天津理工大学概率论与数理统计第三章习题答案详解

第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点（x,y）落在矩形域［%］<X≤乙，y∣<y≤y2］的概率为F(x2,j2)-F(x2,必)+F(x1,必)一厂(XQ2)・2、（X,V）的分布函数为∕7（x,y）,则F（-∞∖y）=O.3、（X,y）的分布函数为尸（x,y）,则尸&+O,y）=FV,y）4、（X,y）的分布函数为尸（x,y）,则尸（国+8）=FX（%）5、设随机变量（X,Y）的概率密度为k(6-X-y)0<x<2,2<y<4 1f(χ,y)=<…」 ，则&二一f(χ,y)=<0 其它 ^8^6、随机变量6、随机变量（x,y）的分布如下，写出其边缘分布.∫÷x/（X）=一°0X8、二维正态随机变量（x,y）,X和y相互独立的充要条件是参数夕=q.9、假如随机变量（x,y）的联合概率分布为则a,β应满意的条件是_a+β2181111-1-66184 2；若X与y则a,β应满意的条件是_a+β2181111-1-66184 2；若X与y相互独立，则α=—，〃=—^18^ ^18"10、设x,y相互独立，x~N（o,i）,y~N（θ∙i）,则（x,y）的联合概率密度2 41尸+厂f(x.y)=-e224z=x+y的概率密度fz(Z)=12、设（ξ、η）的联合分布函数为FD=Vλ+01115777；F所—核x≥O,y≥O则A=_l解：p{x=ι,y=i}=l∙oP{x=ι,y=2}=(∙ι=!解：X的可能取值为（解：p{x=ι,y=i}=l∙oP{x=ι,y=2}=(∙ι=!解：X的可能取值为（）,123Y的可能取值为（）,1,2,3p{x=o,y=o}=*3 C23P{X=O,Y=∖}=-^P{X=0yY=2}=^-=-^二、证明和计算题1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2,从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为X,其次次取的球上标的数字丫，求（x,y）的联合分布律.P{X=2yY=1}=---=-323P{X=2,y=2}=-∙-=-3232、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X为投入1号信箱的信数，y为投入2号信箱的信数，求（x,y）的联合分布律.

P{X=0,y=3}=fP{X=l,y=0}=93×?P[X=∖,Y=∖}=-r3×1P{X=l,y=2}=—P{X=l,y=3}=0P{X=2,y=0}C；33P{X=2,y=l}二最P{X=2,y=3}=0联解：P{X=2.Y=2]=03、设P{X==3,Y=3}=0维随机变量的合P{X=0,y=3}=fP{X=l,y=0}=93×?P[X=∖,Y=∖}=-r3×1P{X=l,y=2}=—P{X=l,y=3}=0P{X=2,y=0}C；33P{X=2,y=l}二最P{X=2,y=3}=0联解：P{X=2.Y=2]=03、设P{X==3,Y=3}=0维随机变量的合F(X,y)不可能因P{0<ξ≤2,是某二维随机变量的联合分布函数0<η≤l}=F(2,1)-F(0,1)-F(2,0)+F(0,0)=1—1—1+0=-KOF(x,y)不可能是某二维随机变量的联合分布函数。4、设g(x)≥O,且[:g{x)dx=1,有/(χ,y)=<2g(商0,--,0≤X,y<+8+y]其它证明：/(x,y)可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。证明：易验证f(x,y)≥O,又P+X广十8 r+8P+0O∫∫f(x,y)dxdy=∖[÷x∙2g(J∕+y2)tγλ∣x2+y2dxdy=-"Γ°牛力=『g⑺勿=1符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。

5、在［0,兀］上均匀地任取两数X与Y,求产｛cos（X+Y）VO）的值。解：/(X,y)=U'°≤">≤",P{Cos(X+y)V0=P{&VX+y<吗解：/(X,y)=ke-[3x+4y)X>0,y>00其它0,其它 2 2 46、设随机变量（ke-[3x+4y)X>0,y>00其它(1)确定常数& (2)求(x,y)的分布函数(3)求P{θ<x≤ι,o<y≤2}解：(1)J；力J：ZeT3/4,)公=]k∖∖^dy^e^dx=H—>小后[_：e-3∩∞=A .^=12⑵b(x,y)=fv[vl2e-(3,i+4v)dudv=12•—(1-^-3x)(1- j)JoJo 12=(I-CT”)(1一x>0,γ>0F(x,y)=0(3)P{0<X≤l,0<r≤2}=F(l,2)+F(0,0)-F(1,O)-F(0,2)=(l-e-3)(l-e^8)+O=0.950217、设随机变量（x,y）的概率密度为/(χ,y)=X2÷xy/3/(χ,y)=X2÷xy/3O0≤x≤l,0≤y≤2

