机械原理总复习2

第五章平面连杆机构及其设计

(PlanarLinkageMechanisms

anditsDesign)§5—1连杆机构及其传动特点一、概念(Definition)

连杆机构：指所有构件用低副（转动副和移动副）联接而成的机构，又称为低副机构。1、平面连杆机构：所有构件均在相互平行的平面内运动的连杆机构（如图a）。2、空间连杆机构：所有构件不全在相互平行的平面内运动的连杆机构（如图b）。它可以分为：图a图b

最简单的平面连杆机构是由四个构件组成的，称为平面四杆机构，它是组成多杆机构的基础。平面四杆机构的型式最常见的有：1）铰链四杆机构(pin-connectedfour-barmechanism)2）曲柄滑块机构(slider-crankmechanism

)3）导杆机构(

guide-barmechanism

)铰链四杆机构曲柄滑块机构导杆机构连架杆(sidelink

)可分为：曲柄(crank)

：能绕机架作整周转动的连架杆，如杆1；摇杆(rocker)

：只能绕机架作小于360°的某一角度摆动的连架杆，如3。在铰链四杆机构中，转动副分两种：１）周转副：组成转动副的两构件能作整周相对转动，如转动副Ａ、Ｂ；２）摆转副：组成转动副的两构件不能作整周相对转动，如转动副Ｃ、Ｄ。

在铰链四杆机构中，按连架杆能否作整周转动，可将铰链四杆机构分为：曲柄摇杆机构(crank-rockermechanism)双曲柄机构(double-crankmechanism)双摇杆机构(double-rockermechanism)曲柄摇杆机构双曲柄机构双摇杆机构二、平面四杆机构的演化型式

(EvolutionofPlanarFour-barLinkage)1、四杆机构演化的目的：

满足运动方面的要求、改善受力状况、满足结构设计上的要求。2、四杆机构的演化方法：1）改变构件的形状和运动尺寸图5.13a）图5.13b）摇杆3做成滑块ββ做成导轨具有曲线导轨的曲柄滑块机构摇杆长→∞,ββ→直线摇杆3→滑块，转动副D→移动副偏置(eccentricoroffset)

e≠0对心(in-line)e=0图5.14曲柄滑块机构

曲柄滑块机构(slider-crankmechanism)常用在冲床、内燃机、空压机等机械中。图5.13a）2）改变运动副的尺寸图5.16a）扩大转动副B的半径使之超过曲柄的长度曲柄滑块机构偏心轮机构▲偏心轮机构常用在各种机床和夹具中。图5.16b）演化3）选用不同的构件为机架（此演化方法称为机构的倒置）b）导杆机构构件AB(1)为机架回转导杆机构：导杆能作整周转动，

l2≥l1。如图5.18所示的小型刨床机构。摆动导杆机构：导杆仅能在某一角度范围内往复摆动，

l2<l1

。如图5.19所示的牛头刨床机构。a）曲柄滑块机构图5.18图5.19§5-3平面四杆机构的基本知识

(BasicknowledgeofPlanarLinkages)一、平面四杆机构有曲柄的条件

(ConditionofCrankExistence)

铰链四杆机构三种基本型式的区别在于机构中是否存在曲柄和有几个曲柄。下面就以铰链四杆机构为例来分析曲柄存在的条件。

在如图5－23所示的铰链四杆机构中，要使杆AB成为曲柄，转动副A则应为周转副。而转动副A是否为周转副，则与各杆的长度有关。图5－23①+②a≤b④①+③a≤c⑤②+③a≤d⑥a为最短杆

由此可得出，转动副A为周转副的条件为：1）最短杆和最长杆长度之和小于等于其他两杆长度之和，即Lmin+Lmax≤Li+Lj——杆长条件；2）组成该转动副的两杆中必有一杆是最短杆。

上述条件表明：如各杆长满足杆长条件，则有最短杆参与构成的转动副（A、B）都是周转副；而其余的转动副（C、D）则为摆转副。①a+d≤b+ca+c≤b+d②a+b≤c+d③a+最长杆≤其它两杆杆长之和四杆机构有曲柄的条件为：1）最短杆和最长杆长度之和小于等于其他两杆长度之和，即：Lmin+Lmax≤Li+Lj——杆长条件；2）连架杆或机架中必有一个最短杆。推论：①Lmin+Lmax>Li+Lj（不满足杆长条件）——无曲柄，即为双摇杆机构，无周转副；②Lmin+Lmax≤Li+Lj（满足杆长条件）——可能有曲柄：Lmin为机架：双曲柄机构（2个曲柄）；Lmin为连架杆：曲柄摇杆机构（1个曲柄）；Lmin为连杆（即最短杆相对的构件为机架）：双摇杆机构（无曲柄，有周转副）。例：图中的四杆机构中，已知杆AB、BC、AD的长度，若要以AD为机架得到双摇杆机构，试求CD杆长的范围。解：1、机构存在周转副（即Lmin+Lmax≤Li+Lj，且以最短杆相对的杆为机架）：1）CD为最短杆：不可能∵不满足题意2）CD为中间长杆：40+80≤50+LCD∴LCD≥703）CD为最长杆：40+LCD≤80+50∴LCD≤9070≤LCD≤902、机构不存在周转副（即Lmin+Lmax>Li+Lj）：1）CD为最短杆：LCD+80>40+50∴LCD>102）CD为中间长杆：40+80>50+LCD∴LCD<703)CD为最长杆：40+LCD>80+50∴LCD>90但CD最长也不得超过40+80+50=170，即LCD<17010<LCD<7090<LCD<170综合：当10<LCD<170时，得到双摇杆机构。二、急回运动和行程速比系数(Quick-returnMotionandCoefficientofTravelSpeedRatio)1、曲柄摇杆机构图5-26

图5-26所示为曲柄摇杆机构，主动曲柄AB以ω1方向转动。

在曲柄转动一周过程中，有两次与连杆BC共线（AB1C1重叠共线、AB2C2拉直共线），这时摇杆CD的位置C1D、C2D分别位于其左、右极限位置。曲柄摇杆机构所处的这两个位置，称为极位。

