机械控制课件

第二章 控制系统的数学模型◎2.1控制系统的微分方程◎2.2传递函数◎2.3系统传递函数的方框图及其简化◎2.4控制系统信号流图和梅逊公式◎2.5典型物理系统的微分方程和传递函数建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。对于机电控制系统，在输入作用下有些什么运动规律，我们不仅希望了解其稳态情况，更重要的是要了解其动态过程。如果将物理系统在信号传递过程中的这一动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。

数学模型是描述系统输入、输出及内部变量之间关系的数学表达式。系统数学模型既是分析系统的基础，又是综合设计系统的依据。2.1控制系统的微分方程建立数学模型的意义(1)可定性地了解系统的工作原理及其特性;(2)更能定量地描述系统的动态性能;(3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。工程上常用的数学模型有微分方程、传递函数和状态方程等。微分方程是基本的数学模型，是传递函数的基础。2.1控制系统的微分方程线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；

线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：

可加性：

齐次性：或：2.1控制系统的微分方程宇宙飞船控制系统a、b均为常数，为线性定常微分方程若a、b中有系数依赖于xi、x0

或它们的导函数，或者，在微分方程中出现t的其他函数形式，则该方程就是非线性的。用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。

实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。

2.1控制系统的微分方程

尽管线性系统理论已是相当成熟，但非线性系统理论还不完善。另外，由于叠加原理不适用于非线性系统，这给解非线性系统带来很大不便。故对非线性系统进行线性化处理，用线性系统理论进行分析。

实际的物理系统往往有死区、饱和、间隙等各类非线性现象。严格来讲，几乎所有的实际的物理系统都是非线性的。2.1控制系统的微分方程非线性元件微分方程线性化的一般方法：

一个变量的非线性函数y=f(x)，在x0处连续可微，则可将它在该点附近用泰勒级数展开：具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法进行线性化处理。在一个小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。（分段定常系统）2.1控制系统的微分方程则有令增量较小时略去其高次幂项，则有：k为比例系数，即函数f(x)在x0点切线的斜率。上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。称为系统的静态方程。2.1控制系统的微分方程略去二级以上导数项，并令：y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用泰勒级数为：两个变量的非线性函数：称为增量方程2.1控制系统的微分方程输入力矩输出摆角单摆质量单摆摆长根据牛顿第二定律：将非线性项在附近用泰勒级数展开，当很小时，可忽略高次项，得到近似的线性化方程：单摆的微分方程数学模型：2.1控制系统的微分方程解：由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66。求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有：因此，线性化方程式为：

z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=5×10=50由线性化方程求得的z值为z=11x+6y－66=55+60-66=49因此，误差为50-49=1，表示成百分数

试把非线性方程z=xy在区域5≤x≤7、10≤y≤12上线性化，并用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。2.1控制系统的微分方程

系统线性化过程中，需注意的地方：(1)线性化是相应于某一额定工作点的，工作点不同，则所得的方程系数也往往不同。

(2)变量的偏移愈小，则线性化精度愈高。(3)增量方程中可认为其初始条件为零，即广义坐标原点平移到额定工作点处。

(4)线性化只适用于没有间断点、折断点的单值函数。(5)某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，在平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。

2.1控制系统的微分方程2.1控制系统的微分方程建立控制系统数学模型的方法有：分析法－应用物理规律、电学规律、力学规律等，对系统各部分的运动机理进行分析。实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。单输入、单输出系统的微分方程表示的数学模型的一般形式：其中：为输出变量，为输入变量由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，故：m≦n2.1控制系统的微分方程分析法建立系统数学模型的步骤：2.1控制系统的微分方程(1)确定系统或各元件的输入、输出变量。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量；(2)从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程；进行适当的简化，忽略次要因素；(3)消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程；(4)标准化。整理所得微分方程，

输出量降幂排列＝输入量降幂排列 一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。实验法－基于系统辨识的建模方法已知知识和辨识目的实验设计--选择实验条件模型阶次--适合于应用的适当的阶次参数估计--最小二乘法模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。2.1控制系统的微分方程2.1控制系统的微分方程例2-1

牛顿第二定律

系统的输入量为外力x，输出量为质量的位移y

标准化2.1.1机械系统机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性小、柔度较大。在集中参数法中，将前一类构件的弹性忽略将之视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略将之视为无质量弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量–弹簧–阻尼系统。2.1控制系统的微分方程根据牛顿第二定律:将输出变量写在等号左边，输入变量写在等号右边，阶次由高到低排列，得到：其中：M为受控质量；k为弹性刚度；D为粘性阻尼系数；为输出位移。微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。

2.1控制系统的微分方程2.1.2电路网络2.1控制系统的微分方程)(tui)(tuoC1R2R无源电网络RLC电路

图2－3的无源电路网络，根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有：经过整理，可得其数学模型为：2.1控制系统的微分方程2.1控制系统的微分方程1、ei是系统的输入，eo是系统的输出

2、相似系统2.1.3电动机电动机是机电系统中最常用最重要的执行元件。：电机电枢输入电压：电机输出转角：电枢绕组电阻：电枢绕组电感：流过电机绕组的电流：电机感应反电动势：电机转矩：电机及负载折合到电机轴上的转动惯量：电机及负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数2.1控制系统的微分方程根据基尔霍夫定律，电机电枢回路：根据磁场对载流线圈的作用定律:：电机力矩常数根据电磁感应定律:：电机反电势常数2.1控制系统的微分方程根据牛顿第二定律：当电机电枢电感较小时,当电机电枢电感、电阻均较小时,即电机转速与电机电枢电压成正比。2.1控制系统的微分方程对于较复杂系统，列写微分方程的一般步骤：1.分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；2.

从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；3.

消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；4.

标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排。2.1控制系统的微分方程物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。

从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。

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