1)(2)（1）设直线l为：，与抛物线联立，根据线段AB中点的横坐标为6求出p；（2）设直线m：，设，，利用“设而不求法”求出弦长，利用点到直线的距离公式求出高，即可求出面积.(1)抛物线的焦点为，所以过点F且斜率为1的直线l可设为：.设，，则，消去y可得：.因为线段AB中点的横坐标为6，所以，解得：p=4.所以抛物线方程为：.(2)由直线，可设直线m：.设，，则，消去y可得：.所以，，.因为为坐标原点且，所以，解得：（不符合，舍去）.所以直线m：.弦长.而到直线m：的距离d，所以的面积为22．(1)；(2)的最小整数值为.（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）利用导数求出函数的最