机构的急回运动程度可用反正行程速度变化系数（简称行程速比系数）K表示。K=v2/v1=t1/t2=α1/α2=（180°+θ）/（180°-θ）讨论：①v2↑K↑急回运动程度↑（越强）K=1无急回运动∴要使机构有急回运动，必须K>1；K值大小的意义：反映机构急回运动的程度。②θ=0°K=1（无急回运动）θ>0°K>1（有急回运动）（∴θ从几何上反映急回运动特性，而K从数值上反映急回运动特性）θ↑K↑急回运动程度↑（越强）2、曲柄滑块机构1）对心：∵θ=0°∴K=1——无急回作用2）偏置：∵θ>0∴K>1——有急回作用三、压力角α和传动角γ1、压力角(

PressureAngle)

如图8-29所示的四杆机构中，如不考虑各构件的重力、惯性力和运动副中的摩擦力，则BC杆为二力杆。由主动件AB经力F可分解为：Ft——有效分力（产生有效的回转力矩，推动从动件CD运动）Fn——有害分力（使转动副C、D产生径向压力，增加运动副的摩擦力）图8-29过连杆BC传递到从动件CD上点C的力F，将沿BC方向。2、传动角(TransmissionAngle)

传动角γ：压力角α的余角，亦即连杆BC与CD所夹的锐角。即γ=90°-α

传动角γ的大小及变化情况可反映机构传动性能的好坏。γ越大越好，α越小越好。γ可在机构运动简图中直接观察：当∠BCD为锐角时：γ=∠BCD；当∠BCD为钝角时：γ=180°-∠BCD。Ft=Fcosα（=Fsinγ）Fn=Fsinα（=Fcosγ）压力角α：作用在输出构件（从动件）上点C的力F的方向与该点绝对速度方向之间所夹的锐角。讨论：1）γ↑（α↓）Ft↑、Fn↓，对机构传动越有利（机构传动性能越好）；2）γ=90°（α=0°）Ft=F、Fn=0（最理想）；3）γ=0°（α=90°）Ft=0、Fn=F（机构不能运动）。

机构运动过程中，γ的大小随着曲柄转角ψ的变化而改变。所以为了保证机构的传动性能良好，设计四杆机构时通常要求最小传动角γmin≥40°，在传动力矩较大时，应使γmin≥50°。最小传动角γmin出现的位置：1）曲柄摇杆机构①曲柄为原动件时：图8-29（连BD）△BCD中：BD2=b2+c2-2bccos∠BCD△ABD中：BD2=a2+d2

-2adcosψ∴cos∠BCD=(b2+c2-a2-d2+2adcosψ)/2bc

当cosψ=+1（即ψ=0°，AB与AD重迭共线，即AB1C1D位置）时：cos∠BCD最大∠BCD最小γ1min=∠BCD

当cosψ=-1（即ψ=180°，AB与AD拉直共线，即AB2C2D位置）时：cos∠BCD最小∠BCD最大γ2min=180°-∠BCD∴γmin取γ1min、γ2min两者中的小值。∴γmin所处位置：出现在曲柄与机架共线时的两个位置之一。②摇杆为原动件：γmin=0°，出现在从动曲柄与连杆共线的两个位置。

当cosψ=+1时：γ1min=∠BCD四、死点位置(DeadPointPosition)1、概念：

图8-31所示的曲柄摇杆机构中，以摇杆3为原动件，而曲柄1为从动件。图8-31

当摇杆摆到极限位置C1D和C2D时，连杆2与从动曲柄1共线（重迭和拉直），这时主动件CD通过连杆作用于从动曲柄AB上的力恰好通过回转中心A，此力对A点不产生力矩，所以不能使曲柄AB转动而出现“顶死”现象，机构的这种位置称为死点位置。此时机构的传动角γ=0°。▲死点出现的位置：出现在机构的两个极限位置。1）曲柄摇杆机构：出现在以摇杆为原动件，连杆与从动曲柄共线的两位置；2）曲柄滑块机构：出现在以滑块为原动件，连杆与从动曲柄共线的两位置；3）摆动导杆机构：出现在以导杆为原动件，导杆与从动曲柄垂直的两位置。▲结论：只要机构中有往复运动的构件，并且以此往复运动的构件为原动件，则机构一定存在死点，且死点位置是机构的极限位置。§5—4平面四杆机构的设计

(SynthesisofPlanarFour-barLinkage)一、连杆机构设计的基本问题

连杆机构设计的基本问题是根据给定的运动要求选定机构的型式，并确定各构件的尺寸参数。同时还要满足结构条件（如要求存在曲柄、杆长比恰当等），动力条件（≥γmin）和运动连续性条件等。1、设计的要求：（可归纳为三大类）1）满足预定的运动规律要求；2）满足预定的连杆位置要求；3）满足预定的轨迹要求。图8-45二、图解法设计连杆机构1、按给定K设计四杆机构

已知摇杆的长度LCD、摆角ψ及行程速比系数K，要求设计该曲柄摇杆机构（求a、b、d）。1）分析：由K可计算θ：θ=180°(K-1)/(K+1)；

由LCD、ψ可：选定D点，作出摇杆的两极限位置C1D

、C2D

；根据图中的几何关系有：∠C1AC2=θLAC2=b+aLAC1=b-a∴求解问题可转化为：过两定点C1、C2作一定角θ，其顶点A即为所求的曲柄转动中心，从而定出杆长d、b、a。∴实质上就是确定具有θ角的A点位置。由几何定理：同一圆弧所对应的圆周角相等。∴问题现在转化为：找出一个圆η，必须使此圆上的两点C1、C2所对应的圆周角为θ，则A点在圆周上。∠C1AC2=θLAC2=b+aLAC1=b-a2）作图步骤：①求θ：θ=180°(K-1)/(K+1)；②取作图比例尺μL=?mm/mm；③任取D点，由LCD、ψ画两极限位置DC1、DC2，连C1C2；④过C2点作C2M⊥C1C2，作∠C2C1N=90°-θ，交点为P；⑤以C1P为直径作圆η，则A点在此圆的圆周上；图8-51⑥按辅助条件（如LAD或γmin）定A点的位置；▲无条件限制时，可在η圆上任取A点（注意：A点不能选在图中的FG弧段上，否则机构将不满足运动的连续性要求）。⑦连AC1、AC2，量取尺寸d，计算尺寸b、a：d=AD·μLb-a=LAC2=