其它求p{x+y≥i}解：P{X+Y≥∖}=∫∫/U,y)d⅛√y=∫θd⅛∫∖x2解：P{X+Y≥∖}=∫∫/U,y)d⅛√y=∫θd⅛∫∖x2+¾√yx÷>∙≥l Jflzx4253、J65=(―+— +—X)dx=—J。23 6 728、设随机变量（XL）在矩形区域。=｛（x,y）∣4vxvb,c<yvd｝内听从匀称分布,（1）求联合概率密度及边缘概率密度.（2）问随机变量X,Y是否独立？解：(1)依据题意可设(X,Y)的概率密度为/(χ,y)=<Ma<X<b,c<y<d0其它∫+∞P+X 广〃f[f(x,y)cbcdy=M∖dx∖—□0J—00 解：(1)依据题意可设(X,Y)的概率密度为/(χ,y)=<Ma<X<b,c<y<d0其它∫+∞P+X 广〃f[f(x,y)cbcdy=M∖dx∖—□0J—00 JaJIdy=M(b-a)(d-c)(b-a)(d-c),故/(χ,y)=,1/(/?-a)(d-c)a<x<h,c<y<d其它∕χ(χ)=Jj∕(χ,y)dy=Jdy0(h-a)(cl-c)b-a即∙∕x(χ)=0a<x<ba其它r+αo rbΛ(^)=∫/(χ,y)公二JJ-co Jadx(b—a)(d—c)d-c即∕y(y)=1/(d-c)c<y<d其它⑵由于/(x,y)=Λ(Λ).∕r(y),故X与y是相互独立的.9、随机变量(X,y)的分布函数为∕7(x,y)=l-3"x-3^y+3*y,

0,χ≥αy≥°求:

其它(1)边缘密度；(2)验证X,Y是否独立。解：(1)∂F(x,y)∕∂x=ln3×(3x-3λv),∂2F{x.y)∕∂x∂y=In23×3v^v,f(χ,y)=∫lnf(χ,y)=∫ln23×3^x^yx>Q,Q<y0其它÷x)fx(X)=Λ(y)=Or÷x)fx(X)=Λ(y)=OrJoOln23×3-x^y6∕j=ln3×3^rx>0其它In23×3,vdx=In3x3-',y>O其它(2)由于/(χ,y)=/X(X)∙∕y(y),故X与Y是相互独立的∙x≥O,y≥O

其它10、一电子器件包含两部分，分别以x,y记这两部分的寿命(以小时记)，设(x,y)x≥O,y≥O

其它-0.01λA-OoIylA-0∙0i(χ+y)—C—C-rC0(1)问X和Y是否相互独立？ (2)并求P[X>120,Y>120}⅛⅜:(1)Fx⅛⅜:(1)Fx(x)=F(x,+∞)=龙≥()X<()∕γ(y)=F(+∞,y)=y≥0y<0易证FX(X)K(y)=&x,y),故X,Y相互独立.(2)由(I)X,Y相互独立P{X>120,y>120}=P{X>120}∙P{y>120}=[l-P{X≤120}]∙[l-P{y≤120}]=[l-Fx(120)][l-∕v(120)]=/24=0.091TOC\o"1-5"\h\zX V11、设随机变量(ξ,η)的分布函数为F(x,y)=A(B+arctg-)(C+arctg2)求：(1)2 3系数A,B及C的值，(2)g,η)的联合概率密度φ(x,y)°解：(1)F(+∞,+∞)=A(B+-)(C+-)=l2 2F(-∞,+∞)=A(B--)(C+-)=02 2F(+∞-∞)=A(B+⅛(C-⅛=0乙 乙1 π由此解得A=--,B=C=—,π2 2

(2)φ(x,y)=π2(4+x2)(9+y2)解:(2)φ(x,y)=π2(4+x2)(9+y2)解:X-2-1O12Y~213Pk]_j_1]_Pk]_]_43123244试写出（x,y）的联合分布律.X12Y12Pk11Pt112222求z=x+y的分布律.解：P[X=∣c}=pkZ=O,12…P[Y=∕}=qγ7=0,12…Z=X+Y的分布律为P{Z=i}=Pkqi^i=0,l,2,…Z的全部取值为2,3,4P{Z=2}=P{X=l,y=1}=P{X=l}P{y=l}=g.；=；p{z=3}=p{x=i,v=2}+P{x=2,v=1}

=P[X=↑}P[Y=2}+P{X=2}P{Y=∖}=^→^^=^P{Z=4}=P{X=2,y=2}=P{X=2}P{Y=2}=g∙g=;x≥0x<0求z=x+y的密度函数.14、x≥0x<0求z=x+y的密度函数.y≥Oy<Oy≥Oy<OΛ(y)=pO∫+8f