AC2·μLb+a=LAC1=AC1·μL解得：b、a=？

对于按K来设计曲柄滑块机构、摆动导杆机构，可以用同样的方法进行设计。第六章凸轮机构及其设计(CamMechanismsanditsDesign)§6—1概述(Introduction)一、凸轮机构的组成和特点1、组成(Composing)

由凸轮、推杆、机架三个基本构件（2个低副1个高副）组成。凸轮：是一个具有曲线轮廓或曲线凹槽的构件。通常作为原动件，有时作为机架；一般作等速转动，但也有作往复摆动和往复直线运动。推杆(Follower)（从动件）：被凸轮直接推动的构件。图6-1图6-2三、分类(Classifications)

凸轮机构的类型很多，常根据凸轮和推杆的形状及其运动形式的不同来分类：1、按凸轮的形状(Shape)分：1）盘形(Disk)凸轮（图6-4a）：

是一个绕固定轴线转动或为机架并具有变化向径的盘形构件，它是凸轮的基本形式。结构简单，应用较广泛，但行程不能太大，否则对机构的传动不利。盘形凸轮2）移动(Translating)凸轮（图6-4b）：

是相对机架作往复移动或为机架且具有曲线轮廓的构件。用得较少。可看作是转轴在无穷远处的盘形凸轮的一部分。3）圆柱(Cylindrical)凸轮（图6-4c）:

是在圆柱面上开有曲线凹槽或在圆柱端面上具有曲线轮廓的构件。它是一种空间凸轮机构，可认为是移动凸轮卷成圆柱体来演化形成的。行程可较大，但结构较复杂。移动凸轮圆柱凸轮2、按推杆末端(thefollowerend)形状分：（如图6-5）1）尖顶(Tip)推杆（图a、b）：结构简单，因是点接触，又是滑动摩擦，故易磨损。只宜用在受力不大的低速凸轮机构中，如仪表机构。2）滚子(Roller)推杆（图c、d）：线接触、滚动摩擦，所以耐磨，能承受较大的载荷。应用最广。3）平底(Flat-faced)推杆（图e、f）：传动角始终为90°，受力平稳，且平底与凸轮轮廓间有楔形空隙，易形成油膜，可减少摩擦，降低磨损。常用于高速凸轮机构中。图a）图b）图c）图d）图e）图f）3、按推杆运动形式(themotiontype)

分：1）直动(Translating)

推杆：推杆作往复直线运动，如图6-5a、c、e。对心(in-line)直动：推杆导路通过凸轮回转中心。偏置(offset)直动：推杆导路不通过凸轮回转中心，而有一偏距e。2）摆动(Oscillating)

推杆：推杆作往复摆动，如图6-5b、d、f。对心直动偏置直动对心直动尖顶推杆盘形凸轮机构偏置直动尖顶推杆盘形凸轮机构对心直动滚子推杆盘形凸轮机构直动平底推杆盘形凸轮机构摆动平底推杆盘形凸轮机构摆动尖顶推杆盘形凸轮机构摆动滚子推杆盘形凸轮机构▲凸轮机构命名方式：其命名方式为：推杆的运动形式+推杆的形状+凸轮的形状§6—2

推杆的运动规律(LawofMotionsofFollower)

设计凸轮机构时，首先应根据工作要求确定推杆的运动规律，然后按推杆所要求的运动规律来设计凸轮廓线。一、凸轮机构的运动循环(MotionCirculation

)及有关术语(Term

)

以图6-8所示的对心直动尖顶推杆盘形凸轮机构为例来说明：图6-81、起始位置：推杆刚开始要上升的瞬时位置，此时凸轮转角δ=0°，推杆位移s=0，尖顶位于离凸轮轴心O最近的位置A点。2、基圆(basecircle)：以凸轮（理论）廓线的最小向径r0为半径所作的圆。r0称为基圆半径。3、推程：

当凸轮以ω等速逆时针方向转动时，推杆在凸轮轮廓AB段的推动下，将由最近位置A被推到最远位置B′，推杆运动的这个过程称为推程。推程运动角δ0：

与推程对应的凸轮转角，称为推程运动角。即推杆由距凸轮转动中心最近位置运动到最远位置的过程中凸轮转过的角度。4、远休：

BC段是以O为圆心的圆弧，因此当凸轮继续回转，推杆与BC段圆弧接触时，将在最远位置静止不动，推杆运动的这个过程称为远休。远休止角δ01：推程远休时所对应的凸轮转角。有的凸轮δ01=0°（无远休）。图9-65、回程：凸轮继续回转时，和凸轮廓线CD段接触，这时在弹簧力或重力的作用下，推杆又以一定的运动规律回到起始位置，即从最远位置回到最近位置。推杆运动的这一过程，称为回程。回程运动角δ0′：推杆回程时凸轮相应的转角。6、近休：凸轮继续回转时，推杆与凸轮在基圆DA段圆弧接触，这时推杆在最近位置静止不动，这一阶段称为近休。近休止角δ02：推程近休时所对应的凸轮转角。有的凸轮δ02=0°（无近休）。7、行程h：推杆在推程或回程中所移动的距离。最大摆幅ψmax：推杆在推程或回程中所摆动的角度。（对摆动推杆而言）1、等速运动规律(LawofConstantVelocityMotion)v=常数。1）方程：推程s=hδ/δ0（9-3，a）v=hω/δ0（δ：0~δ0）a=0回程s=h(1－δ/δ0′)v=－hω/δ0′a=0（9-3，b）(δ：0~δ0′)注意：回程时，推杆的位移仍由其最低位置算起，所以s是逐渐减小的。2）运动线图（推程）：如图6－9所示。图6－93）运动特点：产生刚性冲击∵推杆在运动开始和终止的瞬时，因速度有突变，则加速度a在理论上出现瞬时的无穷大，导致推杆突然产生非常大的惯性力，因而使凸轮机构受到极大的冲击，这种冲击称为刚性冲击。4）适用场合：低速运动。2、等加等减速运动规律(LawofConstantAccelerationandDecelerationMotion)a=常数。为了保证凸轮运动的平稳性，通常应使推杆先作等加速，后作等减速运动。常设在加速段与减速段凸轮的运动角及推杆的行程各占一半，即δ0/2→h/2（也可以不作等分）。1）方程：推程等加速段等减速段s=2hδ2/δ02v=4hωδ/δ02a=4hω2/δ02（6-5，a）(δ：0~δ0/2)s=h-2h(δ0-δ)2/δ02v=4hω(δ0-δ)/δ02a=-4hω2/δ02（6-5，b）(δ：δ0/2~δ0)2）运动线图（推程）：如图6－10所示。s图：δ=1、2、3时，

s1:s2:s3=12

:22

:32=1:4:9。3）运动特点：产生柔性冲击∵在A、B、C三点推杆的加速度有突变，因此推杆的惯性力也有突变，不过这一突变是有限值，因而引起凸轮机构的冲击是有限的，这种冲击称为柔性冲击。4）适用场合：中速运动。图6－102）运动线图（推程）：如图6－12所示。s图作法：

等分δ0，得等分点1、2、3…。在s轴上作直径为h的半圆，作半圆的等分角线交半圆的点为1、2、3…，过各等分点作各自的垂线与水平线，交点即为s曲线上的点，光滑连接这些点，得到s图。3）运动特点：产生柔性冲击∵在首、末两点推杆的加速度有突变，因此也有柔性冲击。4）适用场合：中速运动。图6－12三）推杆运动规律的选择：自学P143▲推杆的各种运动规律的比较：运动规律冲击性质发生位置适用范围等速刚性冲击δ=0°,δ0低速轻载等加速等减速柔性冲击δ=0°,δ0/2，δ0中速轻载余弦加速度柔性冲击δ=0°,δ0中低速重载正弦加速度无冲击中高速轻载3—4—5多项式无冲击高速中载§6—3凸轮轮廓曲线的设计

(DesigningCamProfile)

设计凸轮机构时，应按使用要求，选择凸轮的类型、推杆的运动规律和基圆半径后，就可以进行凸轮轮廓曲线的设计了。1）凸轮轮廓曲线设计的方法(Methods)：图解法：精度低，只能用于设计低速运转的不重要的凸轮。解析法：能获得很高的设计精度。随计算机的普及，凸轮轮廓曲线设计应力求采用计算机辅助设计。一、凸轮轮廓线设计的方法和基本原理

图6-18所示为偏置直动推杆盘形凸轮机构，凸轮以ω逆时针方向转动。各构件的运动情况为：机架凸轮推杆原机构：静止绕O点沿ω转动上下往复运动整个机构加“-ω”

：绕O点沿-ω转动静止绕O点沿-ω转动+沿导路往复运动

显然，在推杆的这种复合运动中，推杆尖顶的运动轨迹就是凸轮的轮廓曲线。∴求凸轮廓线——即求反转后“推杆”尖顶的轨迹。这就是凸轮廓线设计的基本原理，这种方法称为“反转法”。图6-18二、用图解法设计凸轮轮廓曲线1、偏置直动尖顶推杆盘形凸轮已知：凸轮的r0=20mm，以ω逆时针方向转动，偏距e=10mm（导路偏于凸轮中心的右侧），推杆的运动规律如下：凸轮运动角δ推杆的运动规律10°~120°等速上升h=15mm2120°~180°在最高位置静止不动3180°~270°余弦加速度下降h=15mm4270°~360°在最低位置静止不动求：凸轮廓线。作图步骤(procedure)：3）作偏距圆（以凸轮中心O为圆心，以偏距e为半径作圆），与导路相切；2）取作图比例尺μL（=μS

），以r0为半径作基圆、推杆的导路，导路与基圆交点为A（尖顶的起始位置）；1）取位移比例尺μS=？(mm/mm)作s=s(δ)线图，并对s线图的δ0、δ0′分别作若干等分，各分点编号为1、2、3、……，δ01、δ02不作等分；5）过1、2、3、……等点作偏距圆切线（注意切向）。此切线代表反转后推杆导路占据的位置线；4）从OA开始，沿－ω方向依次取角度δ0、δ01、δ0′、δ02，并将角δ0、δ0′等分成与s线图对应的等分，与基圆相交得点1、2、3、……；6）在各条切线上，由基圆开始向外量取S线图上的对应长度11′、22′、33′、……，得点1′、2′、3′、……。此即代表推杆的尖顶在复合运动中依次占据的位置；7）光滑连接1′、2′、3′、……[此例中：4′与5′、8′(8)与9′(A)之间为圆弧]，此即为所设计的凸轮轮廓曲线。

对于对心直动推杆盘形凸轮机构，可以认为是e=0时的偏置凸轮机构，其设计方法与上述方法基本相同，只需将过基圆上各分点作偏距圆的切线改为作过凸轮回转中心O的径向线即可。注：2、偏置直动滚子推杆盘形凸轮（图9-19）已知：增加滚子半径rr，其他条件同上。设计思路：把滚子中心A看作是尖顶推杆凸轮机构的尖顶。作图步骤：1）按尖顶设计方法定出滚子中心A在推杆复合运动中依次占据的位置1′、2′、3′、……，并连成光滑的曲线；2）以光滑的曲线上的一些点为圆心，以滚子半径rr为半径作一系列的圆；3）作此圆族的内包络线，即为所求的凸轮廓线。

滚子中心A在复合运动中的轨迹β0称为凸轮的理论廓线。β0β

把与滚子直接接触的凸轮廓线β称为凸轮的实际廓线（或工作廓线）。注意：β0与β是法向等距曲线，而不是径向等距，也不是相似曲线。§9—4凸轮机构基本尺寸的确定(DeterminingBasicDimensionsofCamMechanism)r0、rr、e、L等尺寸的大小会影响机构的受力情况（传动性能）是否良好、动作是否灵活、尺寸是否紧凑。下面就来讨论这些尺寸的确定问题：一、压力角α及许用压力角[α]

(PressureAngleandItsAllowableValue)

（前面已讲过）压力角α（或传动角γ）的大小反映了机构传动性能的好坏。α↓(或γ↑)，机构的传动性能越好。F可分解为：F′=Fcosα——有效分力F″=Fsinα——有害分力∴α↑F′↓、F″↑（对机构传动不利）足够大凸轮机构发生自锁（当α增大到某一值时，有害分力F″所引起的摩擦力将大于有效分力F′，这时无论凸轮给推杆的作用力有多大，都不能推动推杆运动，即机构发生了自锁。）

压力角α：推杆在接触点B所受正压力方向（即沿接触点处的法线方向）与推杆上点B的绝对速度方向之间所夹的锐角。注意：对于滚子推杆，压力角要作在理论廓线上。如再考虑安全系数n，令

αc/n=[α]——许用压力角则只要保证：αmax≤[α]∵凸轮廓线上各点的压力角是不同的，如在B1点的压力角为α1。∴总存在αmax。∴在设计凸轮机构时，为了提高机构的效率和改善机构的传动性能，只要保证αmax<αc（自锁时的压力角，称为临界压力角）。二、压力角α与基圆半径r0的关系

设计凸轮机构时，除了应使机构有良好的传动性能外，还希望机构的结构紧凑。凸轮尺寸的大小取决于基圆半径的大小，在实现相同运动规律的情况下，r0愈小，凸轮的尺寸也愈小。因此要获得结构紧凑的凸轮机构，就应使基圆半径r0尽可能小，但基圆半径的大小又与机构的压力角有着直接的关系。

下面就以对心直动尖顶推杆凸轮机构为例来说明：

在保证αmax≤[α]的前提条件下，尽量取小的基圆半径。若取αmax=[α]，则得最小的基圆半径r0min。因此在设计时所取的基圆半径应：r0≥r0min。

根据瞬心的知识可知，点P为此位置时凸轮与推杆的相对瞬心，则:OP=v/ω=ds/dδ∴tgα=OP/BO=(ds/dδ)/(r0+s)∴r0=(ds/dδ)/tgα-s当s一定时：α↑r0↓凸轮的尺寸↓（结构越紧凑）∴从使机构结构紧凑的角度来看：α↑好从机构传动性能角度来看：α↓好两者是矛盾的这种矛盾的解决办法：五、滚子半径rr的选择

凸轮实际廓线的形状将受滚子半径rr大小的影响。若滚子半径选择不当，有时可能会使推杆不能准确地实现预期的运动规律。

下面来分析凸轮实际廓线形状与滚子半径的关系。1、对于凸轮理论廓线的内凹部分：

如图7-26a所示，设实际轮廓的曲率半径为ρa，理论廓线的曲率半径为ρ，则有：图7-26a）ρa=ρ+rr

上式说明：无论rr大小如何，都有ρa>ρ，即实际廓线总可以根据理论廓线平滑地作出。c）②当ρ=rr时，ρa=0，如图c所示：出现尖点（在尖点处很容易磨损）；b）2、对于凸轮理论廓线的外凸部分：ρa=ρ-rr①当ρ>rr时，ρa>0，如图b所示：可以平滑地作出实际廓线，即是正常曲线；d）③当ρ<rr时，ρa<0，如图d所示：

实际廓线出现交叉。交叉部分在实际制造时将被切去，致使无法实现预期的运动规律，即出现“失真”现象。∴对于外凸廓线的凸轮机构，rr不能太大，否则会出现尖点或失真现象。滚子半径的选择：

保证实际廓线的最小曲率半径ρamin≥（1~5）mm（不满足时，应↓rr或↑r0或有时还需修改推杆的运动规律）；但从滚子的强度、结构考虑，应满足rr=(0.1~0.15)r0。图9-22解析法设计时，可用公式来计算平底的长度（如图9-22）：∵OP=BC=ds/dδ∴Lmax=|ds/dδ|max式中：|ds/dδ|max应根据推程和回程时推杆的运动规律分别进行计算，取其较大值。则平底长度L的计算式为：L=2|ds/dδ|max+(5~7)mm注意：对于平底推杆盘形凸轮机构，有时也会出现“失真”现象。可采取增大基圆半径的办法来避免。§10—2齿轮的齿廓曲线(ToothProfile

)一、齿廓啮合的基本定律

(BasicLawofToothProfile

Meshing)

齿轮传动是靠主动齿轮的齿廓依次推动从动齿轮的齿廓来实现，且要保证定传动比（i12=ω1/ω2）传动，而传动比i12却与齿廓的形状有关。1、齿廓啮合的基本要求

如图10-4所示为一对相互啮合的齿轮，主动齿轮1以ω1顺时针转动，齿廓C1推动齿轮2的齿廓C2以ω2逆时针方向转动。设两轮在任一点K接触，则两轮在K点处的线速度分别为VK1、VK2。图10-4节圆特征：①r1′+r2′=a′：说明一对齿轮传动时，两节圆必相切；②两节圆作纯滚动，因为节点是速度瞬心，此点具有相同的绝对速度。∴定传动比传动时，两齿轮的节圆相切作纯滚动。③i12=ω1/ω2=O2P/O1P=r2′/r1′，传动比等于两节圆半径的反比。

以O1为圆心，O1P为半径作圆；以O2为圆心，O2P为半径作圆。这两个圆分别称为齿轮1、2的节圆，节圆半径用r1′、r2′（节圆上的参数用带′的字母）来表示。§10—3渐开线齿廓的啮合传动特点(CharacteristicofInvoluteToothProfileMeshingTransmission)

每个齿轮的轮齿都是由两条反向的渐开线组成的。一、渐开线的形成

如图10-6所示，当一直线BK沿一圆周作纯滚动时，直线上任意点K的轨迹AK，就是该圆的渐开线。

这个圆称为渐开线的基圆(BaseCircle)

，其半径用rb表示；直线BK叫做渐开线的发生线；角θK叫做渐开线AK段的展角。图10-63、线段BK是渐开线在K点的曲率半径，B点是渐开线在K点的曲率中心。推论：渐开线愈接近于基圆的部分，曲率半径愈小，渐开线愈弯曲；

渐开线愈远离基圆的部分，曲率半径愈大，渐开线愈平直；

渐开线在基圆上的起始点A处的曲率半径为零。4、渐开线的形状取决于基圆的大小。即同一基圆展开的渐开线的形状完全相同。在相同展角处：（如图10-7）rb↓→渐开线越弯曲，曲率半径↓；rb↑→渐开线越平直，曲率半径↑；rb→∞，则渐开线成为直线，齿条的齿廓是直线的渐开线。图10-75、基圆内无渐开线。∵渐开线是从基圆开始向外展开的。

对齿轮加工，这话的意思是：刀具在基圆内所切的曲线不是渐开线。7、渐开线上各点的压力角不等。离圆心越远，压力角越大。K点的压力角αK：齿廓在点K所受正压力的方向（即齿廓曲线在该点的法线方向）与点K的绝对速度（⊥OK）方向线之间所夹的锐角。cosαK=rb/rK（应熟记此公式）

ρK=rbtanαK=rKsinαK

若rK=rb

，则αK=0，即渐开线起始点A处的压力角为0。3、传动具有平稳性

由于啮合线与两齿廓啮合点的公法线重合，且为一条定直线，所以渐开线齿廓在啮合传动过程中，齿廓间的正压力方向始终是不变的（沿啮合线N1N2方向），这对于齿轮传动的平稳性极为有利。§10—4渐开线标准齿轮(StandardInvoluteGears)一、齿轮各部分的名称和符号

(NameofVariousGearParts

andtheirSymbols)

图10-9所示为标准直齿圆柱外齿轮的一部分。图10-9齿：齿轮上每一个用于啮合的凸起部分称为齿。每一个轮齿的齿形是由2段渐开线、3段圆弧、2段过渡曲线所构成。1）齿顶圆(addendumcircle)：过齿轮各轮齿顶端所作的圆。直径、半径用da、ra表示。2）齿根圆(dedendumcircle)

：过各轮齿的齿槽底部所作的圆。直径、半径用df、rf表示。3）齿厚(tooththickness)

：沿任意圆周所量得的轮齿的弧线厚度，称为该圆周的齿厚si

。4）齿槽宽(toothspacewidth)

：沿任意圆周所量得的相邻两齿之间的齿槽的弧长，称为该圆周的齿槽宽ei

。6）分度圆(referencecircle)

：为了便于齿轮各部分尺寸的计算，在齿轮上选择一个圆5）齿距（周节）(pitch)

：沿任意圆周所量得的相邻两齿上同侧齿廓之间的弧长，称为该圆周的齿距pi

。在同一圆周上：pi=si+ei。作为设计计算的基准，该圆称为分度圆。其直径、半径、齿厚、齿槽宽和齿距分别用d、r、s、e、p，且p=s+e。7）齿顶高(addendum)

：介于分度圆和齿顶圆之间的轮齿部分称为齿顶，其径向高度称为齿顶高ha。8）齿根高(dedendum)：

介于分度圆和齿根圆之间的轮齿部分称为齿根，其径向高度称为齿根高，用hf表示。9）齿全高(toothdepth)

：

齿顶圆和齿根圆之间的径向距离，即齿顶高和齿根高之和称为齿全高h，h=ha+hf。10）法向齿距(normalpitch)

：相邻两轮齿同侧齿廓之间在法线方向上的距离，用pn表示。

由渐开线特性可知：pn=pb（pb为基圆齿距，亦称基节）。今后法向齿距和基圆齿距均以pb来表示。二、渐开线齿轮的基本参数(BasicParameters

)

为了计算齿轮各部分的几何尺寸，需要规定若干个基本参数。对于标准齿轮而言，有以下5个基本参数：1、齿数(ToothNumber)z

在齿轮整个圆周上轮齿的总数。2、模数(Module)

m

分度圆周长=πd=zp∴d=zp/π

为了方便设计、制造和检验，人为地把分度圆齿距p与π的比值用m表示，并取其为一有理数列。即：m=p/π。3、分度圆压力角（简称为压力角）α

压力角α：是指分度圆与渐开线齿廓交点处的压力角。在图上常用∠NOA来表示。则Acosα=rb/r或rb=rcosα=mzcosα/2

我国规定分度圆压力角是标准值，一般为：α=20°。在某些场合下，有采用：α=14.5°、15°、22.5°、25°。▲分度圆：就是齿轮中具有标准模数和标准压力角的圆。任意一个齿轮有且仅有一个分度圆。

分度圆压力角α是决定渐开线齿廓形状的一个基本参数。4、齿顶高系数(CoefficientofAddendum)

ha*ha=ha*m5、顶隙系数(CoefficientofBottomClearance)

c*hf=（ha*+c*）m我国规定的齿顶高系数ha*和顶隙系数c*的标准值为：1）正常齿：ha*=1，c*=0.25；2）短齿：ha*=0.8，c*=0.3。▲标准齿轮：指m、α、ha*、c*均为标准值，而且e=s=mπ/2的齿轮。则ha、hf也为标准值。

一个标准齿轮的基本参数确定后，其主要尺寸及齿廓形状就完全确定了。d=mzha=ha*mhf=（ha*+c*）mh=ha+hfda=d+2ha=（z+2ha*）mdf=d-2hf=（z-2ha*-2c*）mdb=dcosα=mzcosαp=πms=e=p/2=πm/2pb=πdb/z=πmcosα=pcosαa=m(z1+z2)/2——标准中心距d′=d——当中心距为标准中心距时i12=ω1/ω2=r2′/r1′=rb2/rb1=r2/r1=z2/z1三、标准直齿轮各部分尺寸的计算公式（应熟记）§10—5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动

(MeshingTransmissionofInvoluteSpurGears)

上节主要就单个齿轮进行了研究，下面将讨论一对渐开线齿轮啮合传动的情况。一、一对轮齿的啮合过程

如图10-16所示为一对渐开线标准齿轮的啮合过程。轮1为顺时针转动的主动轮，推动从动轮2逆时针方向转动。1、啮合线N1N2：按主动轮转向ω1及啮合线必为基圆的内公切线可作出；图10-16∵模数和压力角都是标准值，不能任意选取，所以要满足上式，必须使：

m1=m2=m，α1=α2=α∴渐开线齿轮正确啮合的条件是：两轮的模数和压力角应分别相等。◆传动比：i12=ω1/ω2=r2′/r1′=rb2/rb1

=r2cosα2/r1cosα1=r2/r1=m2z2/m1z1=z2/z1∴πm1cosα1=πm2cosα2∴m1cosα1=m2cosα2

式中m1

、m2

和α1、α2分别为两轮的模数和压力角。pb1=pb2三、齿轮传动的中心距及啮合角

(CenterDistance

andMeshingAngle

)一）外啮合传动图10-13所示为一对标准齿轮外啮合传动的情况。1、确定齿轮传动的中心距时应满足的条件1）保证两轮的理论齿侧间隙(Backlash)为零

——满足无侧隙啮合条件。

一对齿轮传动时，为了便于润滑，避免轮齿受力变形和发热膨胀，在两轮的齿侧要留有一定的间隙。侧隙△=e2′-s1′=e1′-s2′。△=e2′-s1′=e1′-s2′

但为了使齿轮在正转和反转时避免轮齿间的冲击，这种齿侧间隙一般都很小，通常是由制造公差来保证的。而在设计、计算齿轮的公称尺寸时，都按无侧隙来考虑，即△=0。由图可见，侧隙的大小与中心距的大小有关。2）保证两轮的顶隙c为标准值，即c=c*m。

在一轮的齿顶圆与另一轮的齿根圆之间应留有一定的间隙，称为顶隙。顶隙的标准值为c=c*m。由图可见，顶隙的大小也与中心距大小有关。图10-13a2、标准中心距和标准安装

当顶隙为标准值c=c*m时，设中心距为a，则a=ra1+c+rf2=r1+ha*m+c*m+r2-(ha*+c*)m=r1+r2=m(z1+z2)/2

即两轮的中心距a等于两轮的分度圆半径之和。我们把这种中心距称为标准中心距。∵a=r1+r2=r1′+r2′

且i12=r2′/r1′=r2/r1∴r1=r1′，r2=r2′即分度圆与节圆重合，两个分度圆相切。这种按标准中心距（即分度圆与节圆重合）的安装，称为标准安装。在标准安装时：∵标准齿轮分度圆上：s1=e1=s2=e2=πm/2，且分度圆与节圆重合∴s1′=e1′=s2′=e2′=πm/2∴△=e2′-s1′=e1′-s2′=0——无侧隙条件∴标准齿轮在标准安装时，能满足无侧隙啮合的要求。3、啮合角α′

齿轮传动的啮合角：是指啮合线N1N2与两节圆公切线tt之间所夹的锐角。它的大小标志着啮合线的倾斜程度。

啮合角恒等于节圆的压力角，统一用α′表示

。在图上常用∠N1O1P和∠N2O2P来度量，即：∠N1O1P=∠N2O2P=α′。cosα′=rb1/r1′=rb2/r2′标准安装时：

r′=r，△=0，

α′=α，a′=a中心距和啮合角的关系：∵rb=rcosα=r′cosα′∴rb1+rb2=（r1+r2）cosα

=（r1′+r2′）cosα′则a′cosα′=acosα4、非标准安装（如图10-13b）

实际中心距a′≠a（对于外啮合齿轮，a′>a）的安装，称为非标准安装。此时：

r′>r，α′>α，

c>c*m，△>0。图10-13b2、重合度(ContactRatio)

通常把B1B2与pb的比值εα称为齿轮传动的重合度。其大小反映了齿轮连续传动的程度。则：εα=B1B2/pb≥1——连续传动条件

在实际的工程中，应要求εα≥[εα]（许用重合度）。[εα]随齿轮机构的使用要求和制造精度而定，常用的推荐值见P187表7.4。3、重合度的计算公式可用图10-18推导求得：

εα=[z1(tanαa1-tgα′)±z2(tanαa2-tgα′)]/(2π)其中：外啮合齿轮传动，取“+”；内啮合齿轮传动，取“-”；

a′cosα′=acosα→求α′；

cosαa=rb/ra→求αa

。4、εα的物理意义

εα的物理意义：表明同时参与啮合轮齿的对数的多少。

εα↑→同时参与啮合轮齿的对数↑→每对齿承受的载荷↓→承载能力↑，传动平稳性↑∴重合度是衡量齿轮传动性能的一个重要指标。例：εα=1.4—表示同时平均有1.4对轮齿在参与啮合5、分析讨论——重合度与齿轮基本参数之间的关系εα=[z1(tgαa1-tgα′)±z2(tgαa2-tgα′)]/(2π)1）εα与m无直接关系；2）z↑→εα↑（∵z↑→r↑→ra

↑→B1B2↑→εα↑）

z→∞时，εα

→εαmax=1.9823）ha

*↑→ra↑→αa↑→εα↑；4）a′↑→α′↑→εα↓。二、渐开线齿廓的根切1、概念：

用范成法加工齿轮时，有时刀具的顶部过多地切入了轮齿的根部，因而将根部的渐开线齿廓切去一部分，这种现象称为渐开线齿廓的根切现象，如图10-23所示。图10-232、根切的危害：1）齿根弯曲强度↓；2）齿廓工作段被切→B1B2↓→εα↓→影响传动的平稳性。3、根切产生的原因：理论啮合线的啮合极限点N1点低于刀具的齿顶线（与啮合线的交点B2）。∴产生根切的根本原因是：由于被切齿轮的齿数太少。

由图可见，N1点位置的高低与被切齿轮的基圆大小（rb=mzcosα/2）有关，而m、α必须与刀具的m、α相同，所以N1点位置的高低只取决于齿数z。

如z↓，当基圆与啮合极限点N1′刚好与B2重合时，则被切齿轮基圆以外的齿廓全部为渐开线；如z更少，使啮合极限点N1〃落在刀具齿顶线之下，则刀具的齿顶在从N1〃点切削到B2位置的过程中，就会将齿根部位本已切好的一部分渐开线齿廓切去，故形成根切。z≥2ha*/sin2α

因此切制标准齿轮时，为了避免根切现象，则被切齿轮的最少齿数为：

zmin=2ha*/sin2α∵当α=20°，ha*=1时，则zmin=17（标准齿轮不发生根切的最少齿数）。∴在设计齿轮选择齿数时，如要求用标准齿轮，则一定要17齿以上。3）变位修正

如前所述，要避免根切，就得使N1点位于刀具的齿顶线之上，为此，只要改变一下刀具与被加工齿轮的相对位置就行了，如图所示。

用改变刀具与被加工齿轮的相对位置来切制齿轮的方法，称为变位修正法。采用此方法切制的齿轮（已不是标准齿轮），特称为变位齿轮。x=0——零变位，切制标准齿轮（必要条件）；x>0——正变位，切制正变位齿轮，刀具远离齿轮中心；（z<zmin时必须采用）x<0——负变位，切制负变位齿轮，刀具靠近齿轮中心。三、（被切齿轮刚好无根切时刀具的）最小变位系数xmin=ha*(zmin-z)/zmin=（17-z）/17∴对齿轮进行变位时，必须保证：x≥xmin。四、变位齿轮的几何尺寸1、几何尺寸的变化情况（图10-25）

变位齿轮与标准齿轮相比：1）不变的参数及尺寸有：

m、z、α、ha*、c*、p、r、rb、h；图10-252）正变位时尺寸变化情况：

s↑、e↓、ra↑、rf↑、ha↑、hf↓，齿轮的强度↑3）负变位时尺寸变化情况：与正变位时相反。∵变位前后基圆半径rb不变∴变位齿轮与标准齿轮的齿廓是由同一基圆所形成的渐开线。但它们所不同的是采用了渐开线上的不同部位：（如图10-26）图10-26

正变位：截取了离基圆较远的渐开线部位；负变位：截取了离基圆较近的渐开线部位。∴正变位时，渐开线越平直，曲率半径↑，接触强度↑；而且基圆的齿厚↑，弯曲强度↑。∴正变位齿轮的强度↑。2、变位齿轮的尺寸计算正变位：s=πm/2+2xmtanαe=πm/2–2xmtanαra=r+ha*m+xmrf=r-（ha*+c*）m+xmha=ha*m+xmhf=（ha*+c*）m–

xm负变位：同正变位，但公式中的x为负值。§10—8斜齿圆柱齿轮传动

(HelicalCylinderGearTransmission)一、斜齿轮的齿廓曲面与啮合特点1、齿廓曲面

由于齿轮是有一定宽度的，所以有关直齿轮概念中出现的点、线、圆实际上是空间的线、面、圆柱。如：接触点→接触线；啮合线→啮合面；分度圆、基圆→分度圆柱、基圆柱；渐开线齿廓曲线→渐开线齿廓曲面。直齿轮齿廓曲面的特点：

与垂直轴线的平面的交线是渐开线，与同轴圆柱的交线是平行于轴线的直线。

由于斜齿轮的齿廓曲面是渐开线螺旋面，所以其端面齿形和法面齿形是不同的。因此斜齿轮的端面参数和法面参数是不同的。

斜齿轮的法面参数是标准值，用来选择刀具的参数；而斜齿轮的端面参数是用来计算几何尺寸。∴必须建立法面参数和端面参数之间的换算关系。二、斜齿轮的基本参数和几何尺寸计算1、基本参数

法面参数：带下标“n”，mn

、αn

、han*、cn*等是标准值，加工时选择刀具；

端面参数：带下标“t”，计算几何尺寸。2、法面参数和端面参数的关系1）齿距：pn=ptcosβ2）模数：mn=mtcosβ3）压力角：tanαn=tanαtcosβ4）齿顶高系数：han*=hat*/cosβ5）顶隙系数：cn*=ct*/cosβ6）变位系数：x

n=x

t

/cosβ图10-29（斜齿轮沿分度圆柱的展开图）图10-30∴斜齿轮的重合度也就比直齿轮的重合度大，其增加的一部分重合度为：

εβ=△L/pbt=Btanβb

/pbt=Bsinβ/πmnεβ称为轴面重合度（∵εβ是由轮齿的倾斜与齿轮的轴向宽度而增加的重合度）。

B↑、β↑→εβ↑（某些情况下可达10以上）∴斜齿轮的重合度：εγ=εα+εβ

其中εα称为端面重合度（计算同直齿轮重合度公式，用端面参数代入），即：

εα=[z1(tanαat1-tanαt′)±z2(tanαat2-tanαt′)]/(2π)五、当量齿轮和当量齿数

(VirtualGearandVirtualNumberofTeeth)1、概念

当用仿形法切制斜齿轮时，按法面齿形所相当的齿数来选择刀号。在计算斜齿轮的轮齿弯曲强度时，由于作用力作用在法面内，所以也需知道它的法面齿形。这就需要找出一个与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮。那么我们把与斜齿轮法面齿形相当的虚拟的直齿轮称为斜齿轮的当量齿轮，其齿数称为斜齿轮的当量齿数，用zv表示。显然：

zv=2ρ/mn由图可知，d为斜齿轮分度圆柱直径，则椭圆的长半轴：a=d/2/cosβ；短半轴：b=d/2。由高等数学可知，椭圆上C点的曲率半径为：

ρ=a2/b=d/(2cos2β)∴zv=2ρ/mn=d/(cos2βmn)=mtz/(cos2βmn)=z/cos3β

注意：求得的zv

值一般不是整数，也不必圆整，只需按这个数值选择刀号即可。∵zv=z/cos3β∴zmin=zvmincos3β(=17cos3β)zvmin为当量直齿轮不发生根切的最少齿数，即直齿轮的zmin。3、斜齿轮不发生根切的最少齿数六、斜齿轮传动的特点1、优点：1）啮合性能好：因接触线是斜直线，故传动平稳、噪音小，可减少制造误差对传动的影响。2）重合度大，轮齿的承载能力提高，使用寿命长。3）结构紧凑。（∵不易发生根切zmin比直齿轮少）四、蜗轮蜗杆传动的转向判断

转向判断——左右手定则：（蜗杆为原动件）1）右旋蜗杆用右手，左旋蜗杆用左手；2）大拇指伸直，其余四指弯曲握住蜗杆，使四指弯曲方向与蜗杆的转向一致，则大拇指所指方向的反方向即为蜗轮在啮合点处的速度方向。二、轮系的分类(Classification)

根据轮系运动时，其各个齿轮的轴线相对于机架的位置是否都是固定，可将轮系分为：1、定轴轮系(Geartrainwithfixedaxes)

：

当轮系运动时，各轮轴线相对于机架的位置都是固定的，称定轴轮系（或普通轮系——ordinarygeartrain）。

如图11-1所示的轮系；如下图所示的轮系：2、周转轮系(EpicyclicGearTrain

)

：

当轮系运动时，有一个或几个齿轮的轴线相对于机架的位置并不固定，而是绕其它齿轮的固定轴线回转。如图11-2所示。图11-2其中：太阳轮和行星架常作为运动的输入和输出构件，称为基本构件（绕同一固定轴线回转）。1）周转轮系按其所具有的自由度，还可再分：①差动轮系(Differential

GearTrain

)

：图11-2a

自由度F=2，原动件数为2，两个太阳轮都不固定；图11-2a）②行星轮系(Planetary

GearTrain

)

：图11-2b

自由度F=1，原动件数为1，其中有一个太阳轮被固定。图11-2b）3、复合轮系(Combined

GearTrain)

：由定轴轮系和周转轮系组成或由几个周转轮系组成的轮系。如图11-4的轮系：定轴轮系和周转轮系；如图11-5的轮系：2个周转轮系（每一个行星架对应于一个周转轮系）。图11-4图